Stichwortverzeichnis

Präsentation zum Thema: "Stichwortverzeichnis"—  Präsentation transkript:

0 ... mit uns können Sie rechnen!
Gernot Mühlbacher ... mit uns können Sie rechnen! * Gleichungssysteme Voraussetzung: Die Erarbeitung der vorangehenden Lehrwerke „Gleichungen“ und „Lineare Funktionen“. Lernen ist mehr als Verstehen! Wie geschieht eigentlich das Lernen? Du wirst die Absichten und das Vorgehen dieses Lehrwerkes besser verstehen, wenn du gleich mal hier reinschaust! 30 © Gernot Mühlbacher Für meine Enkel Moritz, Matthis, Greta und Zoe Ohne schriftliche Einwilligung des Autors sind Kopien jeglicher Art bzw. das Einstellen in ein Netzwerk nicht erlaubt.

1 Stichwortverzeichnis
1 führt immer zum 30 Lernen ist mehr als Verstehen ... zum Suchen HOME Folie Nr.: Additionsverfahren Koeffizient 27 Äquivalenz-Umformung 28 Lernen 30 Arten von Zahlen 29 Lernvorgang Betrag von Zahlen 14 Lineares Gleichungssystem 4 Einsetzungsverfahren 4 - 7 Lösungsmöglichkeiten Sonderfälle 24, 25 Gegenzahl natürliche Zahlen Term Gleichsetzungs-verfahren 8 - 12 Operator Term-Umformung Graphisches Lösungsverfahren 5 rationale Zahlen Variable identische Gleichungen 25 Rechenoperation Vier-Stufen-Prinzip 3, 4 u. a. irrationale Zahlen reelle Zahlen Zahl - Gegenzahl Konstante Subtraktionsverfahren 18 Zahlenarten ? 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Folien-Nr. anklicken! 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

2 Auf getrennten Wegen! ... und doch verbunden.
Im Rahmen des Lehrwerkes über Gleichungen haben wir zwei Themen gestreift, die wir in der Folge getrennt weiter behandeln: ‚Funktion‘ und ‚Gleichungssysteme‘. Die Berührungspunkte und Vernetzungen werden aber in den drei Lehrwerken sehr oft aufscheinen. Du solltest deshalb auch immer wieder auf das Lehrwerk ‚Gleichungen‘ zurück greifen können! Schon unsere nächste Folie wird dir sehr bekannt vorkommen. Bearbeite die Aufgabenstellung noch einmal sehr bewusst! Die damals im Lehrwerk „Gleichungen“ aufgetretene Frage haben wir nicht beantwortet. Sie wird uns hin zur Thematik „Gleichungssysteme“ führen. 1

3 Anwendung von Bestimmungsgleichungen
1. Stufe: Ralf und Rudi sind zusammen 9 Jahre alt. Ralf ist doppelt so alt wie Rudi. Wie alt ist Rudi? 2. Stufe: Löse die Aufgabe als Ganzes auf deinem Arbeitsblatt! Kontrolle? ... dann KLICK! Ralf Rudi: x Jahre Rudi Ralf: 2x Jahre Summe: 9 Jahre Die Summe von neun Lebensjahren entsteht aus zwei Summanden: 4. Stufe: x + 2x = 9 Jahre Probe: x + 2x = 9 = 9 wahre Aussage! 𝕃 = {3} 3x = 9 Jahre :3 Rudi ist 3 Jahre alt. 3. Stufe: x = 3 Jahre Welche Schritte umfasst die jeweilige Stufe des „4-Stufen-Prinzips“? Versuche in Kürze, die Entwicklungs-schritte nach dem 4-Stufen-Prinzip (Lehrwerk „Modellieren“) im Lösungsweg dieser Sachaufgabe nachzuvollziehen! Umrahme die einzelnen Schritte! 1. Stufe: Text lesen und verstehen. Das ist bei dieser Aufgabe keine große Herausforderung! 2. Stufe: Alltagssprache übersetzen in mathematische Sprache/Bilder! Bei genauem Hinsehen bemerken wir, dass die Stufen 2 und 3 nicht sauber zu trennen sind. Handelt es sich noch um Alltagssprache übersetzen? 3. Stufe: Mathematische Werkzeuge nutzen Rechnen! 4. Stufe: Überprüfen des Ergebnisses. Einbetten in die erzählte Geschichte! oder schon um Anwenden der Mathematik? 1

4 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 2. Stufe: 1. Stufe:
Vielleicht bist du selbst auf folgenden Lösungsweg gekommen, indem du Satz für Satz vorgegangen bist: LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 2. Stufe: Alltagssprache übersetzen in mathematische Ausdrücke. 1. Stufe: Text lesen und verstehen. (meist reine Kopfarbeit, aber sehr wichtig! Ralf und Rudi sind zusammen 9 Jahre alt. Ralf ist doppelt so alt wie Rudi. Wie alt sind die beiden? Ralf Rudi Übersetze die beiden Aussagen jeweils in eine algebraische Gleichung! Überlegung beim Lesen des Textes: Da weder Rudi‘s noch Ralf‘s Alter bekannt sind, haben wir es zunächst mit zwei Variablen (Unbekannten) zu tun: Rudi: x Jahre Ralf: y Jahre Zwei Variable und 1. Aussage: Ralf und Rudi sind zusammen 9 Jahre alt. 1. Gleichung: x + y = 9 zwei lineare Gleichungen 2. Aussage: Ralf ist doppelt so alt wie Rudi. 2. Gleichung: y = 2x bilden ein lineares Gleichungssystem. Weshalb lassen sich dieses Mal die Stufen 2 und 3 beim Lösen des Gleichungssystems eindeutig trennen? Alle Zahlenpaare (x/y), die beide Gleichungen erfüllen (d.h. beim Einsetzen zu einer wahren Aussage führen), sind Lösungen des linearen Gleichungssystems. 3. Stufe: Mathematische Werkzeuge nutzen. Rechnen! Hier wird das Einsetzungsverfahren zum Einsatz kommen: Welche Schritte des 4-Stufen-Prinzips sind bis jetzt sichtbar geworden? Umrahme diese Stufen wie auf der vorigen Folie! Typische Situation: Eine Gleichung ist bereits nach y aufgelöst. y ist so viel wert wie 2x. I x + y = 9 Auf der vorigen Folie haben wir –durch reine Kopfarbeit- die Gleichung II bereits in die Gleichung I eingearbeitet und das Einsetzungsverfahren sozusagen versteckt. Deshalb überlappten sich die Stufen 2 und 3. Aber: Jedes Mal gelangten wir zur Gleichung x + 2x = 9. Du wirst nun nacheinander drei Lösungs-Verfahren kennen lernen, die zur Lösung führen: II y = 2x 2x das Einsetzungsverfahren das Gleichsetzungsverfahren II in I: x + y = 9 das Additionsverfahren bzw. Subtraktionsverfahren Ziel erreicht! 3x = 9 | :3 Ziel: Stelle aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten x = 3 Kennzeichne die 3. und 4. Stufe! ( mit Hilfe des gewählten Verfahrens ) y = 2x Einsetzen in II: eine Gleichung mit einer Unbekannten her, die du lösen kannst! y = 2•3 = 6 4. Stufe: Prüfen! Antwortsatzsatz! Probe: = 9 Rudi ist 3 Jahre alt, Ralf ist 6 Jahre alt 1

5 GRAPHISCHES LÖSUNGSVERFAHREN
Wandle die Gleichung I in die Normalform! Wenn wir auf unser Wissen aus dem Lehrwerk „Lineare Funktionen“ (Folie ) zurückgreifen, dann können wir das Ergebnis der vorigen Rechnung auch graphisch ermitteln. Dieses graphische Lösungsverfahren könntest du auch zur Überprüfung der rechnerischen Lösung der Sachaufgabe (4. Stufe) anwenden. I x + y = 9 | -x Zeichne die Gerade I ! II I y = -1x + 9 m = -1 = -1 1 Gerade fällt -45° zur x-Achse. Schnittpunkt mit der y-Achse Zeichne die Gerade II ! II y = 2x Ursprungs-gerade + 0 Ergänze den Lückentext! Teste deine Aussage! m = 2 = 2 1 Gerade steigt steiler als 45° I Für jeden Punkt der Gerade I gilt: Wenn du den x-Wert und den Siehe Textaufgabe! y-Wert der Koordinaten addierst, dann beträgt die Summe immer 9. Für jeden Punkt der Gerade II gilt: Der y-Wert der Koordinaten ist immer wie der x-Wert. doppelt so groß Interessant ist der Schnittpunkt: Seine Koordinaten erfüllen beide Bedingungen. Er repräsentiert die der Textaufgabe! Lösung 1

