Stichwortverzeichnis

Präsentation zum Thema: "Stichwortverzeichnis"—  Präsentation transkript:

0 ... mit uns können Sie rechnen!
Gernot Mühlbacher ... mit uns können Sie rechnen! Quadratische Gleichungen Verknüpft mit den Lehrwerken: „Lineare Funktion“ und „Quadratische Funktion / Parabel“ Lernen ist mehr als Verstehen! Wie geschieht eigentlich das Lernen? Du wirst die Absichten und das Vorgehen dieses Lehrwerkes besser verstehen, wenn du gleich mal hier reinschaust! 28 Für meine Enkel Moritz, Matthis, Greta und Zoe Ohne schriftliche Einwilligung des Autors sind Kopien jeglicher Art bzw. das Einstellen in ein Netzwerk nicht erlaubt. © Gernot Mühlbacher

1 Stichwortverzeichnis
1 führt immer zum … als Wegweiser 28 Lernen ist mehr als Verstehen Folie Nr.: Abc-Formel 10, 11 lineare Funktion 26 absolutes Glied 5, 6 lineares Glied 6 allgemeine Form 4, 10 Mitternachtsformel 10 Arten von Zahlen 27 Normalform 4, 8 Definitionsbereich 25, 26 Nullprodukt reinquadratische Gleichung 4, 5 Diskriminante 12, 13, 23 Parameter 4, 18 Satz des Vieta 14-16 Funktionsbegriff pq-Form unvollständig gem. quadr. Gleichung 4, 6 Gemischtes Glied 7 pq-Formel 8, 9 4-Stufen-Prinzip 3,16,24 Grundbereich Produkt der Linearfaktoren 17, 18 Vieta 14 Lernen 28 quadratische Ergänzung 7, 8 vollst. gem. quadr. Gleichung 8 ff. Linearfaktoren quadr. Funktion (Anwendungen) 18-23, 26 Wertebereich Linearform quadratische Gleichung 3, 4 ff. Zahlenarten ? 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Folien-Nr. anklicken!

2 Auf getrennten Wegen! ... und doch verbunden.
Auf dem Lehrwerk über „Lineare Funktion“ bauen zwei Themen auf, die es jetzt im Sinne der Übersichtlichkeit getrennt zu behandeln gilt: „Quadratische Gleichungen‘“ und „Quadratische Funktion / Parabel“. Die Berührungspunkte und Vernetzungen werden aber in den folgenden zwei Lehrwerken immer wieder aufscheinen. Du solltest nach und nach versuchen, parallel mit beiden Lehrwerken zu arbeiten! Bis Folie 15 kannst du zunächst in diesem Lehrwerk vorgehen. 1

3 √ √ EINE QUADRATISCHE GLEICHUNG IM ALLTAG AR AQ AR = aR ∙ bR AQ = aQ2
Bei einer Baulandumlegung erhält Bauer Löbau für einen rechteckigen Acker, der 15m breit und 75m lang ist, wie alle anderen Eigentümer einen 20%igen Flächenabzug. Er bekommt ein neues quadratisches Baugrundstück mit einer Seitenlänge von 30m zugewiesen. Bauer Löbau und sein Architekt überprüfen auf zwei verschiedenen Rechenwegen die Richtigkeit der Zuteilung. Stufe: “Sich ein Bild machen.“ Hintergrund ist eine reale Geschichte. Habe ich Erfahrungen mit dem Thema? Kann ich die Angaben auf ein Bild/eine Skizze reduzieren? Fehlen mir Informationen? Wo finde ich sie? Muss ich selbst Entscheidendes hinzu fügen? Suche auf deinem AB nach den zwei Lösungswegen! Gehe dabei nach dem 4-Stufen-Prinzip vor! (Siehe Folie !) ... dann KLICK! Hilfe: Wenn du Schwierigkeiten hast, dann verfolge zuerst unsere Vorschläge hier auf Folie 3 und erklimme mit uns nach und nach die vier Stufen! Im Verlaufe dieses Lehrwerkes sollst du verschiedene Typen quadratischer Gleichungen kennen und lösen lernen. 2. Stufe: Vom Bild zur Mathematik Zusammenhänge suchen und herstellen, Alltagssprache  mathematische Sprache! Formeln, Gleichungen? Zeichnerische Lösungen? Vorstellungen zum Lösungsweg (Modelle) Einen sehr wesentlichen Anteil der Lösungsarbeit vollbringst du auf der 1. und 2. Stufe. In Arbeiten und Tests wird ein guter Lehrer immer Teilpunkte dafür geben. 4. Stufe: Überprüfen des Ergebnisses. Auswerten, bewerten einordnen. Einbetten in die erzählte Geschichte! Erstmals treffen wir im Verlauf des 2. Lösungsweges auf eine sehr einfache quadratische Bestimmungsgleichung. 3. Stufe: Mathematische Werkzeuge nutzen. Rechnen und/oder Zeichnen! 1. Lösungsweg: 2. Lösungsweg: geg.: Stufe 1 AR AQ Frage: Wurde die zugeteilte Fläche richtig berechnet? aR = 75m bR = 15m AR = aR ∙ bR Abzug 20% ∙ 0,8 AQ = aQ2 aQ = 30m Stufe 2 Stufe 1 gilt für beide Lösungswege. Suche die Angaben im Text heraus und notiere sie mathematisch kurz! Skizziere! Kläre offene Fragen mit einem Lernpartner! ... dann KLICK! Wenn ich den um 20% verminderten Flächeninhalt des Ackers berechne, dann muss er gleich groß sein wie der des quadratischen Bauplatzes. Aus der Ackerfläche AR erhalte ich nach dem Flächenabzug die Quadratfläche AQ des Bauplatzes. Daraus berechne ich die Länge der Quadratseite. Diese muss aQ= 30m betragen. Verlaufsmodell: I I. AR  Abzug II. AQ II ! ! Verlaufsmodell: AR  Abzug  AQ  aQ= 30m I = II Stufe 3 In Stufe 2 beginnt die Unterscheidung der zwei Lösungswege. Welche mathematischen Zusammenhänge erkennst du? In Worten? Formeln? Gleichungen? Vorstellungen zum Lösungsweg (Modelle) AQ beträgt 80% von 1125m2: AQ = aQ2 AR = aR ∙ bR 80% von 1125m2: AQ = aQ2 AR = aR ∙ bR 900m2 = aQ2 aQ2 = 900m2 √ AR = 75m ∙ 15m 1125m2 ∙ 0,8 = AQ = 30m ∙30m AR = 75m ∙ 15m AQ = 1125m2 ∙ 0,8 aQ = m2 √ AR = 1125m2 900m2 AQ = 900m2 AR = 1125m2 AQ = 900m2 aQ = 30m Beide Lösungswege sind auf Stufe 4 noch mit einem Antwortsatz abzuschließen. Davor musst du noch einmal überprüfen, ob dein(e) Verfahren auch stimmig angelegt waren. Auftrag erledigt? Lies noch einmal den Text! Vollziehe als Stufe 3 mit deinen Rechenkenntnissen den geplanten Rechenweg! Stufe 4 Der verkleinerte Acker (Flächenabzug) ist flächengleich mit dem Bauplatz. Die Überprüfung ergab die angegebene Seitenlänge des quadratischen Bauplatzes. 1

4 DEFINITION x2 + x1 = 0 x2 + x1 = 0 ax2 + b x1 = 0 ax2 + c = 0
Suche nach einer verständlichen Definition für eine ‚Quadratische Gleichung‘! Ergänze auch gleich alle Lücken auf dem AB! Nutze ein Mathe-Buch oder das Internet! ... dann KLICK! In einer quadratischen Gleichung tritt die gesuchte Variable mindestens einmal in 2. Potenz auf. Die Variable darf auch Vorzahlen (Koeffizienten) haben. Außerdem darf auch ein absolutes Glied c auftreten. a, b und c sind Parameter, d.h. für einen bestimmten Fall festgelegte Werte. (z.B. für diese Gleichung) Höhere Potenzen sind ausgeschlossen. Solange der Parameter nicht festgelegt ist, behandeln wir ihn wie eine Variable. Beispiel: 2 1 x x = 6 3 + 4 allgemein: a x x = b + c  Allgemeine Form einer gemischtquadratischen Gleichung Die Variable x tritt in erster und zweiter Potenz auf! Schreibweise: a 𝛜 ℝ* oder a 𝛜 ℝ⧵0 b,c 𝛜 ℝ a kann jede reelle Zahl ℝ sein. Ausnahme: a darf nicht Null sein, denn dann hätten wir sofort nur noch eine lineare Gleichung. Sprache: a ist Element der reellen Zahlen ohne Null. Arten von Zahlen  siehe Folie 27 Für b und c können wir jede reelle Zahl ℝ einsetzen. Sonderfälle: ax b x =  Unvollständig gemischtquadratische Gleichung: Wenn c den Wert Null annimmt, dann tritt dieser Sonderfall ein. ax c =  Reinquadratische Gleichung: Wenn b den Wert Null annimmt, dann tritt dieser Sonderfall ein. Variable x nur in 2. Potenz! x x = + a b c Wir können in der allgemeinen Form die Gleichung durch die Vorzahl a des quadratischen Gliedes dividieren, so dass der Koeffizient den Wert 1 erhält. 1x px q = Zur Vereinfachung ersetzen wir die Bruchterme durch p und q. a = 1 c = q b = p  Normalform (oder pq-Form) der gemischtquadratischen Gleichung Unser Beispiel: x x = Unser Ziel: Für jede Form ein günstiges Lösungsverfahren! 1