6 1 3 2 1 2 3 EINSETZUNGSVERFAHREN 1
Für das Einsetzungsverfahren sehr geeignet: ... kleine Vorarbeit nötig: I r = 3s 1 Oft werden zwei senkrechte Striche eingesetzt, die ansagen, dass die beiden Gleichungen zusammen gehören. 3 II 3e + 2d = 5 I 2e + d = 4 |-2e I d = e II 3r - 18s = 45 Vorbereitung durch eine Äquivalenzumformung: Gleichung I nach d auflösen. I in II: 3r s = 45 Verfolge den Lösungsweg jeder Aufgabe zuerst immer aufmerksam auf der Folie! ... dann löst du diese Aufgabe auf dem AB! Gehe jeweils von Aufgabe zu Aufgabe (1-3). Nur wenn du dich sehr sicher fühlst, dann löse zuerst die Aufgabe! ... dann zurück zur Kontrolle! I d = • 9s - 18s = 45 - 9s = 45 |:(-9) s = -5 I in II: 3e + 2(4 – 2e) = 5 ... ausführlicher Lösungsweg 3e – 4e = 5 Einsetzen in: I r = 3s Immer in die einfachste Gleichung (I oder II) einsetzen! -e = 5 |-8 -e = -3 r = 3•(-5) |•(-1) e = 3 𝕃 = {(-15/-5)} r = -15 Einsetzen in: 3 2 II b = a I 15a b = 17 d = -2 𝕃 = {(3/-2)} Überprüfen: II in I: 15•(5b + 7) b = 17 II 3r - 18s = 45 I r = 3s Typischer Fehler: Klammer vergessen! 75b b = 17 88b = -88 |-105 -15 = 3• (-5) ? 1 •(-5) = 45 ? |:(88) b = -1 -15 = -15 45 = 45 ... etwas kürzer! II b = a I 15a b = 17 Einsetzen in: II 5(-1) = a 15• •(-1) = 17 ? 5•(-1) = 2 ? 2 𝕃 = {(2/-1)} a = 2 17 = 17 2 = 2 Bemühe dich immer um eine übersichtliche Schreibweise! Sonst folgen oft Fehler! I 2e + d = 4 II 3e + 2d = 5 2•3+ (-2) = 4 ? ? 3•3 + 2•(-2) = 5 3 Für die Überprüfung immer die ursprünglichen Gleichungen I und II heranziehen 4 = 4 5 = 5 1

7 1.) Löse eine der beiden Gleichungen nach einer Variablen auf.
Bei den soeben behandelten Gleichungssystemen haben wir für das Einsetzungsverfahren die typische Situation immer wieder wahrgenommen: Welches ist die typische Zusammensetzung des Gleichungssystems, damit das Einsetzungsverfahren sich gut zur Lösung eignet? Eine der beiden Gleichungen ist so aufgelöst (z.B. nach x oder y), dass sie in die andere ‚eingesetzt‘ werden kann. Alles klar? Sonst: Schau dir noch einmal die typische Situation auf dem Blatt der fertigen Folie 4 an! Nicht immer triffst du das Gleichungssystem in dieser günstigen Zusammensetzung an. Aber es sollte absehbar durch eine kurze Äquivalenzumformung vorzubereiten sein. Folie 4 Anleitung: Das Einsetzungsverfahren  1.)  Löse eine der beiden Gleichungen nach einer Variablen auf. (Oft liegt eine gegebene Gleichung schon passend vor. Wenn nicht: Verfahre so, dass möglichst keine oder zumindest "einfache" Brüche entstehen.) 2.) Setze den Term für diese Variable in die andere Gleichung ein. 3.) Löse die so entstandene Gleichung nach der übrig gebliebenen Variablen auf. 4.) Setze die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 ein und berechne so die andere Variable. 1

8 DAS GlEICHSETZUNGSVERFAHREN
Im nächsten Schritt wollen wir erreichen, dass du mit dem Gleichsetzungsverfahren umgehen kannst. Recherchiere und erarbeite alles, was du im Internet oder in deinem Mathe-Buch zum ‚Gleichsetzungs-verfahren‘ finden kannst! Kehre erst dann zu dieser Folie zurück! Du sollst es dir in eigener Verantwortung erarbeiten. Das Internet macht dir zu diesem Thema ein vielfältiges Angebot. Was du dabei auf der ersten aufgerufenen Seite (URL) nicht ganz verstehst, können die nächsten Seiten vielleicht besser erklären. Teste dein neu erworbenes Können! Löse dieses Gleichungssystem unter Anwendung des Gleichsetzungsverfahrens! I y = x II y = 2, ,5x Vergleiche dann deinen Lösungsweg mit unserem Vorschlag! 1

9 DAS GLEICHSETZUNGSVERFAHREN
• DAS GLEICHSETZUNGSVERFAHREN Ziel: Typische Situation: Beide Gleichungen sind nach der gleichen Variablen aufgelöst. I y = x II y = 2, ,5x I y = x Stelle aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten ( mit Hilfe des gewählten Verfahrens ) II y = 2, ,5x eine Gleichung mit einer Unbekannten her, die du lösen kannst! I = II: x 2, ,5x = | +1,5x | -4 Ziel erreicht! ... aber: Weshalb ist dieses Vorgehen erlaubt und richtig? Äquivalenz-umformung -2x + 1,5x = 2, Dieser Frage gehen wir auf der nächsten Folie 10 nach. -0,5x = -1,5 |•(-2) 1x = 3 Graphische Überprüfung: Wir müssen die Gleichungen I und II nur leicht umstellen, und schon haben wir die Geradengleichungen in der Einsetzen in: I y = x y = • 3 Normalform: I y = - 2x + 4 II y = - 1,5x + 2,5 I y = -2 𝕃 = {(3/-2)} Achsenabschnitt: b = 4 Rechnerische Überprüfung: Steigungsdreieck: m = -2 = -2 +1 II Wir setzen das Wertepaar in die Gleichung I ein. I y = x -2 = •3 ? Achsenabschnitt: b = 2,5 Steigungsdreieck: -2 = -2 m = -1,5 = -3 +2 Wir setzen das Wertepaar in die Gleichung II ein. Schreibe die Geradengleichungen I und II als Funktions-gleichungen in der Normalform! II y = 2, ,5x Die Koordinaten des Schnittpunktes entsprechen dem Wertepaar unserer Lösung. -2 = 2, ,5•3 ? Zeichne die Geraden I und II ins Koordinatensystem -2 = -2 1