5 REINQUADRATISCHE GLEICHUNG
Welche Folgen hätte es, wenn das absolute Glied c (auf der gleichen Seite wie x2 stehend) ein positives Vorzeichen hätte? Rechne am Beispiel 4x = 0! ... dann KLICK! ax c = 0 Die unbekannte Variable x tritt nur in 2. Potenz auf. Wenn das linksseitig stehende absolute Glied c einen positiven Wert hat, dann führt dies zu einem negativen Radikanden. Beispiel: 𝔻 = ℝ absolutes Glied 𝕎 = ℝ quadratisches Glied Lösungsschritte: 4x = 0 Beispiel: 4x2 = Definitionsbereich und Wertebereich bedenken. |+64 x2 = 4x = 0 x = √ -16 𝕃 {} |:4 4x2 = 64 x2 schrittweise isolieren! Diese Gleichung wäre also nicht lösbar! Auch das ist eine wahre Feststellung (Aussage). Eine Wurzel mit negativem Radikanden hat keine Lösung. (Wurzeln, Folie 11) x2 = 16 √ Keine Lösung ist in der Mathematik etwas ganz Normales. Keine Lösung ist auch eine Lösung! √x2 = √ 16 Beide Seiten radizieren! x = √ 16 Ergebnis kritisch überprüfen! Definitionsbereich 𝔻: DAS, WAS MAN EINSETZEN DARF. 1,2 x x1 = 4 𝕃 ={4} Jede reelle Zahl darfst du für x einsetzen, denn durch das Quadrieren wird ax2 als Radikand immer positiv sein. Das hat nichts mit einem negativen Radikanden zu tun. x2 = Gibt es noch eine Lösung? 𝕃 ={4;-4} Man schreibt statt der Betragsstriche ein ±-Zeichen vor die Wurzel. Die zwei Lösungen entsprechen dem Betrag von √ Wertebereich 𝕎: DAS, WAS RAUSKOMMEN DARF. Auch die negative Gegenzahl ist folglich im Ergebnis zugelassen. Somit können alle reellen Zahlen als Ergebnis auftreten. Probe: x = 4 in die Gleichung einsetzen. Probe2: x = -4 in die Gleichung einsetzen. Unterliegt der Definitionsbereich einer Beschränkung? Gibt es Zahlen, die ich für x nicht einsetzen darf? ... dann KLICK! Überprüfe durch eine Probe, ob x = -4 ebenfalls eine Lösung wäre! ... dann KLICK! 4x = 0 4x = 0 Rückschau: Auf Folie 2 war aQ = -30m als Ergebnis von der Sache her ausgeschlossen. Es gibt keine negativen Quadratseiten. 4 ∙ = 0 4 ∙ (-4) = 0 0 = 0 wahre Aussage 0 = 0 wahre Aussage 1

6 |+10 |:4 |:4 UNVOLLSTÄNDIG GEMISCHT QUADRATISCHE GLEICHUNG
Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt hat dann den Wert Null, wenn mindestens ein Faktor den Wert Null hat. ax bx = 0 Das absolute Glied c fehlt. lineares Glied Probe: x1 und x2 einsetzen in die ursprüngliche Gleichung quadratisches Glied Lösungsschritte: Beispiel: 4x x1 = 0 4x x = 0 Faktor x ausklammern! 4 ・(0) ・0 = 0 x x∙(4x ) = 0 4x Satz vom Nullprodukt 0 = 0 wahre Aussage x1 = 0 1. Lösung: x1 = 0 Wiederhole die bisherigen Lösungsschritte aus dem Gedächtnis auf dem AB! ... dann KLICK! 4x x2 = 0 4x = 0 |+10 2. Lösung: Klammerterm nullsetzen, x2 ausrechnen! 4 ・(2,5) ・2,5 = 0 |:4 4x2 = 10 4 ・6, ・2,5 = 0 Ergebnisse überprüfen 𝕃 ={0;2,5} x2 = 2,5 0 = 0 wahre Aussage Übungen: Das 20fache einer Zahl ist zweimal so groß wie deren Quadratzahl. 20fache einer Zahl 4x x = 0 7x x = 0 Quadratzahl x(4x + 8) = 0 4x x(7x ) = 0 20x = 2 ∙ x2 Wenn ich x2 verdoppele, dann ist es so groß wie 20x. x1 = 0 x1 = 0 Man könnte durch Kopfrechnen (Probieren) auch auf die Lösung x2 = 10 kommen. Berechne alle folgenden Übungsaufgaben! Fertige jeweils eine Probe! ... dann KLICK! 2x x = 0 = 0 7x = 0 x(2x ) = 0 4x2 = -8 |:4 Normalerweise übersieht man, dass x1 = 0 auch eine Lösung der gestellten Aufgabe ist. 7x2 = 35 x1 = 0 x2 = -2 x2 = 5 x2 = 10 Probe für beide Lösungen! 𝕃 ={0;-2} 𝕃 ={0;5} 1

7 „QUADRATISCHE ERGÄNZUNG“ Kleines Zwischenspiel:
Aus gutem Grund wenden wir uns kurz der 1. und 2. binomischen Formel zu. gemischtes Glied ⬇ a-Glied⬇︎ ⬇b-Glied (a + b)2 = a ab + b2 Beispiel: (x + 5)2 = x ∙5∙x + 52 = x x (a - b)2 = a ab + b2 Beispiel: (x - 4)2 = x ∙4∙x + 42 = x x x x ,5 Nun zu einem Problem, das uns beschäftigen wird. Wir werden auf Terme treffen, die in weiten Teilen wie ein Binom erscheinen. z.B.: x x ,5 x x ,5 ⇔ 8 Wie groß müsste das b-Glied bzw. b2 sein, damit wir von einem 2. Binom sprechen können? (x - b)2 = x ∙b∙x + b2 x bx + ? ? Überlege: An welche binomische Formel erinnert dieser Term? Welches Glied des Binoms passt nicht dazu? ... dann KLICK! Im gemischten Glied steckt die Lösung: -2bx = -8x ⇔ 2b = 8 ⇔ b = 8/2 8/2 b2 = 16 Wir können unseren Term (Beispiel) neu schreiben ... a 8 x x + ( ) +17,5 ... und die 2. binomische Formel rückwärts anwenden: (x - 4)2 + 1,5 ... die quadratische Ergänzung führt zu keiner Änderung des Wertes unseres Terms! Wo findet die quadratische Ergänzung eine wichtige Anwendung? „Quadratische Ergänzung“: 1. Wir betrachten den Koeffizienten im gemischten Glied. Überlege: Wie können wir schnell und unkompliziert den zahlenmäßigen Betrag der quadratischen Ergänzung feststellen? ... dann KLICK! Wenn wir eine Lösung für die (vollständigen) gemischtquadratischen Gleichungen suchen, dann müssen wir den Weg der quadratische Ergänzung beherrschen. (nächste Folie!) 2. Mit dem Quadrat des halben Koeffizienten erfolgt dann die quadratische Ergänzung. x2 hat oft noch einen Koeffizienten. Was dann? 1

8 √ √ √ √ ( ) ( ) ( ) |-q |+10 |+2,25 ( )2 √ √ |-1,5 - - VOLLSTÄNDIG
GEMISCHT QUADRATISCHE GLEICHUNG HERLEITUNG DER PQ-FORMEL: x px q = 0 Normalform oder pq-Form Die vergleichbaren Schritte können wir gehen, wenn wir die allgemeine pq-Formel herleiten: Die Gleichung ist komplett! lineares Glied absolutes Glied quadratisches Glied Lösungsschritte: Beispiel: x px q = 0 |-q 1. Alle absoluten Zahlen auf die rechte Seite! 1x x = 0 |+10 + ☐ - ☐ ? x px = -q Wir addieren den wertneutralen Term +2, ,25. 2. Quadratische Ergänzung x x = 3 + ☐ - ☐ ( ) p 2 p 2 x px = -q x + 3. Erste binomische Formel rückwärts anwenden! Aus einer Summe darfst du keinesfalls die Wurzel ziehen! x x x = +10 + 1,5 + 2,25 - 2,25 |+2,25 Gehe die gleichen Lösungsschritte, indem du statt der konkreten Zahlen 3 und 10 die Parameter p und q verwendest! ... dann KLICK! ( )2 = q p 2 ( ) ( )2 = 12,25 √ 4. Auf beiden Seiten der Gleichung radizieren!! ( ) = q p 2 (x + )2 √ (x + 1,5)2 √ √ = ,25 Durch eine quadratische Ergänzung bekommst du den Zustand, dass du die linke Seite und die rechte Seite der Gleichung radizieren kannst. 5. Variable x isolieren und berechnen! x + 1,5 = 3,5 |-1,5 ( ) = q p 2 x + √ x1,2 = -1, ,5 x1 = 2 Wagst du dich alleine an die Lösung? Sei mutig und probiere es! ... dann KLICK! √ ( ) - q p 2 x1 = - + 𝕃 ={2;-5} x2 = -5 √ ( ) - q p 2 x2 = - „Quadratische Ergänzung“: 1. Wir betrachten den Koeffizienten im gemischten Glied.  3 Du kannst aber auch den Lösungsweg hier verfolgen und dann auf deinem AB aus dem Gedächtnis nachvollziehen. ... dann KLICK! p2 ( ) x1,2 = - 2 - q 2. Mit dem Quadrat des halben Koeffizienten erfolgt dann die quadratische Ergänzung.  1,52 = 2,25 1

9 ( ) ( ) ( ) √2,25 + 10 √ ANWENDUNG DER PQ-FORMEL x2 + 3x - 10 = 0
Nicht immer müssen ‚glatte‘ Ergebnisse herauskommen! Oft lohnt sich das Rechnen mit Bruchzahlen! x x = 0 Weiche nicht prinzipiell auf Dezimalbrüche aus! Das Endergebnis soll hier auf 2 Stellen genau sein. Deshalb musst du bis zum Endergebnis immer auf 3 Stellen runden! p = +3 p2 ( ) x1,2 = - 2 - q x x = 0 3 4 5 8 q = -10 p = + 3 4 ( ) 32 x1,2 = - 2 +10 x ,75x - 2,4 = 0 q = - 5 8 x1,2 = -1,5 √2, p = -0,75 Löse die selbe Gleichung (vorige Folie) jetzt noch einmal mit der pq-Formel! Vergiss das Überprüfen nicht! ... dann KLICK! x1,2 = -1, ,25 √ ( ) 38 x1,2 = - 2 + 5 8 q = -2,4 x1,2 = -1, ,5 x1,2 = +0,375 ±√(0,375)2 + 2,4 x1,2 = - 38 + 5 8 9 64 x1 = 2 𝕃 ={2;-5} x2 = -5 x1,2 ≈ +0,375 ±√0, ,4 Wenn du die pq-Formel anwenden willst, dann gehe immer nach dem gleichen Schema vor: x1,2 ≈ +0,375 ±√2,541 x1,2 = - 38 64 Rechne mit Bruchzahlen bis zum Endergebnis! ... dann KLICK! x1,2 ≈ +0,375 ±1,594 x1,2 = - 38 49 64 Unser Ratschlag: x1 ≈ +0, ,594 ≈ +1,97 1. Notiere zuerst die Werte von p und q! Achte dabei sehr auf die Vorzeichen! x2 ≈ +0, ,594 ≈ -1,22 x1,2 = - 38 7 8 𝕃 ≈{1,97;-1,22} 2. Schreibe dann immer die allgemeine Formel an den Anfang! x1 = = 1 2 4 8 Löse auch diese Gleichung mit der pq-Formel! Halte die angegebene Schrittfolge ein! Das Endergebnis soll auf 2 Kommastellen genau sein! ... dann KLICK! Hast du auf deinem AB Vorzeichen-fehler gemacht? 3. Setze die Werte von p und q in die Formel ein! Vermeide hastiges Vorgehen! x2 = = -10 8 1 4 -1 Rechne gleich noch einmal auf der Rückseite des AB! 4. Rechne dann x1 und x2 aus! 1 4 𝕃 ={ ; } -1 2 1

10 ( ) ( ) ( ) √ |:a |:2 √2,25 + 4 √ abc-FORMEL p = q = 2x2 + 6x - 8 = 0
oder ‚Mitternachtsformel‘ Du hast bemerkt, dass wir bis jetzt immer Gleichungen gelöst haben, bei denen das quadratische Glied keinen Koeffizienten besaß (bzw. den Koeffizienten 1). 2. Du setzt in die pq-Formel die a,b,c-Parameter ein und entwickelst so eine erweiterte Lösungsformel. Diese gilt dann für die allgemeine Form. Wir wollen jetzt eine gemischtquadratische Gleichung der allgemeinen Form lösen. |:a p = b a b a c a q = c a Allgemeine Form: ax2 + bx + c = 0 Normalform: x2 + px + q = 0 2x x = 0 |:2 Beispiel: ( ) p2 x1,2 = - 2 - q 1. Du kannst die Gleichung durch den Koeffizienten von x2 dividieren und gelangst so zur Normalform. b 2a ( ) x1,2 = - b 2a 2 - c a x x -4 = 0 b 4a x1,2 = - b 2a 2 - c a •4a Erweitern mit 4a p = 3 Welche Möglichkeit fällt dir ein, diese Gleichung mit deinen Mitteln zu lösen? ... dann KLICK! q = -4 x1,2 = - b 2a 2 b - 4ac ( ) 32 x1,2 = - 2 +4 teilweise radizieren! im Nenner 2 4a x1,2 = -1,5 √2,25 + 4 2 b - 2a x1,2 = - b 4ac Löse nun die Gleichung, indem du die pq-Formel anwendest! ... dann KLICK! Leite auf deinem AB die abc-Formel aus dem Gedächtnis noch einmal her! ... dann KLICK! x1,2 = -1, ,25 √ x1,2 = -1, ,5 4ac 2 b - 2a x1,2 = √ -b x1 = 1 𝕃 ={1;-4} x2 = -4 Diese ‚abc-Formel‘ ist nichts anderes als eine erweiterte oder fortgeschriebene ‚pq-Formel‘. Es gibt aber noch eine zweite Möglichkeit. Die Schüler sollten früher die abc- Formel so gut auswendig lernen, dass sie diese selbst beim Aufwachen um Mitternacht noch auswendig wussten. 1

11 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ ANWENDUNG DER abc-FORMEL 2x2 + 6x - 8 = 0
Die Ergebnisse x1,2 sind hier auf zwei Stellen zu runden. ANWENDUNG DER abc-FORMEL 2x x = 0 2x x = 0 -3x ,5x = 0 a = 2 4ac 2 b - 2a x1,2 = √ -b a = 2 4ac 2 b - 2a x1,2 = √ -b a = -3 4ac 2 b - 2a x1,2 = √ -b b = 6 b = -3 b = 0,5 c = -8 c = 1 c = 7 4•2•(-8) 2 6 - 2•2 x1,2 = √ -6 √ 4•2•1 2 3 - 2•2 x1,2 = 3 √ -4•(-3)•7 0,5 - 2 2•(-3) x1,2 = -0,5 -6 √ (-64) 36 - 4 x1,2 = 3 √ 8 9 - 4 x1,2 = 0,25 √ + 84 -6 x1,2 = -0,5 -6 √ 100 4 x1,2 = 3 √ 1 4 x1,2 = √ 84,25 -6 x1,2 = -0,5 Löse diese Gleichung mit der abc-Formel! ... dann KLICK! -6 10 4 x1,2 = 3 1 4 x1,2 = -0,5 9,179 -6 x1,2 = noch 3 Stellen! x1 = = 1 4 x1 = = 1 4 x1 ≈ -1,45 erst jetzt auf 2 Stellen runden! x2 = = -16 4 -4 x2 = = 2 4 0,5 𝕃 ={1;0,5} x2 ≈ 1,61 𝕃 ={-1,45;1,61} 𝕃 ={1;-4} Probe: Probe: Probe: 2• • = 0 2• • = 0 -3•(-1,45) ,5•(-1,45) = 0 Löse unsere Gleichung noch einmal, aber jetzt mit der abc-Formel! ... dann KLICK! Löse diese Gleichung mit der abc-Formel! ... dann KLICK! = 0 = 0 -6, , = 0 = 0 wahre Aussage 0 = 0 wahre Aussage 0,033 ≈ 0 (Rundungsfehler) 2•(-4) •(-4) = 0 2•(0,5) •(0,5) = 0 -3•(1,61)2 +0,5•(1,61) = 0 = 0 0,5 -1, = 0 -7, , = 0 1 = 0 wahre Aussage 0 = 0 wahre Aussage 0,029 ≈ 0 (Rundungsfehler)