10 y DAS GLEICHSETZUNGSVERFAHREN |Ralf| |Rudi| 4 - 2x 2,5 - 1,5x |Frida|
An die Stelle von |Name| setzen wir nun die Terme unseres Gleichungssystems. Weshalb ist dieses Vorgehen erlaubt und richtig? I y = x Hast du bei deiner Recherche im Internet oder im Mathe-Buch auch eine Begründung erfahren, weshalb diese Gleichsetzung erlaubt ist ... und zum Ziel führt? Eine beliebte bildhafte Darstellung: Auch jetzt gilt das ‚Postulat‘ von Euklid. Ralf wohnt in Bonn. Rudi wohnt in Ulm. |Ralf| II y = 2, ,5x |Rudi| Den weiteren Lösungsweg hast du schon beschritten. x 2, ,5x Neue Aufgabe: Sei nicht festgefahren!: I 2x = y y Für meinen gedachten Lösungsweg schreibe ich die Gleichungen besser neben einander. | -4y 2x = y y II 4y + 2x = 8 = y I = II: | +4y | -5 y = 3 Ziel erreicht! |Name| ⬄Körpergröße Frida wohnt in Freiburg. Einsetzen in: |Frida| I 2x = y Löse das Gleichungssystem mit Hilfe des Gleichsetzungs-verfahrens! Kontrolle? ... KLICK! 2x = •3 Frida besucht Ralf und stellt fest, dass sie beide gleich groß sind. |Frida| = |Ralf| 2x = -4 |:2 x = -2 y = x 𝕃 = {(-2/3)} Du siehst: Frida besucht Rudi und stellt fest, dass auch sie gleich groß sind. |Frida| = |Rudi| 1. Die Gleichungen müssen nicht immer nach 1x oder 1y aufgelöst sein. In unserem Fall war 2x als ‚dritter Term‘ sehr günstig. In Gleichung I hätten sich sonst ungeliebte Bruchzahlen eingestellt. y = 2, ,5x Ralf und Rudi sehen sich nicht. Dennoch ist folgende logische Schlussfolgerung erlaubt: Ralf ist gleich groß wie Rudi. |Ralf| = |Rudi| 2. Es ist egal, welche Variable durch das ‚Gleichsetzen‘ verschwindet. Welche logische Aussage folgt daraus in Bezug auf die Körpergröße von Ben und Udo? x = 2, ,5x Der griechische Mathematiker Euklid (um 325 v.Chr.) formuliert dies allgemein: Deshalb gilt auch: Sind zwei Größen einer dritten gleich, Sind zwei Terme gleich einem dritten Term, so sind sie auch unter einander gleich. so sind sie auch unter einander gleich. 1

11 Gleichsetzungsverfahren: Gleichsetzungsverfahren:
ÜBUNGEN Gleichsetzungsverfahren: Gleichsetzungsverfahren: I 2n + p = 5 |•3 (2n + p)•3 = 5•3 II 3n - 2p = -3 |•2 (3n - 2p)•2 = -3•2 Wird in Zukunft sofort ausmultipliziert. I 6a - 4b = -46 | -6a | -9a ⬄ - 4b = -6a Vorbereitung: In beiden Gleichungen -4b isolieren! - 4b = -6a II 9a b = 29 ⬄ -4b = a 6n + 3p = 15 | -3p 6n = p | +4p 6n = p 6n - 4p = -6 I = II: -6a | +46 | +9a -6a + 9a = = a I = II: |+3p | +6 = 4p + 3p p = p Löse diese Aufgaben zuerst mit Hilfe des Gleichsetzungsverfahrens und dann mit Hilfe des vorher besprochenen Einsetzungsverfahrens! ... dann zurück zur Kontrolle! Du sollst lernen, zwischen verschiedenen Verfahren das günstigste frühzeitig zu erkennen. 3a = 75 |:3 a = 25 = 7p |:7 p = 3 Einsetzen in: - 4b = -6• p einsetzen in: I 2n + p = 5 - 4b = 2n = 5 - 4b = |:(-4) b = 49 2n = 2 |:2 n = 1 𝕃 = {(-2/3)} 𝕃 = {(1/3)} Einsetzungsverfahren: 1. Durch Äquivalenzumformungen sollen beide Gleichungen den Term 6n aufweisen. Dazu multiplizieren wir die gesamte Gleichung I mit dem Faktor 3 und die Gleichung II mit dem Faktor 2. II 9a b = 29 I 6a - 4b = -46 | -6a ⬄ - 4b = -6a Vorbereitung: In Gleichung I -4b isolieren! 2. 6n jeweils isolieren (alleinstellen)! 3. Gleichsetzen! Einsetzen in: II 9a b = 29 4. Ordnen, Zusammenfassen, p isolieren! 9a = 29 -6a | +46 3a = 75 5. n berechnen! Die Überprüfung erfolgte (nur) auf dem AB. Löse mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens und beurteile, ob dieses schneller zum Ziel führt! |:3 a = 25 Versuche die Lösung zuerst auf dem AB! Nur wenn du ratlos bist: Verfolge den Lösungsweg auf dieser Folie und rechne danach diese Aufgabe auf dem AB. Geht es dann ohne „Nachschauen“, d.h. ohne Hilfe? Das Einsetzungsverfahrens hätte schneller zum Ziel geführt, wenn man die Gleichung I nach p auflöst und in II einsetzt. b berechnen wie oben: b = 49 1

12 Das Gleichsetzungsverfahren
Bei den soeben behandelten Gleichungssystemen haben wir für das Gleichsetzungsverfahren die typische Situation immer wieder wahrgenommen: Welches ist die typische Zusammensetzung des Gleichungssystems, damit das Gleichsetzungsverfahren sich gut zur Lösung eignet? Alles klar? Sonst: Schau dir noch einmal die typische Situation auf den Blättern der fertigen Folien 9 – 11 an! Zwei Gleichungen I und II sind nach einer gemeinsamen Variablen (x oder y mit gleichem Koeffizienten) aufgelöst, so dass die Terme gleichgesetzt werden können. Folie 4 Sind zwei Größen einer dritten gleich, so sind sie auch unter einander gleich. Nicht immer triffst du das Gleichungssystem in dieser günstigen Zusammensetzung an. Aber es sollte absehbar durch eine kurze Äquivalenzumformung vorzubereiten sein. Sind zwei Terme gleich einem dritten Term, so sind sie auch unter einander gleich. Beispiel von Folie 11: Anleitung: Das Gleichsetzungsverfahren II 9a b = 29 I 6a - 4b = -46 | -6a | -9a ⬄ - 4b = -6a - 4b = -6a 1.)  Löse beide Gleichungen nach der gleichen Variablen auf. ⬄ -4b = a Die Variable und ihr Koeffizient müssen übereinstimmen! I = II: -6a | +46 | +9a -6a + 9a = = a  2.) Setze die beiden Terme der Gleichungen einander gleich. Eine Variable (der ‚dritte Term‘) verschwindet. 3a = 75 |:3 a = 25 3.) Löse die so entstandene Gleichung nach der enthaltenen Variablen auf. - 4b = -6•  4.) Setze die Lösung in eine der umgeformten Gleichungen aus Schritt 1 ein und berechne so die andere Variable. - 4b = |:(-4) b = 49 1

13 DAS ADDITIONSVERFAHREN
Im nächsten Schritt wollen wir erreichen, dass du mit dem Additionsverfahren umgehen kannst. Du sollst es dir in eigener Verantwortung erarbeiten. Das Internet macht dir zu diesem Thema ein vielfältiges Angebot. Was du dabei auf der ersten aufgerufenen Seite (URL) nicht ganz verstehst, können die nächsten Seiten vielleicht besser erklären. Recherchiere und erarbeite alles, was du im Internet oder in deinem Mathe-Buch zum ‚Additionsverfahren‘ finden kannst! Löse dieses Gleichungssystem unter Anwendung des Additionsverfahrens! Fertige dann die rechnerische und zeichnerische Überprüfung! (Training) Teste dein neu erworbenes Können! I 2x y = 5 II -2x y = -2 Vergleiche dann deinen Lösungsweg mit unserem nachfolgenden Vorschlag! 1