12 Die Gleichung hat nur eine Lösung x = 3!
Recherchiere den Begriff ‚Diskriminante‘ und forsche nach, welche Aussagemöglichkeiten sich aus dem Wert der Diskriminante ergeben können! ... dann KLICK! Löse diese Gleichung mit der abc-Formel und auch mit der pq-Formel! ... dann KLICK! DISKRIMINANTE (1) Wir gehen von einer gemischt quadratischen Gleichung aus: 3x x = 0 3x x = 0 |:3 3x x = 0 Egal, ob du die pq-Formel oder die abc-Formel verwendest: x x = 0 a = 3 4ac 2 b - 2a x1,2 = √ -b p = -6 b =-18 c = 27 Die Gleichung hat nur eine Lösung x = 3! q = 9 - 4•3•(27) 2 18 2•3 x1,2 = √ ( ) 62 x1,2 = + 2 - 9 Die Diskriminante einer quadratischen Gleichung verrät, wie viele Lösungen sie haben wird. - 324 324 6 x1,2 = √ 18 x1,2 = + 62 6 x1,2 = √ 18 x1,2 = + 3 D = b2 – 4ac Anzahl Lösungen: Wert: x1 = x2 = - D = 1 x2 = D = b2 – 4ac Anzahl Lösungen: Wert: D = 100 x1 = 1 x2 = -4 D = 1 x2 = 0,5 D = 84,25 x1 = -1,45 x2 = 1,61 D = 0 x1 = 3 Anzahl Lösungen: Wert: D = x1 = x2 = Anzahl Lösungen: Wert: D = 12,25 x1 = 2 x2 = -5 D = 2,541 x1 = 1,97 x2 = -1,22 D = 49/64 x1 = 1/2 x2 = -11/4 D = 0 x1 = 3 ( ) - q 2 p ( ) - q 2 p D = x1,2 = 𝕃 ={3} x1,2 = 𝕃 ={3} Untersuche die Diskriminante in vier voran gehenden Aufgaben (pq-Formel/Folie 9 und 12)! Fülle die Tabelle aus! ... dann KLICK! Untersuche die Diskriminante in vier voran gehenden Aufgaben (abc-Formel/Folien 11 und 12)! Fülle die Tabelle aus! ... dann KLICK! Markiere auf deinem AB die Orte im Lösungsverlauf, wo sich entscheidet, dass die Gleichung nur eine Lösung hat! Kringel! ... dann KLICK! An welcher Stelle in der jeweiligen Formel wird dies zum ersten Mal deutlich sichtbar? Kringel! ... dann KLICK! Die Diskriminante in der pq-Formel ist der Radikand p 2 ( ) - q D = Die Diskriminante in der abc-Formel ist der Radikand D = b ac. 1

13 ( ) √ √ ( ) √ √ DISKRIMINANTE (2) Zwei weitere interessante Fälle:
Beginne den Lösungsweg beider Gleichungen jeweils mit der passenden Lösungs-Formel bis du nicht mehr weiter kommst! ... dann KLICK! D = b2 – 4ac Anzahl Lösungen: Wert: D = -12 x1 = k.L. x2 = k.L. Zwei weitere interessante Fälle: -3,5x x = 0 x x = 0 ( ) - q 2 p D = Anzahl Lösungen: Wert: D = -1 x1 = k.L. x2 = k.L. a = -3,5 4ac 2 b - 2a x1,2 = √ -b p = -4 b = +4 q = +5 c = -2 ( ) 42 x1,2 = + 2 - 5 -4•(-3,5)•(-2) 2 4 2•(-3,5) x1,2 = √ -4 Beim Lösen einer gemischt quadratischen Gleichung kann die Diskriminante D folglich drei mögliche Fälle anzeigen: Welche drei Wertbereiche bzw. welche drei möglichen Fälle kann die Diskriminante folglich aufzeigen? ... dann KLICK! x1,2 = + 42 - 28 16 -7 x1,2 = √ -4 -7 x1,2 = √ -4 -12 x1,2 = + 2 -1 D Anzahl Lösungen: Wert: Folie 9-11 Lösungen Folie 12 Lösung Folie 13 D Anzahl Lösungen: Wert: D > 0 Folie 9-11 Zwei Lösungen x1 und x2 D = 0 Folie 12 Eine Lösung x D < O Folie 13 Keine Lösung Die Diskriminante D = -12 ist eine negative Zahl! Die Diskriminante D = -1 ist eine negative Zahl! Generell sind Wurzeln für negative Radikanden nicht definiert. (Siehe Lehrwerk „Wurzeln“ Folie 11) Generell sind Wurzeln für negative Radikanden nicht definiert. (Siehe Lehrwerk „Wurzeln“ Folie 11) Sieh dir in diesem Lösungsweg die Diskriminante D an! Was stellst du fest? Was bedeutet dies für die Lösungsmöglichkeit(en) dieser Aufgabe? ... dann KLICK! Sieh dir in diesem Lösungsweg die Diskriminante D an! Was stellst du fest? Was bedeutet dies für die Lösungsmöglichkeit(en) dieser Aufgabe? ... dann KLICK! Die Gleichung hat somit keine reelle Lösung! Die Gleichung hat somit keine reelle Lösung! 1

14 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) -( ) - - -
Der Franzose François Viète ( ) hat einen rechnerischen Zusammenhang erkannt, den es zwischen den Lösungen x1 und x2 und den Koeffizienten p bzw. q in einer gemischt quadratischen Gleichung (Normalform) gibt. Franciscus Vieta (François Viète) war ein französischer Mathematiker, der den Gebrauch von Buchstaben als Bezeichnung für variable Zahlen einführte. (Man könnte ihn als Vater der modernen Algebra bezeichnen.) Wenn dieser Satz des Vieta am Beispiel von sechs Gleichungen stimmt, so ist das noch lange kein allgemeiner Beweis. Dieser gelingt unter Verwendung der pq-Formel. Was weißt du über Francois Viète oder Franziscus Vieta? Forsche unter diesen zwei Namen nach! ... dann KLICK! Allgemeiner Beweis: p2 ( ) x1 = - + 2 - q + Die zwei Lösungen sind SATZ DES VIETA p2 ( ) x2 = - - 2 - q - Zwei reelle Zahlen x1 und x2 sind genau dann Lösungen der quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0  , wenn gilt: 1. Behauptung: -p = x x2 + x1 + x2 = -p und x1 • x2 = q p2 ( ) + 2 - q p2 ( ) - 2 - q -p = - - Gleichung p q x1 x2 x2 + 5x + 6 = 0 -2 -3 x2 - 3x + 2 = 0 2 1 x2 -4,5x + 2 = 0 4 0,5 x2 + 3x -10 = 0 3 -5 1/2 -5/4 ≈1,97 ≈(-1,22) p q 5 6 -3 2 -4,5 3 -10 3/4 -5/8 -0,75 -2,4 -p = p2 -( ) -p = -p (wahre Aussage) 2. Behauptung: q = x1 • x2 2 p2 ( ) 2 p2 ( ) + 2 - q • ( ) p2 ( ) - 2 - q ( ) - p2 ( ) 2 - q ( ) q = x x = 0 3 4 5 8 q = (a b) • (a b) = x2 - 0,75x - 2,4 = 0 3. binomische Formel: p2 ( ) 2 p2 ( ) 2 - q ( ) ... das Quadrat einer Wurzel ist der Radikand. Betrachte die gemischt quadratischen Aufgaben (Normalform)! Wenn du genau hinschaust, wirst du feststellen, dass eine Lösung nicht stimmen kann! Weitere Hilfe: KLICK Mit Worten: Überprüfe den Satz des Vieta für die sechs Beispiele in der Tabelle! Wie müsste der x-Wert der falsch gelösten Gleichung richtig lauten? ... dann KLICK! Wenn ich die beiden Lösungen mit einander multipliziere, dann erhalte ich den Parameter q. q = a b2 - Notiere die Koeffizienten p und q der jeweiligen gemischt quadratischen Gleichungen (Normalform) in der obigen Tabelle! ... dann KLICK! 1. Anregung: Bilde das Produkt x1 • x2 ! 2. Anregung: Bilde die Summe x1 + x2 ! Wenn ich die beiden Lösungen addiere, dann erhalte ich den Parameter p, jedoch mit umgekehrtem Vorzeichen. p2 ( ) 2 p2 -( ) 2 q = + q 1 q = q (wahre Aussage)