14 DAS ADDITIONSVERFAHREN Zahl und Gegenzahl
Du wirst jetzt ganz schnell die Bedeutung von ‚Zahl und Gegenzahl‘ beim angestrebten Additionsverfahren erkennen. Ein Blick auf den Zahlenstrahl: Weshalb dieser kleine Ausflug in die Welt der Zahlentheorie? Wir stellen eine positive Zahl (z.B. 3) auf dem Zahlenstrahl durch einen Pfeil über 3 Einheiten nach rechts dar. x-Spalte y-Spalte absolute Zahlen Es ist ganz wichtig, die Variablen wohl geordnet unter einander zu schreiben. I 2x y = 5 II -2x y = -2 I 2x y = 5 Typische Situation: Die Koeffizienten einer Variablen sind Gegenzahlen. Das +Zeichen lässt man meistens weg. Das Addieren der geordneten Variablen und absoluten Zahlen zweier Gleichungen ist eine erlaubte Äquivalenzumformung. |-3| |3| = I +II +3y = 3 |:3 Ziel erreicht! -3 + 3 y = 1 Das wollten wir: Die Koeffizienten der Variablen x sind Gegenzahlen. Die Variable x ‚verschwindet‘. Die Gegenzahl -3 wird durch einen gleich langen aber entgegen gerichteten Pfeil dargestellt. Wir haben deshalb nur noch eine Variable! Im Hinblick auf ihre ‚Wirkkraft‘ sind Zahl und Gegenzahl gleich mächtig, y einsetzen in: Dann x berechnen! 2x = 5 •1 jedoch nicht in ihrer ‚Wirkrichtung‘. (Richtung ⇒ Wert) 2x = 5 | -2 2x = 3 Die beiden Möglichkeiten einer Überprüfung werden auf der nächsten Folie gezeigt. |:2 x = 1,5 Die Summe von Zahl und Gegenzahl ergibt den Wert 0. 𝕃 = {(1,5/1)} Vorbereitung eines Gleichungssystems für das Einsetzungsverfahren: Bei vielen Gleichungssystemen müssen die idealen Gegenzahlen erst noch vorbereitet werden. Wenn man die reine ‚Wirkkraft‘ = Betrag einer Zahl ohne Rücksicht auf das Vorzeichen verdeutlichen will, dann schreibt man sie zwischen zwei senkrechte Betragsstriche. I 2a - 5b = -1 II 5a - 8b = 11 |•(-5) |•2 Überlege die Absicht, die unser Vorschlag verfolgt und gehe zu deinem AB! Zahl 3: Wert: -3 < +3 Die Variable a soll Gegenzahlen als Koeffizienten erhalten. Nur dann kannst du das Additionsverfahren anwenden. Betrag: |+3| = |-3| 1

15 14 Rechnerische Überprüfung: Graphische Überprüfung: I 2x + 2y = 5
(... nur so zum Training) I 2x y = 5 II -2x y = -2 I 2x y = 5 Kontrolliere, ob du die graphische Überprüfung auf deinem AB korrekt ausgeführt hast! 𝕃 = {(1,5/1)} Gleichung I in die Normalform umwandeln: II -2x y = -2 Einsetzen in I y = -x + 2,5 2• • = 5 1,5 1 y = x + 2,5 1 -1 S(1,5/1) = 5 Überprüfe, ob du die rechnerische und zeichnerische Überprüfung auf dem AB korrekt ausgeführt hast! 5 = 5 Gleichung II in die Normalform umwandeln: Einsetzen in -2• = -2 1,5 1 II y = 2x - 2 Die Gleichungen I und II haben ein einziges Wertepaar gemeinsam. Deshalb: = -2 y = x 1 2 -2 = -2 𝕃 = {(1,5/1)} Die Probe immer mit beiden ursprünglichen Gleichungen durchführen! Siehe Lehrwerk „Lineare Funktionen“! Stimmt mit der Rechnung überein. zu Folie 14: 14 Stelle die Gegenzahl von -2,5 auf dem Zahlenstrahl dar! Welchem Ziel dienen die vorgeschlagenen Äquivalenzumformungen? Vorbereitung eines Gleichungssystems für das Additionsverfahren: I 2a - 5b = -1 II 5a - 8b = 11 |•(-5) ⬄ -10a b = 5 |•2 ⬄ 10a b = 22 2,5 I +II +9b = 27 Eine Gleichung mit einer Variablen ist lösbar. 1 𝕃 = {(1,5/1)} Ziel erreicht!

16 ÜBUNGEN Additionsverfahren: I 15x - 2y = 44 II 10x - 3y = 16 |•(-3)
II 8v w = 2 I 7v w = 0 I 7v w = 0 |•(-8) Vorbereiten! |•2 |•7 Die Koeffizienten der Variablen v sollen in Gegenzahlen verwandelt werden. Die Koeffizienten der Variablen y sollen in Gegenzahlen verwandelt werden. I 9x y = 18 II 8x y = I 9x y = 18 I v w = 0 I x y = I x y = II 56v w = 14 II 20x y = 32 I +II 1w = 14 I +II 17x |:17 x = -6 = I +II -25x |:(-25) x = 4 = Einsetzen in 7v = 0 •14 Einsetzen in Einsetzen in Berechne auf dem AB! Wenn du willst, kannst du nach jeder Aufgabe zur Folie zurückkehren und kontrollieren. ... oder du rechnest alle drei Aufgaben und kontrollierst dann. 7v = 0 | +112 7v = 112 y = •(4) y = 18 •(-6) |:7 v = 16 y = | +180 6y = 48 y = 18 | +54 12y = 72 𝕃 = {(16/14)} |:6 y = 8 |:12 y = 6 Überprüfung: 𝕃 = {(4/8)} 𝕃 = {(-6/6)} I 7v w = 0 II 8v w = 2 ? ? = 0 •16 •14 = 2 •16 •14 Überprüfung: Überprüfung: = 0 128 - 126 = 2 I 9x y = 18 I 15x y = 44 ? 2 = 2 = 18 •(-6) ? •6 = 44 •4 •8 Man kann natürlich auch zuerst die Variable w eliminieren. (d.h. ‚verschwinden lassen‘) 18 = 18 44 = 44 II 8x y = II 10x y = 16 ? ? Verwandle die Koeffizienten der Variablen w in Gegenzahlen und rechne auf dem AB (Rückseite) mit dieser Möglichkeit zu Ende! = •(-6) •6 = 16 •4 •8 = -120 = 16 -120 = -120 -120 = -120 1

17 Im Zusammenhang mit dem ‚Additionsverfahren‘
EIN VIERTES VERFAHREN? ... eigentlich nicht! Im Zusammenhang mit dem ‚Additionsverfahren‘ wird oft das ‚Subtraktionsverfahren‘ erwähnt. Wie nah die beiden Verfahren sich stehen, zeigt dir das Vorgehen an folgendem Gleichungssystem: Nichts Neues ... ein kleiner Unterschied I 5x y = 4 II 3x y = -55 I 5x y = 4 II 3x y = -55 |•7 I 35x y = 28 I 5x y = 4 II 3x y = -55 |•3 I 15x + 6y = 12 |•2 II 6x y = -110 |•5 II 15x y = -275 Ohne besonders auf die Vorzeichen zu schauen kannst du entweder die Variablen x oder y ins Auge fassen. Durch Addieren fällt die Variable x nicht heraus. I +II 41x = -82 |:2 x = -2 I -II y -(-35y) = (-275) Also versuchen wir es mit Subtrahieren! Achtung! 41y = 287 |:41 y = 7 Einsetzen in I 5• y = 4 (-2) ... große Gefahr! Vorzeichenfehler y = 4 |+10 2y = 1 4 Einsetzen in I 5x • = 4 7 |:2 y = 7 Weiteres Vorgehen wie bereits bekannt. 5x = 4 |-14 5x = -10 |:5 x = -2 𝕃 = {(-2/7)} Im Wissen um diese Zusammenhänge spricht man oft vom Additions-/Subtraktionsverfahren. Die links stehende Version rechnest du im Voraus auf deinem AB! Den Lösungsweg der rechts stehenden Version schaust du dir genau an und rechnest diese dann erst im Nachhinein auf deinem AB! ... völlig frei aus deinem Gedächtnis. Zur Vereinfachung fasst man beide Vorgehensweisen oft unter ‚Additionsverfahren‘ zusammen. Von einem vierten Lösungsverfahren spricht man deshalb aber nicht 1

18 Das Additions-/Subtraktionsverfahren
Bei den soeben behandelten Gleichungssystemen haben wir für das Additionsverfahren die typische Situation immer wieder wahrgenommen: Beschreibe diese typische Zusammensetzung des Gleichungssystems! Zwei Gleichungen I und II sind entsprechend der allgemeinen Form ax + by = c korrekt unter einander stehend angeordnet. Eine der beiden Variablen besitzt Gegenzahlen als Koeffizienten. Alles klar? Sonst: Schau dir noch einmal die typische Situation auf den Blättern der fertigen Folien 14 – 16 an! Folie 14 Nicht immer triffst du das Gleichungssystem in dieser günstigen Zusammensetzung an. Aber es sollte absehbar durch eine kurze Äquivalenzumformung vorzubereiten sein. Das Addieren der getrennt geordneten Variablen und absoluten Zahlen zweier Gleichungen ist eine erlaubte Äquivalenzumformung. Anleitung Das Additions-/Subtraktionsverfahren 1. Forme beide Gleichungen so um, dass die Variablen entsprechend der allgemeinen Form ax + by = c korrekt unter einander stehend angeordnet sind. (Vorbereitung 1. Schritt) 2. Suche die Variable, die die kleinsten Koeffizienten und damit das kleinste kgV aufweist. 3. Bereite beide Gleichungen so vor, dass vor dieser Variablen jeweils Gegenzahlen als Koeffizienten entstehen. Dabei werden grundsätzlich beide Seiten der Gleichungen (d.h. alle Glieder) multipliziert. (Vorbereitung 2. Schritt) 4. Addiere jeweils die Kolonnen der Variablen und die absoluten Zahlen für sich getrennt. Das Ziel ist erreicht: Es entsteht eine lösbare Gleichung mit nur einer Variablen. 5. Die so berechnete Variable wird in eine der ursprünglichen Gleichungen eingesetzt, die zweite Variable wird berechnet. 6. Überprüfe das Ergebnis, indem du die Wertepaare in beide Gleichungen einsetzt. Die Überprüfung muss eine wahre Aussage ergeben. 1

19 Gleichsetzungsverfahren: Einsetzungsverfahren: Additionsverfahren:
Du hast gemerkt, dass wir im Verlauf der Übungsaufgaben immer wieder überlegt haben, wie die Aufgaben auch auf anderem Wege zu lösen seien. Du wirst immer wieder vor der Frage stehen, welches Lösungsverfahren für ein neues Gleichungssystem am schnellsten und am wenigsten fehleranfällig (Vorzeichen!) verläuft. I a = 2b II 7a - 3b = 51,5 Gleichsetzungsverfahren: Einsetzungsverfahren: Additionsverfahren: | -2b | -10 I -8a - 2b = -10 I a = 2b I a = 2b II 7a - 3b = 51,5 a = b |:2 Löse das gegebene Gleichungssystem mit Hilfe aller drei Verfahren! Beginne mit dem Verfahren, das dir am günstigsten erscheint, usw.! ... erst dann zurück zur Folie. I a = 2b | -2b | -10 II 7a - 3b = 51,5 II 7a - 3b = 51,5 II 7a - 3b = 51,5 a |•(-3) I 24a + 6b = 30 I -8a - 2b = -10 |+8a -2b = 8a Einsetzen in |•2 II 14a - 6b = 103 II 7a - 3b = 51,5 II 7a - 3b = 51,5 |-7a -3b = -7a + 51,5 7a - 3( ) = 51,5 -2b = 8a |•(3) -6b = 24a |+15 + 19a = 66,5 7a a = 51,5 |•2 -6b = -14a I +II 38a = 133 |:38 a = 3,5 |:19 a = 3,5 24a 3,5 3,5 = -14a Einsetzen in II 7a - 3b = 51,5 Einsetzen in a = b I = II: 7• b = 51,5 |+30 |+14a 24a + 14a = b = • 24, b = 51,5 | -24,5 - 3b = 27 b = |:(-3) b = -9 b = -9 38a = 133 |:38 a = 3,5 𝕃 = {(3,5/-9)} Einsetzen in Bei diesem Gleichungssystem war das Einsetzungsverfahren sowohl am schnellsten als auch am wenigsten fehleranfällig. Was meinst du? -2b = 8• 3,5 ... dicht gefolgt vom Additionsverfahren. -2b = 18 |:(-2) b = 9 Bevorzuge nie ein bestimmtes Verfahren im Voraus! Schau dir immer zuerst die Beschaffenheit der Gleichungen an! 1

20 Zunächst konnten wir die Stufen 2 und 3 des
Wir kommen zurück auf die zum Thema „Gleichungssysteme“ in der Einleitung gestellte Sachaufgabe. (Folien 3 – 5) Studiere noch einmal die Folien 3 – 5! Weshalb kam es zunächst zu einer Überlappung der Stufen 2 und 3? Zunächst konnten wir die Stufen 2 und 3 des 4-Stufen-Prinzips nicht sauber trennen. Auf der Folie 3 hatten wir –durch reine Kopfarbeit- die Gleichung II bereits in die Gleichung I eingearbeitet und das Einsetzungsverfahren sozusagen versteckt. Deshalb überlappten sich die Stufen 2 und 3. Aber: Bei beiden Rechenwegen gelangten wir zur lösbaren Gleichung x + 2x = 9. In den Lehrwerken „Gleichungen“(Folie 14 / 15) und „Lineare Funktion“ (Folie 5) trafen wir auf eine vergleichbare Sachaufgabe. Gehe zur nächsten Folie und löse die Sachaufgabe im Voraus auf dem AB zu Folie 21! Verdeutliche dabei auch die vier Stufen durch Einrahmen! Orientiere dich am Verlauf von Folie 4! Du kannst das fertig entwickelte Bild von Folie 4 als Vorlage verwenden. Eine geringe textliche Änderung macht nun die Sachaufgabe eindeutig lösbar, ohne dass der Definitionsbereich eingeschränkt werden muss. 1

21 Paula kauft 4 Orangen und 3 Feigen.
SACHAUFGABE UND GLEICHUNGSSYSTEM ... beim Einkauf Feines Obst wird zum Stückpreis verkauft. Paula zahlt 5,10 €. Insgesamt sind 7 Früchte in der Tüte. Oft lässt die Aufgabe die Frage offen. 2. Stufe: Alltagssprache übersetzen in mathematische Schreibweise. 1. Stufe: Überlegung beim Lesen des Textes: Frage: Wie viele Orangen/Feigen kauft Paula? Da weder die Anzahl an Orangen noch die der Feigen bekannt ist, haben wir es zunächst mit zwei Variablen (Unbekannten) zu tun: Anzahl Orangen: x Anzahl Feigen: y Text lesen, gliedern und verstehen. (... meist reine Kopfarbeit, aber sehr wichtig!) Übersetze die beiden Aussagen jeweils in eine algebraische Gleichung! Zwei Variable und 1. Aussage: Paula zahlt 510 ct . 1. Gleichung: 60x + 90y = 510 zwei lineare Gleichungen 2. Aussage: Insgesamt sind 7 Früchte in der Tüte. 2. Gleichung: x + y = 7 bilden ein lineares Gleichungssystem. 3. Stufe: Mathematische Werkzeuge nutzen. Rechnen! Hier wird das Additionsverfahren zum Einsatz kommen: 4. Stufe: 𝕃 = {(4/3)} |:10 I 6x y = 51 I 60x y = 510 I 60x y = 510 Antwortsatzsatz: |•(-6) II -6x - 6y = -42 II x y = 7 x y = 7 x y = 7 Paula kauft 4 Orangen und 3 Feigen. Einsetzen in II: Überprüfen: x = 7 |-3 x = 4 I + II: 3y = 9 | :3 ? I 60• • = 510 4 3 = 7 y = 3 3 510 = 510 7 = 7 1