15 ANWENDUNGEN des Satzes des Vieta
Welche Werte hättest du für p und q erhalten, wenn du das Lösungspaar 𝕃 sofort in Dezimalbrüche verwandelt hättest? Rechne auf der Rückseite des Arbeitsblattes! ... dann KLICK! ANWENDUNGEN des Satzes des Vieta An diesem Beispiel 3 zeigt es sich deutlich, dass es sich oft nicht lohnt, ‚Wurzelterme‘ gleich zu Anfang in Dezimalbrüche umzuwandeln. A. Überprüfen des Ergebnisses Beispiel 3: Welche gemischt quadratische Gleichung gehört zum Lösungspaar Beispiel 1: 𝕃 ={2+√3;2-√3} ? Du hast die Gleichung berechnet: x x = 0 p ≈ -3,96 q ≈ 0,86 3 - 10 𝕃 ={2;-5} x1 + x2 = -p 𝕃 ≈{3,73..;0,23..} Rechne zuerst mit dem unveränderten Wurzelterm! ... dann KLICK! Probe: 2+√3 Vergleiche die Ergebnisse! = -p 2-√3 x1 + x2 = -p x1 • x2 = q = -p D. Gleichungen mit einer Lösung p = -4 Überprüfe das Ergebnis mit Hilfe des Satzes des Vieta! ... dann KLICK! 2 + (-5) = -p 2 • (-5) = q Zum besseren Verständnis von Beispiel 5 wäre es gut, vom Lehrwerk “Quadratische Funktion / Parabel“ die Folien 19 bis 24 zu studieren. Dies wird Zusammen-hänge (z.B. ‘Berührpunkt‘ und ‚Diskriminante‘) erhellen. -3 = -p x1 • x2 = q -10 = q (2+√3) 3 = p • = q (2-√3) (3. Binom) = q Das Ergebnis wurde richtig berechnet! q = 1 B. Bestimmen der Gleichung (p und q) bei bekannten Lösungen Gleichung: x x = 0 + ☐ - 4 +☐ + 1 C. Bestimmen fehlender Angaben Beispiel 2: Du kennst das Lösungspaar einer quadratischen Gleichung in der Normalform: Beispiel 4: Beispiel 5: Du kennst von einer gemischt quadratischen Gleichung (Normalform): q = 5 und Eine gemischt quadratische Gleichung (Normalform) hat nur eine Lösung 𝕃 ={3;2} 𝕃 ={x1;1} 𝕃 ={3} x1 + x2 = -p x1 • x2 = q x1 • x2 = q x1 + x2 = -p x1 • x2 = q x1 + x2 = -p Bestimme die fehlenden Größen zur Lösung und zur Gleichung! ... dann KLICK! = -p Wie lautet die dazu gehörende Gleichung? ... dann KLICK! 3 • 2 = q x1 • 1 = 5 = -p 3 • 3 = q = -p p = -5 q = 6 x1 = 5 p = -6 Wie heißt die Gleichung? ... dann KLICK! q = 9 p = -6 Gleichung: Gleichung: Gleichung: x x = 0 - 6 ☐ x x = 0 + ☐ - 6 + 9 +☐ x x = 0 + ☐ - 5 + 6 +☐ 𝕃 ={ ;1} ☐ 5 1

16 ANWENDUNGSAUFGABE zum Satz des Vieta
Zeichnerische Lösung und Überprüfung (noch Stufe 4) Zum zeichnerischen Lösen kannst du die Gleichung auch als Funktion verstehen.  y = 2x2 - 1,5x - 0,5 Von der gemischt quadratischen Gleichung 2x ,5x + c = 0 ist eine Lösung bekannt: x1 = 1 . Versuche es zunächst selbständig! Solltest du auf Schwierigkeiten stoßen, dann verfolge zuerst die Wege auf dieser Folie! Vollziehe dann die beiden Lösungswege aus dem Gedächtnis auf deinem AB! Löse spätestens jetzt die Aufgabe aus dem Gedächtnis auf zwei Lösungswegen! Die Lösung(en) x1,2 der Gleichung erkennst du dann als Nullstellen. Bestimme c und die zweite Lösung x2 der Gleichung! Es gibt zwei Lösungswege. Siehe: „Quadratische Funktion/ Parabel“ (Folie 21/27)! x1 = 1 x2 = -0,25 c = -0, 5 1. Lösungsweg 2. Lösungsweg Allg. Form: 2x ,5x c = 0 𝕃 ={1;x2} 1. Stufe Allg. Form: 2x ,5x ,5 = 0 2x ,5x c = 0 x ,75x q = 0 𝕃 ={1;x2} 2. Stufe Verlauf: Allg. Form  Normalform  p  x2  q  c Verlaufsmodell: c  allg. Form  Normalform  x2 Normalform: p = -0,75 2x ,5x c = 0 Normalform: 3. Stufe x1 + x2 = -p x1 • x2 = q 2• ,5• c = 0 x ,75x - 0,25 = 0 Dieser Aufgabe fehlt der reale Hintergrund, sie erzählt keine Geschichte aus dem Leben. Dennoch gehen wir nach dem 4-Stufen-Prinzip vor. Wir können so die Lösungswege übersichtlich gestalten und vergleichen. Vieta: 1 + x2 = +0,75 1 • (-0,25) = q , c = 0 x1 + x2 = -p x2 = -0,25 q = -0,25 c = -0,5 1 + x2 = 0,75 𝕃 ={ 1; } 2x ,5x = 0 + ☐ - 0, 5 :2 -0,25 ☐ x ,75x = 0 + ☐ - 0,25 ・2 x2 = -0,25 Weshalb müssen wir zurück zur allg. Form gehen? Zurück zur allgemeinen Form: c = -0,5 x2 = -0,25 4. Stufe c = -0,5 c können wir nur der allg. Form entnehmen! x2 = -0,25 1. Lösungsweg 2. Lösungsweg 2. Stufe: 2. Stufe: Erkennen der Zusammenhänge und Modell des Lösungsverlaufes Um x2 zu bestimmen, können wir eine der Aussagen (Formeln) des Satzes des Vieta gebrauchen. Dazu müssen wir über die Normalform gehen. 3. Stufe: Rechnen 4. Stufe: Ergebnis überprüfen und einordnen Ergebnis festhalten Auftrag erfüllt? 1. Stufe: Analysiere genau die Aussagen des Textes und deute den Auftrag! a) Einsetzen von x1 = 1 in die Gleichung  Berechnung c Die Hauptarbeit auf beiden Lösungswegen wird immer auf der Stufe 2 geleistet! b) Allgemeine Form  Normalform Die Vieta-Sätze gelten nämlich nur für die Normalform der quadratischen Gleichung. c) Satz des Vieta  x2 1 Verlauf: Allg. Form  Normalform  p  x2  q  c Verlauf: c  allg. Form  Normalform  x2

17 Produkt der Linearfaktoren
Ab hier wirken die Lehrwerke „Parabel 2. Grades“ und „Quadratische Gleichungen“ zusammen. Von den Lösungen 𝕃 zur Gleichung (Allg. Form) Durch Bildung der LINEARFORM Anwendung: SATZ DES VIETA In der Linearform kommt die gesuchte Variable nur in 1. Potenz (linear) vor. Produkt der Linearfaktoren Du siehst den Graphen einer Funktion y = x2 + px + q (verschobene Normalparabel). x1 x2 (x - x1)•(x - x2) = 0 2 -5 (x )•(x ) = 0 (x - x1)•(x - x2) = 0 Ergebnis: Klammer mal Klammer  Die beiden Nullstellen kannst du genau ablesen. 2 (-5)  x2 + 3x – 10 = 0 Bestimme die Gleichung (Allgemeine Form)! Du kannst es gleich auf deinem AB versuchen! Notfalls kehrst du zu dieser Folie zurück! ... dann KLICK! Die entsprechende Bestimmungsgleichung x2 + px + q = 0 hätte somit die Lösungen: Setze die beiden Lösungen in den Klammerterm ein! ... dann KLICK! (x )(x + 5) = 0 Wie du siehst, hast du die angestrebten Bestimmungs-und Funktionsgleichungen in Normalform erhalten. Auf neuem Weg! x2 + 5x -2x = 0 Multipliziere den Klammerterm aus! (Klammer mal Klammer) ... dann KLICK! Notiere das Lösungspaar 𝕃 {x1;x2} der Bestimmungsgleichung bzw. die Nullstellen der Funktion! ... dann KLICK! 𝕃 ={2;-5} 𝕃 ={ ; } x1 = 2 x2 = -5 x2 + 3x – 10 = 0 y = x2 + 3x - 10 N2 (-5/0) N1 (2/0) x1 + x2 = -p N2 ( / ) N1 ( / ) Zwei weitere Beispiele: 2 + (-5) = -p Bestimmungsgl. p = 3 2 -6 7 -1 (x )•(x ) = 0 x2 + 4x = 0 2 (-6) y = x2 + 4x - 12 Funktionsgl. Bestimmungsgl. x1 • x2 = q (x )•(x ) = 0 x2 - 6x = 0 7 (-1) y = x2 - 6x Funktionsgl. 2 • (-5) = q Wir multiplizieren jetzt den allgemein formulierten Klammerterm (gelb) aus: y = x2 + 3x - 10 q = -10 Verfahre genau so wie beim obigen Rechenbeispiel und ermittle die Bestimmungs- und Funktionsgleichungen! ... dann KLICK! Nach dem Satz des Vieta gilt: x2 – xx2 – xx1 + x1x2 = 0 Bestimmungsgleichung: Bestimmungsgleichung: x1 • x2 = q x x = 0 ☐ 3 +☐ - 10 x2 – xx2 – xx1 + q = 0 x x allgemeiner Nachweis -x ausklammern! Funktionsgleichung: Funktionsgleichung: x2 – x(x2 + x1) + q = 0 x1 + x2 = -p y = x2 + 3x - 10 x2 – x • (-p) + q = 0 Ermittle die Bestimmungsgleichung und die Funktionsgleichung! ... dann KLICK! Jetzt zur Fachsprache: x2 + px + q = 0 An diesem Beispiel wollen wir jetzt noch ein zusätzliches Verfahren erkunden, wie man bei bekannten Lösungen x1 und x2 die Gleichung(en) finden kann. Wenn wir die Lösungen {x1;x2} einer quadratischen Gleichung (Normalform) kennen, dann können wir sie in der Linearform aufschreiben. x2 + px + q = 0 Wenn wir die Linearfaktoren ausmultiplizieren, dann ergibt sich wieder die Normalform. 1