22 Maja besitzt 2500 €. SACHAUFGABE UND GLEICHUNGSSYSTEM
... mein Sparkonto Sparbuch Maja hat ihr Geld auf zwei verschiedenen Banken hinterlegt. Das erste Konto-Guthaben wurde im Jahr 2014 mit 1,5% verzinst, das zweite mit 1%. So ergaben sich insgesamt 32,50 € an Zinsen, die Maja als Taschengeld abhob. Im Jahr senkten die Banken den Zinssatz um 0,5% und damit den Zinsertrag auf 20,00 €. 1. Stufe: Überlegung beim Lesen des Textes: 2. Stufe: Alltagssprache übersetzen in die mathematische Schreibweise. Mathematische Zusammenhänge erkennen. Frage: Wie viel Geld besitzt Maja? Wir legen wieder das Lösungsschema wie im Verlauf der vorigen Aufgabe zu Grunde. Da der Geldbetrag auf den zwei Konten unbekannt ist, haben wir es zunächst mit zwei Variablen (Unbekannten) zu tun: Schreibe für die Berechnung der Zinserträge jeweils eine algebraische Gleichung auf! Kapital 1: x € Kapital 2: y € Text lesen, gliedern und verstehen. (... meist reine Kopfarbeit, aber sehr wichtig!) Du kannst dir aber jederzeit ein eigenes (sicher kürzeres) Schema ausdenken. Es sollte das ‚4-Stufen-Prinzip‘ als Leitfaden erkennen lassen! Konto 1: Konto 2: Zins-ertrag: Zinssatz: 2014 2015 Die Gedanken darüber, wie du die Textinhalte übersichtlich darstellen willst, tragen gleichzeitig zum Verständnis des Textes bei. 1. Glg: x• y• = 32,50 |•100 0,015 1,5% 1,0% 0,01 32,50 € 1,0% 0,01 0,005 0,5% 20,00 € 2. Glg: x• y• = 20,00 |•100 Damit schaffst du dir Halt und Sicherheit. So verminderst du Stresssituationen. Hauptsache du findest eines! Hier wird das Einsetzungsverfahren zum Einsatz kommen: 3. Stufe: Mathematische Werkzeuge nutzen. Rechnen! 4. Stufe: |-1,5x I 1y = – 1,5x I 1,5x y = Überprüfen: Antwortsatzsatz und II 1x ,5y = Nimm jetzt dein AB und löse die Aufgabe! ... dann zurück zur Kontrolle! Maja besitzt 2500 €. 3250 – 1,5x Einsetzen in I: 1500 1000 ? I 0,015• ,01• = 32,50 Einsetzen in II: I 1,5• y = 3250 32,50 = 32,50 II 1x + 0,5( ) = y = 3250 II 0,01• ,005• = 20,00 1500 1000 ? x – 0,75x = 2000 y = 20,00 = 20,00 Gehe zum AB 23 und berechne das Gleichungssystem noch einmal mit den anderen Verfahren! 0,25x = 375 |•4 y = 1000 x = 1500 𝕃 = {(1500/1000)} 1

23 Gleichsetzungsverfahren: Additionsverfahren:
Berechne das vorige Gleichungssystem auch mit den zwei anderen Verfahren (ohne Probe)! Nimm zuerst das Verfahren in Angriff, das dir leichter erscheint! ... bei uns: Gleichsetzungsverfahren: Additionsverfahren: I 1,5x y = |-1,5x I 1y = ,5x I 1,5x y = |-1x |•2 II 1y = x II 1x ,5y = II 1x ,5y = |•(-2) II -2x y = I 1,5x y = I 1y = ,5• ,5x I 1,5• y = = x I = II: |+2x |-3250 0,5x = 750 I +II -0,5x = |•(-2) x = |•2 x = Einsetzen in: 1500 Einsetzen in: 1500 y = |-2250 y = y = y = Rückwirkend lässt sich sagen, dass alle drei Verfahren etwa gleich leicht anzuwenden waren. 1

24 I E I N (erster) S O N D E R F A L L :
Vielleicht liefert uns der Versuch einer graphischen Lösung eine einleuchtende Erklärung. Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Gehe zurück zum AB 24 und zeichne die beiden Geraden ins Achsenkreuz ein! Die Geradengleichungen I und II liegen bereits in der Normalform vor. Im Lehrwerk „Lineare Funktion“ (Folien 9 – 17) haben wir unser Handwerk gelernt: Es fängt ganz harmlos an ... ... und endet in einem Widerspruch! I 3y = 6x - 3 |+6x I -6x y = -3 II y = 2x +2 II II 5y = +10x |+10x II -10x y = 10 Achsenabschnitt: b = 2 |:3 I y = 2x - 1 Steigungsdreieck: m = 2 = +2 +1 Gerade steigt steiler als 45°. I II y = 2x + 2 |:5 Funktionsgleichung bzw. Normalform der Geradengleichungen. I y = 2x - 1 I = II: 2x = 2x + 2 |-2x -1 = 2 Achsenabschnitt: b = -1 Steigungsdreieck: m = 2 = +2 +1 Gerade steigt steiler als 45°. Löse das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren! Mit anderen Worten: Suche ein Wertepaar (x/y), das beide Gleichungen erfüllt! Kehre spätestens, wenn du Probleme erkennst, zu dieser Folie zurück! Du hast alles richtig gemacht ... ... und dennoch bekommst du keine vernünftige Lösung für den gesuchten x-Wert und damit auch für den y-Wert . Jetzt wird die einleuchtende Erklärung sichtbar. Bedenke: Keine Lösung ist auch eine Lösung! Die beiden Geraden verlaufen parallel. Deshalb gibt es keinen reellen Schnittpunkt der Geraden. Das würde nämlich bedeuten, dass es keine Lösung für dieses Gleichungssystem gibt. Der gemeinsame Steigungsfaktor m = 2 hätte dies in der Normalform verraten können. Im ursprünglichen Gleichungssystem war dies kaum erkennbar. Wie kann man so was verstehen? 1

25 I E I N (zweiter) S O N D E R F A L L :
Bevor du weiter rechnest, könntest du die beiden Geraden, deren Normalform bereits vorliegt, ins Achsenkreuz zeichnen. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Wieder ein Gleichungssystem: Achsenabschnitt: b1 = 3,5 Achsenabschnitt: b2 = 3,5 |-3x I 4y = -3x I 4y x = 14 yH xB -3 ⤵ yH xB -4,5 ⤵ II 6y ,5x = 21 |-4,5x II 6y = -4,5x Steigung: m1 = Steigung: m2 = +4 ⤷ ⤷ +6 |:4 I y = x + 3,5 -3 4 Zeichne den Graphen der beiden Geraden I und II ! Sie haben nicht nur einen Punkt gemeinsam, sondern unendlich viele! Die beiden Geraden liegen auf einander. |:6 II y = x ,5 -4,5 6 Was bedeutet dieser Sachverhalt für die Steigungsfaktoren m beider Gleichungen? Die beiden Geraden haben nicht nur den gleichen y-Achsen-Abschnitt b sondern auch gleich große Steigungsfaktoren m1 und m2. Schreibe die beiden Brüche als Dezimalzahlen! Funktionsgleichungen bzw. Normalform der Geradengleichungen. Identische Gleichungen I = II: | 3 4 4,5 6 x - x ,5 = 3,5 x x + 3,5 -3 4 = x ,5 -4,5 6 Löse das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren! Mit anderen Worten: Suche ein Wertepaar (x/y), das beide Gleichungen erfüllt! Kehre spätestens, wenn Probleme auftauchen, zu dieser Folie zurück! m1 = m2 = - 0,75 3 4 |-3,5 - x = 3, ,5 4,5 6 x Identische Geraden Forsche im Internet unter dem Stichwort „Gleichungssysteme Sonderfälle“ nach, wie sich diese graphische Besonderheit in der Rechnung auswirkt! -3 -0,75x + 0,75x = 3, ,5 I II 0 = 0 -4,5 +4 Dies ist eine wahre, allgemein gültige Aussage. Die beiden Gleichungen I und II sind identisch. Jedes Wertepaar (x/y), das für die Gleichung I gilt, gilt auch für die Gleichung II. +6 1

26 Übung macht den Meister! Die drei Lösungsmöglichkeiten
Du wirst im weiteren Verlauf deiner Beschäftigung mit algebraischen Berechnungen häufig auf Gleichungssysteme treffen. Die drei Lösungsmöglichkeiten ... das Gleichungssystem hat eine Lösung. Übung macht ... das Gleichungssystem ist unlösbar. ... das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. den Meister! werden immer wieder auftreten. Du musst die Ergebnisse dann auch deuten können! Die Wahl des für dich idealen Verfahrens, - Einsetzungsverfahren, - Gleichsetzungsverfahren, Du hast gesehen, dass im Internet viele Übungsaufgaben angeboten werden. - Additionsverfahren / Subtraktionsverfahren, wird oft darüber entscheiden, wie schnell und sicher du zur Lösung gelangst. 1

27 Verändere den Term durch Einfügen eines variablen Koeffizienten!
FACHBEGRIFFE beherrschen! Verändere den Term durch Einfügen eines variablen Koeffizienten! Wer Mathematik verstehen und in Mathematik mitreden will, der muss die Vokabeln gelernt haben. Das ist nicht anders als in Englisch! Was sagt er? I‘m the teacher. Variable Ein Platzhalter in einem Term. Gleichwertig verwendet man auch die Begriffe Veränderliche, Formelzeichen, Unbekannte. Term Ein  Term ist ein sinnvoller Rechenausdruck. Er kann Zahlen, Variablen, Rechenzeichen und andere math. Symbole wie Klammern beinhalten. (z.B. 3x oder 4(3-2y) Termwert 1. Beispiel:  (4 + 3) ∙ 5  Der Wert dieses Terms ist 35. 2. Beispiel: (x + 3) ∙ 5  ist ein Term, dessen Wert sich verändern kann. Der Wert dieses Terms ist (nur) dann 35, wenn man für die Variable x die Zahl 4 einsetzt. Koeffizient Ein Koeffizient ist eine Vorzahl einer variablen Zahl (z.B. 3•x oder 3x) in einem Term. Auf Grund des Kommutativgesetzes kann sie auch als nachgestellter Faktor auftreten (z.B. x•3). Sie wirkt bei der Feststellung des Termwertes mit. (lat. coefficere = mitwirken) Konstante Eine Konstante ist eine Größe, deren Wert sich nicht verändert. Sie begegnet uns entweder als absolute Zahl (z.B. 3) oder als Vorzahl in einem Term mit einer variablen Zahl (z.B. 3x).  siehe auch ‚Term‘ und ‚Koeffizient‘! 1 Hinweis: Auf Folie 20 findest du eine Übersicht mit Erklärung der verschiedenen Arten von Zahlen. 20

28 ... und noch ein paar Fachausdrücke Termumformung
Wendet man Rechengesetze (z.B. das Distributivgesetz oder das Kommutativgesetz) an, kann man Terme umformen. Dabei bleibt der Termwert immer gleich. (4 + 3) ∙ 5  ↔  4 ∙ 5  + 3 ∙ 5  ↔  5 ∙ 3  + 5 ∙ 4   (4 + x) ∙ 5  ↔  4 ∙ 5  + x ∙ 5  ↔  5 ∙x  + 5 ∙ 4  (Rechen)operation Die verschiedenen Rechenarten mit den dazugehörigen Rechenzeichen „+“ ,  „-“ ,  „∙“,  „:“ nennt man auch Rechenoperationen. Wichtig im Zusammenhang mit Gleichungen ist, dass man jede Rechenoperation mit der entsprechenden Gegenoperation rückgängig machen kann. Die Rechenoperation + 5 kann mit der dazugehörigen Gegenoperation -5 rückgängig gemacht werden. Operator Die Rechenzeichen „+“ ,  „-“ ,  „∙“,  „:“ oder auch „√“ nennt man Operatoren. Das Vorzeichen („-“ oder „+“) einer Zahl kann ebenfalls als Operator bezeichnet werden. Operatoren lässt man oft weg. Man hat dazu eindeutige Absprachen getroffen. (Mehr hierzu im Verlauf der Folie) Äquivalent ‚Äquivalent‘ bedeutet ‚gleichwertig‘. Haben zwei Terme den gleichen Wert,  sind sie äquivalent. Die folgenden Terme sind äquivalent, denn beide Terme haben den Wert 35: T = T2 (4 + 3) ∙ 5  =   Hinweis: Am Ende des Lehrwerkes findest du eine Übersicht mit Erklärung der verschiedenen Arten von Zahlen. 1 28

29 Arten von Zahlen e π -√3 √7 ⅚ -⅜ ⅘ √15 ℝ ℤ -1 -2 -3 ... 1 2 3 4 ... 5
Den natürlichen Zahlen ℕ begegnen wir bereits in der Grundschule. ℕ={1, 2, 3, ....} Arten von Zahlen Ein Überblick: ℝ Es ist nicht einheitlich festgelegt, ob die Null zu den natürlichen Zahlen gehört. Eine weit verbreitete Schreibweise zählt die Null dazu und benennt diese Menge mit ℕ0={0, 1, 2, 3, ...}. ℤ π e -1 -2 -3 ... 1 2 3 4 ... 5 ℕ ℕ0 ℕ0 ist nur ein Teil der Menge der ganzen Zahlen ℤ. -√3 √7 √15 3 ... ⅘ -⅜ 1,2 -2,5 ⅚ 7/11 Es gibt auch noch die negativen ganzen Zahlen: {-1, -2, -3, ....} ℚ ℤ = { , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } Wo ordnen wir die Bruchzahlen ein? { ... -½, -⅔, -⅘, -1,25, ⅜, 0,38 32/7, ... } Du kannst jede ganze Zahl aus der Menge ℤ als Bruchzahl schreiben. z.B. 3 = 3/1 oder -2 = -2/1. Auch die endlichen Dezimalzahlen sind Bruchzahlen. z.B. 1,2 = 12/10. Also gehört jede ganze Zahl und jede endliche Dezimalzahl auch zu den Bruchzahlen. Bei etlichen Nennern ergeben sich beim Dividieren auch unendliche periodische Dezimalzahlen. z.B. 7/11 = 0,63. Alle diese Bruchzahlen nennt man rationale Zahlen. Zeichen: ℚ (von Quotient) Neu: Die unendlichen und nicht periodischen Dezimalbrüche, die beim Ziehen von Wurzeln entstehen. (Immer, wenn der Radikand keine Quadratzahl bzw. kein Wert höherer Potenzen ist.) Alle diese Wurzelwerte können wir nicht als Bruchzahlen schreiben. Man spricht von den irrationalen Zahlen. Da man sie genau wie alle rationalen Zahlen aber auf dem Zahlenstrahl genau verorten kann, fasst man sie mit diesen als reelle Zahlen zusammen. Zeichen: ℝ Du kennst bereits eine andere irrationale Zahl, nämlich die Kreiszahl Pi. π ≈ 3, 1 Außerdem gehört die sog. Eulersche Zahl e (Wachstumszahl) dazu. e≈ 2,

30 Verändertes Verhalten
© 2014 Gernot Mühlbacher Wie soll ich mir einen Lernvorgang vorstellen? All dein Wissen und alle Erfahrungen, die du bisher gemacht hast, sind in deinem Gehirn gespeichert. Ohne Abspeichern läuft nichts! So entsteht dein ‚Bewusstsein‘. Es ist das Ergebnis vorangegangener Lernschritte. Lernen beginnt ja schon mit der Geburt! Lernen ist (nur) dann ein erfolgreicher Vorgang, wenn es zu einer (möglichst bleibenden) Änderung deines Verhaltens führt. Beispiel: Beim Fangen eines Balles öffnest du deine Hände und beugst die Ellenbogen. Dieses Verhalten erlernst du zum Beispiel durch Hinweise und häufiges Üben im Training des Handballvereins. Vergleiche die Aussagen im Text mit der bildlichen Darstellung! auf dem bestehenden Bewusstsein (Wissen, Erfahrung) aufbauend durch Verknüpfung mit neuen Reizen (Informationen) Ein neuer LERNSCHRITT Neue Informationen Umwelt z.B. Unterricht zeigt sich in Form von: neuem Wissen, neuen Erfahrungen, neuen Fertigkeiten, neuen inneren Haltungen / Einstellungen Verändertes Verhalten Ver- knüp- fung und / oder Frage: Was müssen wir tun, um zu einer möglichst bleibenden Verhaltensänderung, also zu erfolgreichem Lernen zu gelangen? Lernen ist mehr als nur Verstehen! Der neu erkannte Sachverhalt (das neu erworbene Wissen) wird immer wieder hinterfragt und bearbeitet und erst durch dieses Wiederholen gefestigt. Wenn diese Vernetzung unterbleibt, dann kann kein weiteres Lernen darauf aufbauen. Der neue Lernschritt ist erst abgeschlossen, wenn das neue Wissen und die neuen Erfahrungen im bisher bestehende Bewusstsein fest eingebunden (gespeichert) sind. 2