18 Wie zerlege ich in die Linearfaktoren?
ALLGEMEINE FORM  LINEARFORM Wie heißt die entsprechende Funktionsgleichung in allgemeiner Form? Eine Bestimmungsgleichung liegt in allgemeiner Form vor: ax2 + bx + c = 0 Die entsprechende Funktionsgleichung in allgemeiner Form: y = ax2 + bx + c Wie zerlege ich in die Linearfaktoren? Beispiel: 2x x = 0 Beispiel: y = 2x x + 4 1. Parameter a notieren! 1. Streckungsfaktor a notieren! a = 2 a = 2 Sieh dir den Lösungsweg zuerst an! Verfahre auf dem Aufgabenblatt zu dieser Folie nach dem skizzierten Lösungsvorschlag! ... dann KLICK! 2. Lösungen x1 und x2 berechnen! 2. Nullstellen berechnen! Nullsetzen: y = 2x x + 4 abc-Formel: a = 2 Weitere Rechnung wie links mit abc-Formel. 4ac 2 b - 2a x1,2 = √ -b b =6 c = 4 √ 4•2•4 2 6 - 2•2 x1,2 = -6 x1 = -1 x2 = -2 -6 √ 4 x1,2 = 3. Funktionsgleichung in Linearform durch Bildung der Linearfaktoren: (Streckungsfaktor a vorangestellt) Überprüfe das Ergebnis durch Erstellen einer Wertetabelle und Zeichnung des Schaubildes! ... dann KLICK! -6 2 4 x1,2 = Die Lösungen x1 und x2 hättest du natürlich auch durch Zeichnen der Parabel erlangen können. y = a•(x – x1)•(x – x2) x1 = -1 x2 = -2 y = 2 (x + 1) (x + 2) Linearform 3. Formel der Linearfaktoren: (Parameter a vorangestellt) Probe (rückwärts!): Auch hier würdest du bei der Überprüfung durch Ausmultiplizieren wieder die ursprüngliche allgemeine Parabelgleichung erhalten. 2•(x + 1)•(x + 2) = 0 a•(x – x1)•(x – x2) = 0 2•(x2 + 2x+ 1x + 2) = 0 2 •(x – (-1))•(x – (-2)) = 0 2•(x2 + 3x + 2) = 0 2x2 + 6x + 4 = 0 2•(x + 1)•(x + 2) = 0 Linearform 1

19 DIE FUNKTIONSGLEICHUNGEN DER PARABEL I y = x2 + px + q
II y = ax2 + bx + c Der Graph zeigt zwei Parabeln. Du kannst einige Daten zu den Funktionsgleichungen ablesen. Nullstellen: Scheitel: S1(3/-1) Nullstellen: Scheitel: S2(3/-0,5) N1 (2/0) 2 N3 (2/0) 2 N2 (4/0) 4 q = 8 N4 (4/0) 4 c = 4 Funktionsgleichungen von Parabeln führen sehr schnell zu gemischt quadratischen Gleichungen. (Nullstellen-, Schnittpunktsberechnungen) Ermittle zu jedem Schaubild: die Gleichung in Linearform! die Scheitelgleichung die allgemeine Gleichung ... dann KLICK! Lies alle wichtigen Daten zu den Funktionsgleichungen aus dem Schaubild ab! Notiere sie! ... dann KLICK! Es handelt sich um eine verschobene Normalparabel. Es handelt sich um eine allgemeine Parabel. Sie ist gestaucht. Linearform: Die Ordinaten sind jeweils halb so groß wie die der versch. Normalparabel, x1 = x2 = y = (x – x1)(x – x2) Dies kannst du am y-Achsenabschnitt c bzw. an der Ordinate e des Scheitelpunktes ablesen. y = (x – 2)(x – 4) a = 0,5 Linearform: Scheitelform: x3 = x4 = I y = x2 + px + q Die Normalparabel ist um eine Einheit nach unten verschoben: y = a(x – x1)(x – x2) y = 0,5(x – 2)(x – 4) e = -1 II y = ax2 + bx + c Die Normalparabel ist um drei Einheiten nach rechts verschoben: Die Parabel ist um 0,5 Einheiten nach unten verschoben: e = -0,5 d = +3 y = (x – d)2 + e Die Parabel ist um drei Einheiten nach rechts verschoben: y = [x – (+3)]2 - 1 d = +3 y = (x – 3)2 - 1 y = a(x – d)2 + e y =0,5[x – (+3)]2 – 0,5 Allgemeine Form: y = (x – 3)2 - 1 (ausmultiplizieren y = 0,5(x – 3)2 – 0,5 Beherrsche alle Verfahren zur Bearbeitung! y = x x + 8 Allg. Form: y = O,5(x x + 8) Bevor du beginnst, solltest du im Lehrwerk „Quadratische Funktion/Parabel 2. Grades“ die Stichworte ‚Allgemeine Form‘, ‚Scheitelform‘ und ‚Linearform‘ wiederholen. y = O,5x x + 4) 1

20 Zum Schluss eine Knacknuss:
Für die folgende Folie solltest du dich im Lehrwerk „Parabel / Quadratische Funktion gut auskennen. Zum Schluss eine Knacknuss: Wie kann ich vorgehen? Wichtig ist es, dass du dir in dieser Situation über deine Empfindungen ‚im Klaren bist‘. 1. Schritt: Betrachte das Schaubild und notiere ungeordnet alle Gedanken und Einfälle, die im Zusammenhang stehen könnten. Was wollen die von dir wissen? Die enge Verzahnung zwischen den Lehrwerken ‚Quadratische Gleichungen‘ und ‚Quadratische Funktion / Parabel‘ zeigt sich, wenn wir dir jetzt lediglich ein Schaubild vorstellen. Zu deinem Trost: Es ist völlig normal, zunächst einmal überrascht und ratlos auf Unerwartetes zu reagieren. Vielleicht macht es dich auch neugierig? Alles, was du aus dem Bild entnehmen kannst! Kern des Problems 2. Schritt: Bringe jetzt Ordnung in deine Gedanken und suche zwei (bis drei) Themen heraus, denen du in der Folge möglichst viele Unterhemen sinnvoll zuordnen kannst! Wie packen wir ein solches „Überraschungsei“ an? Hier unser Vorschlag, der sinnvolle Schritte umfasst und der natürlich andere Vorgehensweisen überhaupt nicht ausschließt. Z.B. unsere Gedanken: Parabel(n) (betrachten, auswerten) Es kommt darauf an, eine große Breite an Zusammenhängen und Themen zu erfassen und richtig darzustellen. 1 Koordinatensystem Schnittpunkt(e) Normalparabel? a) Symmetrieachse(n) (einzeichnen) c) Funktionsgleichung (entwickeln) gestaucht? b) Daten (ablesen und markieren) Scheitelpunkt(e) geöffnet nach ... gestreckt? Diskriminante gestreckt / gestaucht? gemischt quadratische Gleichungen(en) Scheitelform Nullstell(en) allg. Form Daten ablesen Berührpunkt(e) Berührpunkt Symmetrieachse Scheitelpunkt(e) 2 gem. quadr. Gleichung (rechnen) Nullstelle(n) y-Achsen-Abschnitt nach oben geöffnet Nullstell(en) Stelle dir vor, du bekommst in einem Eignungstest nur diesen ‚Impuls‘ als Aufgabenstellung. y-Achsen-Abschnitt(e) pq-Formel? abc-Formel? Funktionsgleichung(en) Diskriminante Suche Oberbegriffe, unter die du dann die Unterthemen eintragen sollst! ... dann KLICK! Notiere alle Gedanken und Einfälle, die dir in den Sinn kommen! ... dann KLICK! Wie würdest du auf diese „Überraschung“ reagieren? Kreuze auf deinem AB an! ... dann KLICK! Parabel verwandt pq-Formel abc-Formel 1

21 Zum Schluss eine Knacknuss:
Wie kann ich vorgehen? 1. Schritt: Betrachte das Schaubild und notiere ungeordnet alle Gedanken und Einfälle, die im Zusammenhang stehen könnten. Was wollen die von dir wissen? Die enge Verzahnung zwischen den Lehrwerken ‚Quadratische Gleichungen‘ und ‚Quadratische Funktion / Parabel‘ zeigt sich, wenn wir dir jetzt lediglich ein Schaubild vorstellen. Alles, was du weißt! 2. Schritt: Bringe jetzt Ordnung in deine Gedanken und suche zwei (bis drei) Themen heraus, denen du in der Folge möglichst viele Unterhemen sinnvoll zuordnen kannst! Stelle dir vor, du bekommst in einem Eignungstest nur diesen ‚Impuls‘. 3. Schritt: Bearbeite jetzt die Liste in überlegter Reihenfolge! Normalparabel Parabel I hat 2 Nullstellen: NI,1(1/0) NI,2(5/0) I QIII II Parabel II hat 1 Berührpunkt: BII (3/0) Parabel III hat keinen Schnitt-/ Berührpunkt mit der x-Achse III QII Scheitelpunkte (➔ Mittelsenkr.): SI(3/-2) SII(3/0) SIII(1,5/0) y-Achsen-Abschnitte: QI(0/2,5) QII(0/4,5) QIII(0/6) Parabel(n) QI 1 SIII a) Symmetrieachse(n) (einzeichnen) c) Funktionsgleichungen (entwickeln) b) Daten (ablesen und markieren) Parabeln geöffnet nach ... NI,1 SII B NI,2 Parabeln verwandt? gestreckt / gestaucht? Scheitelform Nullstell(en) allg. Form SI Berührpunkt(e) Bearbeite jetzt die Themen dieser oder deiner Liste, indem du in überlegter Reihenfolge voranschreitest! Wenn du alles bearbeitet hast, ... dann Kontrolle mit KLICK! Scheitelpunkt(e) 2 gem. quadr. Gleichung (rechnen) Einzeichnen bzw. betrachten: y-Achsen-Abschnitte Parabeln nach oben geöffnet. Nullstell(en) Parabeln senkrecht nach oben verschoben. pq-Formel? Parabeln gestaucht. (Vergleiche die Normalparabel!) abc-Formel? Diskriminante 1

22 Zum Schluss eine Knacknuss:
Wie kann ich vorgehen? 1. Schritt: Betrachte das Schaubild und notiere ungeordnet alle Gedanken und Einfälle, die im Zusammenhang stehen könnten. Was wollen die von dir wissen? Die enge Verzahnung zwischen den Lehrwerken ‚Quadratische Gleichungen‘ und ‚Quadratische Funktion / Parabel‘ zeigt sich, wenn wir dir jetzt lediglich ein Schaubild vorstellen. Alles, was du weißt! 2. Schritt: Bringe jetzt Ordnung in deine Gedanken und suche zwei (bis drei) Themen heraus, denen du in der Folge möglichst viele Unterhemen sinnvoll zuordnen kannst! Stelle dir vor, du bekommst in einem Eignungstest nur diesen ‚Impuls‘ als Aufgabenstellung. 3. Schritt: Bearbeite jetzt die Liste in überlegter Reihenfolge und markiere! Normalparabel Parabel I hat 2 Nullstellen: NI,1(1/0) NI,2(5/0) I QIII Parabel II hat 1 Berührpunkt: BII (3/0) Parabel III hat keinen Schnitt-/ Berührpunkt mit der x-Achse III QII Scheitelpunkte (➔ Mittelsenkr.): SI(3/-2) (+3) (-2) SII(3/0) (+3) SIII(3/1,5) (+3) 1,5 y-Achsen-Abschnitte: QI(0/2,5) QII(0/4,5) QIII(0/6) Funktionsgleichungen: QI II Stauchungsfaktor a = 0,5 = 0,5 = 0,5 Vergleiche die Normalparabel und die Parabel II ! I yI = a(x - d) e II yII = a(x - d)2 + e III yIII = a(x - d) e SIII yI = (x – ) 2 + 0,5 yII = (x – ) 2 + yIII = (x – ) 2 + NI,1 SII B NI,2 yI = 0,5(x - 3) yII = 0,5(x - 3)2 yIII = 0,5(x - 3)2 +1,5 1. Schritt: 2. Schritt: Zur allgemeinen Form ➔ Binom ausrechnen!: SI yI = 0,5(x2 -6x + 9) - 2 yII = 0,5(x2 – 6x + 9) yIII = 0,5(x2 – 6x+9) +1,5 yI = 0,5x2 -3x + 4,5 - 2 II yII = 0,5x2 – 3x + 4,5 yIII = 0,5x2–3x+4,5 +1,5 Einzeichnen bzw. betrachten: I yI = 0,5x2 -3x + 2,5 III yIII = 0,5x2 – 3x + 6 Parabeln nach oben geöffnet. Jetzt fehlt noch ein wesentlicher Schritt: ... den werden wir jetzt in Angriff nehmen. Parabeln senkrecht nach oben verschoben. Parabeln gestaucht. (Vergl. die Normalparabel!) 1

23 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ ( ) Nullsetzen beim Berechnen der Nullpunkte
Von der Funktionsgleichung zur Bestimmungsgleichung III yIII = 0,5x2 – 3x + 6 I yI = 0,5x2 -3x + 2,5 II yII = 0,5x2 – 3x + 4,5 Parabel: Best. Gl.: III 0,5x x = 0 I 0,5x x + 2,5 = 0 II 0,5x x + 4,5 = 0 a = 0,5 4ac 2 b - 2a x1,2 = √ -b a = 0,5 4ac 2 b - 2a x1,2 = √ -b a = 0,5 4ac 2 b - 2a x1,2 = √ -b b = -3 b = -3 b = -3 c = 6 c = 2,5 c = 4,5 √ 4•0,5•6 (-3) - 2 2•0,5 x1,2 = 3 √ 4•0,5•2,5 (-3) - 2 2•0,5 x1,2 = 3 √ 4•0,5•4,5 (-3) - 2 2•0,5 x1,2 = 3 3 √ 1 x1,2 = 3 √ 1 x1,2 = 3 √ 1 x1,2 = -3 √ 3 1 x1,2 = 3 2 1 x1,2 = 3 1 x1,2 = Berechne die obigen drei quadratischen Gleichungen mit der abc-Formel! ... dann KLICK! 𝕃III ={ ? } x = ? 𝕃III ={ } x1 = 5 x2 = 1 𝕃I ={1; 5} x = 3 𝕃II ={3} Gleichung III hat keine Lösung, denn: Die Parabel III hatte weder Berührpunkt noch Nullstellen. Gleichung I hat 2 Lösungen, denn: Die Parabel I hatte 2 Nullstellen. Gleichung II hat nur eine Lösung, denn: Die Parabel II hatte einen Berührpunkt. DI = DII = DIII = 4 -3 Die Diskriminante D entscheidet, ob die quadratische Gleichung zwei, eine oder keine Lösung hat: D > 0 D = 0 D ist negativ D < 0 Die verschiedenen Ergebnisse werfen Fragen auf. Der Schlüssel zum Verstehen heißt ‚Diskriminante‘. Forsche nach und versuche eine Erklärung schriftlich auf deinem AB in möglichst guter Fachsprache! ... dann KLICK! zwei Lösungen eine Lösung keine Lösung Die Diskriminante D ist der Radikand unter dem Wurzelterm der Lösungsformeln der gemischt quadratischen Gleichungen: Wie viele Lösungen stellen sich bei den verschiedenen Gleichungen ein? dann KLICK! Wie groß ist der Wert der Diskriminanten D bei den drei Aufgaben? Kennzeichne die Stellen (Kringel)! dann KLICK! ➔pq-Formel: D = – 4q p2 2 ( ) ➔abc-Formel: D = b ac GRATULATION FÜR DEIN DURCHHALTEVERMÖGEN! 1 Ein langer Weg vom Sammeln der Ideen (Schritt 1) über das Ordnen in der Arbeitsliste (Schritt 2) zum Abarbeiten der Liste (Schritt 3).