31 DAS ‚4-STUFEN-PRINZIP‘ ... ein Kreislauf
... dann benennt man den gesamten Kreislauf mit dem Fachbegriff „Modellieren“. beim Lösen von Mathe-Problemen in ‚Textaufgaben‘. Hintergrund ist eine wirklichkeitsnahe Geschichte. (oft) In Ruhe durchlesen . Ist die Frage schon gestellt? Habe ich Erfahrungen mit dem Thema? Kann ich mir das vorstellen? Fehlen mir Informationen? Wo finde ich sie? Sind etwa unnötige Informationen enthalten? 1. Stufe: “Sich ein Bild machen.“ 2. Stufe: „Vom Bild zur Mathematik“ Was ist der Kern des Problems Zusammenhänge suchen und herstellen, übersetzen in mathematische Sprache (z.B. Zahlen, Symbole, Tabellen, Skizzen, textliche Aussage, Zeichnungen, Gleichungen  Modelle). Entscheidungen zum Lösungsweg ‚Modellbildung‘ eigentliche ☞ 3. Stufe: Mathematische Werkzeuge nutzen. Rechnen und/oder zeichnen im Modell! z.B. Grundrechenarten/ Gleichungen/ Gleichungssysteme/Zeichnungen/Graphen bis zum Ergebnis ... ist eigentlich ein KREISLAUF kritisch bewerten, auswerten, evtl. runden, wieder einordnen in die reale Geschichte! Rückübersetzen der mathematischen Sprache in die Alltagssprache ➔ Antwortsatz 4. Stufe: Überprüfen des Ergebnisses / Antwortsatz. Vergleiche mit der vorigen Folie! ... dann KLICK! 1

32 Kurz erklärt Kommt es zu einem Feuchte- oder Leitungswasserschaden, sind wir der ERSTE Experte am Schadenort. Wir leiten ERSTE Maßnahmen im Rahmen der Ursachenermittlung/-analyse und Schadenminderung ein. Wir treffen ERSTE Entscheidungen, wie mit der jeweiligen Situation unserer Empfehlung nach umzugehen ist und liefern unabhängig von Nachgewerken ERSTE Ergebnisse, Details zum Schadenausmaß und Einschätzungen zur weiteren Vorgehensweise. Auszüge aus START vor

33 Partner in Ihrer Nähe: A bis K Nächste Seite: L bis W
... über 60 Standorte in Deutschland und Österreich Aachen - Jülich - Düren - Zülpich - Bornheim - Bad Münstereifel - Bergheim - Kerpen - Erftstadt Düsseldorf - Velbert - Ratingen - Neuss - Grevenbroich - Solingen - Remscheid - Wuppertal Gütersloh Hamburg-Nord Hamburg-West Amberg - Weiden - Schwandorf - Cham - Regensburg Erfurt - Halle - Nordhausen - Straßfurt - Dessau Hannover - Hildesheim - Hameln Essen - Bottrop - Gladbeck - Dorsten - Oberhausen - Mühlheim/Ruhr Augsburg - Meitingen - Aichach - Fürstenfeldbruck - Starnberg - Landsberg am Lech - Bad Wörrishofen Heidelberg - Mannheim - Ludwigshafen - Worms - Bergstraße Frankfurt am Main - Wiesbaden - Offenbach - Hanau - Nidderau Helmstedt - Magdeburg - Quedlinburg - Braunschweig - Wolfsburg Aurich - Emden - Wittmund - Wilhelmshaven - ostfriesische Inseln - Bremen - Bremerhaven - Cuxhaven Freiburg - Lahr - Breisach - Bad Krozingen - Weil am Rhein - Titisee-Neustadt Ingolstadt Bayreuth - Bamberg - Coburg - Hof - Plauen - Jena - Gera - Zwickau Fulda - Bad Orb - Gersfeld (Rhön) - Zella-Mehlis - Bad Salzungen - Bad Hersfeld - Alsfeld - Stadtallendorf Karlsruhe - Rastatt - Baden-Baden - Bühl - Pforzheim - Bretten - Bruchsal - Wörth - Landau - Speyer Gießen - Wetzlar - Limburg a.d. Lahn - Montabaur - Taunusstein - Bad Homburg - Bad Nauheim Kassel - Marburg - Eisenach - Paderborn Chemnitz - Meerane - Zwickau - Döbeln - Meißen - Radebeul - Annaberg-Buchholz Kempten - Lindau - Friedrichshafen - Bad Saulgau - Memmingen - Kaufbeuren - Leutkirch - Füssen - Sonthofen Gmunden - Kirchham - Wels - Grieskirchen - Schärding - Salzburg Crailsheim - Ansbach - Bad Mergentheim - Öhringen - Schwäbisch Hall - Dinkelsbühl - Rothenburg o.d.T. - Waiblingen - Schorndorf - Backnang - Heilbronn - Eppingen - Bietigheim-Bissingen Graz - Deutschlandsberg - Hartberg - Feldbach - Voitsberg - Weiz - Leibnitz - Fürstenfeld - Graz-Umgebung - Radkersburg - Güssing - Jennersdorf - Oberwart - Wolfsberg - Völkermarkt Kiel Koblenz - Neuwied - Bonn - Rhein-Sieg-Kreis Darmstadt - Rüsselsheim - Aschaffenburg - Groß-Umstadt - Rodgau Köln - Brühl - Wesseling - Hürth - Frechen - Pulheim - Hilden - Leverkusen - Bergisch Gladbach Göppingen - Leinf.-Echterdingen - Nürtingen - Tübingen - Reutlingen - Ehingen (Donau) Dortmund - Bochum - Wetter (Ruhr) - Herdecke - Schwerte - Fröndenberg (Ruhr) Göttingen - Detmold - Salzgitter - Holzminden - Bad Harzburg Nächste Seite: L bis W START zurück vor

34 Partner in Ihrer Nähe: L bis W
... über 60 Standorte in Deutschland und Österreich Leipzig - Dessau-Roßlau - Zerbst - Wittenberg - Jessen - Torgau - Riesa - Grimma - Borna - Weißenfels - Merseburg - Delitzsch - Köthen Rosenheim - Garmisch-Partenkirchen - Weilheim i.OB - Burghausen - Geretsried - Ottobrunn - Waldkraiburg - Traunreut - Berchtesgadener Land Wien Wiener Neustadt Würzburg - Wertheim - Tauberbischofsheim - Bad Windsheim - Schweinfurt - Bad Neustadt a.a. Saale - Lohr Linz Recklinghausen - Gelsenkirchen - Marl - Lüdinghausen - Werne - Lünen Mainz Sauerland - Siegen - Gummersbach - Hagen - Arnsberg Mönchengladbach - Jüchen - Erkelenz - Hückelhoven - Geilenkirchen - Heinsberg - Wegberg - Nettal - Viersen - Kempen - Tönisvorst - Krefeld Schwerin - Stralendorf - Boizenburg/Elbe - Uelzen - Salzwedel - Stendal - Wittenberge - Perleberg - Pritzwalk - Güstrow - Wismar München Stadt Stuttgart Münster - Lengerich - Rheine - Ibbenbüren - Lingen (Ems) - Nordhorn - Vreden - Borken - Dülmen Tirol Trier Neubrandenburg -Rostock - Stralsund - Greifswald - Briggow - Prenzlau - Schwedt - Neuruppin Tulln - Hollabrunn - Horn - St. Pölten - Zwettl - Krems - Korneuburg - Mistelbach - Gänserndorf - Gmünd - Klosterneuburg - Waidhofen a. d. Thaya - Wien Bezirk Nürnberg - Fürth - Erlangen - Roth - Eichstätt Niederbayern Passau - Deggendorf - Straubing - Landshut Tuttlingen - Rottweil - Singen - Konstanz - Friedrichshafen - Sigmaringen Oldenburg - Emden - Vechta Ulm - Neu-Ulm - Aalen - Schwäbisch Gmünd - Ellwangen - Nördlingen - Heidenheim - Günzburg - Dillingen - Illertissen - Laupheim - Krumbach - Biberach a. d. Riß Osnabrück - Herford - Minden - Enger START zurück