24 DAS ‚4-STUFEN-PRINZIP‘ ... ein Kreislauf
... dann benennt man den gesamten Kreislauf mit dem Fachbegriff „Modellieren“. beim Lösen von Mathe-Problemen in ‚Textaufgaben‘. Hintergrund ist eine wirklichkeitsnahe Geschichte. (oft) In Ruhe durchlesen . Ist die Frage schon gestellt? Habe ich Erfahrungen mit dem Thema? Kann ich mir das vorstellen? Fehlen mir Informationen? Wo finde ich sie? Sind etwa unnötige Informationen enthalten? 1. Stufe: “Sich ein Bild machen.“ 2. Stufe: „Vom Bild zur Mathematik“ Was ist der Kern des Problems Zusammenhänge suchen und herstellen, übersetzen in mathematische Sprache (z.B. Zahlen, Symbole, Tabellen, Skizzen, textliche Aussage, Zeichnungen, Gleichungen  Modelle). Entscheidungen zum Lösungsweg ‚Modellbildung‘ eigentliche ☞ 3. Stufe: Mathematische Werkzeuge nutzen. Rechnen und/oder zeichnen im Modell! z.B. Grundrechenarten/ Gleichungen/ Gleichungssysteme/Zeichnungen/Graphen bis zum Ergebnis ... ist eigentlich ein KREISLAUF kritisch bewerten, auswerten, evtl. runden, wieder einordnen in die reale Geschichte! Rückübersetzen der mathematischen Sprache in die Alltagssprache ➔ Antwortsatz 4. Stufe: Überprüfen des Ergebnisses / Antwortsatz. Mit Hilfe der Arbeitsvorschläge kommst du immer von Stufe zu Stufe. 1

25 DER FUNKTIONSBEGRIFF = x f(x) = y f: x → 3x f(x) = 3x y = f(x) y = 3x
Vereinfachtes Modell: Definition: Eine Funktion f ordnet jeder reellen Zahl x aus ihrem Definitionsbereich 𝔻 genau eine reelle Zahl y = f(x) aus dem Wertebereich 𝕎 zu. Du kannst dir die Funktion als Apparat vorstellen. unabhängig abhängig Funktion Definitionsbereich („Alles, was eingesetzt werden muss.“) Input Output Wertebereich („Alles, was rauskommen darf.“) Die Mengendarstellung eignet sich gut, um die Zuordnungen sichtbar zu machen. 𝔾 = ℝ Konkretes Beispiel: Verdreifacher 3x 1 25 81 16 121 9 4 169 36 ... 5 15 4 -5 1 3 -2 = x f(x) = y 𝔻 = {1;-2;3;4;-5} 𝕎 = ℕ Schreibweisen: Fachsprache: Definitionsbereich: Der Definitionsbereich 𝔻 enthält eine genau festgelegte Menge von Elementen aus dem Grundbereich 𝔾. „x wird abgebildet auf f(x)“. f: x → 3x Oder man gibt die Zuordnungsvorschrift (Rechenvorschrift) zur Kenntnis: Wertebereich: Die zugeordneten Werte stammen aus dem Wertebereich 𝕎. f(x) = 3x Grundbereich: Wenn es nicht anders festgelegt wird, so bildet die Menge ℝ der x reellen Zahlen den Grundbereich 𝔾. Die traditionelle Schreibweise: f(x) = y = 3x y = 3x y = f(x) 1

26 Das Schaubild ist eine Gerade.
Funktionen Definitionsbereich: Der Definitionsbereich 𝔻 enthält eine genau festgelegte Menge von Elementen aus dem Grundbereich 𝔾. Definition: Eine Funktion f ordnet jeder reellen Zahl x aus ihrem Definitionsbereich 𝔻 genau eine reelle Zahl y = f(x) aus dem Wertebereich 𝕎 zu. Wertebereich: Die zugeordneten Werte stammen aus dem Wertebereich 𝕎. Grundbereich: Wenn es nicht anders festgelegt wird, so bildet die Menge ℝ der reellen Zahlen den Grundbereich 𝔾. Lineare Funktion y = mx + b Alle Funktionen (ersten Grades), deren Schaubild eine Gerade ist, heißen lineare Funktionen. (linea  Linie, Faden) Das Schaubild ist eine Gerade. Die Steigung berechnest du, indem du den senkrechten Höhengewinn [y-Achse ↑(+)bzw.↓(-)] durch die waagrechte Entfernung [x-Achse →(+)bzw.←(-)] dividierst. Quadratische Funktion y = ax2 + bx + c Die Funktion y = x2 ist die einfachste Form einer quadratischen Funktion. Ihr Graph ist die Normalparabel. 1

27 Arten von Zahlen e π -√3 √7 ⅚ -⅜ ⅘ √15 ℝ ℤ -1 -2 -3 ... 1 2 3 4 ... 5
Den natürlichen Zahlen ℕ begegnen wir bereits in der Grundschule. ℕ={1, 2, 3, ....} Arten von Zahlen Ein Überblick: ℝ Es ist nicht einheitlich festgelegt, ob die Null zu den natürlichen Zahlen gehört. Eine weit verbreitete Schreibweise zählt die Null dazu und benennt diese Menge mit ℕ0={0, 1, 2, 3, ...}. ℤ π e -1 -2 -3 ... 1 2 3 4 ... 5 ℕ ℕ0 ℕ0 ist nur ein Teil der Menge der ganzen Zahlen ℤ. -√3 √7 √15 3 ... ⅘ -⅜ 1,2 -2,5 ⅚ 7/11 Es gibt auch noch die negativen ganzen Zahlen: {-1, -2, -3, ....} ℚ ℤ = { , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } Wo ordnen wir die Bruchzahlen ein? { ... -½, -⅔, -⅘, -1,25, ⅜, 0,38 32/7, ... } Du kannst jede ganze Zahl aus der Menge ℤ als Bruchzahl schreiben. z.B. 3 = 3/1 oder -2 = -2/1. Auch die endlichen Dezimalzahlen sind Bruchzahlen. z.B. 1,2 = 12/10. Also gehört jede ganze Zahl und jede endliche Dezimalzahl auch zu den Bruchzahlen. Bei etlichen Nennern ergeben sich beim Dividieren auch unendliche periodische Dezimalzahlen. z.B. 7/11 = 0,63. Alle diese Bruchzahlen nennt man rationale Zahlen. Zeichen: ℚ (von Quotient) Neu: Die unendlichen und nicht periodischen Dezimalbrüche, die beim Ziehen von Wurzeln entstehen. (Immer, wenn der Radikand keine Quadratzahl bzw. kein Wert höherer Potenzen ist.) Alle diese Wurzelwerte können wir nicht als Bruchzahlen schreiben. Man spricht von den irrationalen Zahlen. Da man sie genau wie alle rationalen Zahlen aber auf dem Zahlenstrahl genau verorten kann, fasst man sie mit diesen als reelle Zahlen zusammen. Zeichen: ℝ 1 Du kennst bereits eine andere irrationale Zahl, nämlich die Kreiszahl Pi. π ≈ 3, Außerdem gehört die sog. Eulersche Zahl e (Wachstumszahl) dazu. e≈ 2, 27

28 Verändertes Verhalten
© 2014 Gernot Mühlbacher Wie soll ich mir einen Lernvorgang vorstellen? All dein Wissen und alle Erfahrungen, die du bisher gemacht hast, sind in deinem Gehirn gespeichert. Ohne Abspeichern läuft nichts! So entsteht dein ‚Bewusstsein‘. Es ist das Ergebnis vorangegangener Lernschritte. Lernen beginnt ja schon mit der Geburt! Lernen ist (nur) dann ein erfolgreicher Vorgang, wenn es zu einer (möglichst bleibenden) Änderung deines Verhaltens führt. Beispiel: Beim Fangen eines Balles öffnest du deine Hände und beugst die Ellenbogen. Dieses Verhalten erlernst du zum Beispiel durch Hinweise und häufiges Üben im Training des Handballvereins. Vergleiche die Aussagen im Text mit der bildlichen Darstellung! auf dem bestehenden Bewusstsein (Wissen, Erfahrung) aufbauend durch Verknüpfung mit neuen Reizen (Informationen) Ein neuer LERNSCHRITT Neue Informationen Umwelt z.B. Unterricht zeigt sich in Form von: neuem Wissen, neuen Erfahrungen, neuen Fertigkeiten, neuen inneren Haltungen / Einstellungen Verändertes Verhalten Ver- knüp- fung und / oder Frage: Was müssen wir tun, um zu einer möglichst bleibenden Verhaltensänderung, also zu erfolgreichem Lernen zu gelangen? Lernen ist mehr als nur Verstehen! Der neu erkannte Sachverhalt (das neu erworbene Wissen) wird immer wieder hinterfragt und bearbeitet und erst durch dieses Wiederholen gefestigt. Wenn diese Vernetzung unterbleibt, dann kann kein weiteres Lernen darauf aufbauen. Der neue Lernschritt ist erst abgeschlossen, wenn das neue Wissen und die neuen Erfahrungen im bisher bestehende Bewusstsein fest eingebunden (gespeichert) sind.

29 Kurz erklärt Kommt es zu einem Feuchte- oder Leitungswasserschaden, sind wir der ERSTE Experte am Schadenort. Wir leiten ERSTE Maßnahmen im Rahmen der Ursachenermittlung/-analyse und Schadenminderung ein. Wir treffen ERSTE Entscheidungen, wie mit der jeweiligen Situation unserer Empfehlung nach umzugehen ist und liefern unabhängig von Nachgewerken ERSTE Ergebnisse, Details zum Schadenausmaß und Einschätzungen zur weiteren Vorgehensweise. Auszüge aus START vor

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