Rosebrock: Geometrische Gruppen

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1 Rosebrock: Geometrische Gruppen
SFZ 15/16 W.Seyboldt

2 Überblick Gruppentheorie
Wir lernen Gruppen vor allem anhand von Beispielen kennen. Wir beginnen mit Beispielen aus der Geometrie. Die systematische Untersuchung von Gruppen begann im 19. Jahrhundert, (Galois 1831, Abel). Es ging damals um die Lösbarkeit von algebraischen Gleichungen (Nullstellen von Polynomen). Später wurden mit Gruppen geometrischer Symmetrien untersucht. Algebraische Zahl = Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten, z.B Eine Zahl, die keine Nullstelle eines solchen Polynoms ist, heißt transzendent, z.B. pi, e, sin(x) [bis auf wenige Ausnahmen], ln(a) [falls a ≠1]. Die große Bedeutung der Gruppentheorie für viele Gebiete der Mathematik und ihrer Anwendungen resultiert aus ihrer Allgemeinheit: Gruppen beschreiben sowohl geometrische Sachverhalte (Bewegungen des Raumes, Symmetrien etc.) als auch arithmetische Regeln (Rechnen mit Zahlen, Matrizen etc.). Wikipedia Oder SFZ 15/16 W.Seyboldt

3 Literatur Lit1: Buch von S. Rosebrock: Geometrische Gruppentheorie
Es wird ein Zugang zur GT über die Symmetrie vorgestellt. Lit2: Buch von Michel Artin: Geometric Algebra (nutzen wir für Matrizen) Lit3: Buch von H.E. Rose: A Course on Finite Groups Auch diese Buch geht von geometrischen Beispielen aus Gruppen beschreiben Symmetriephänomene algebraisch - man rechnet mit Spiegelungen, Drehungen, usw., allgemein mit Abbildungen von Räumen auf sich. Seit 1982 sind die endlichen einfachen Gruppen vollständig klassifiziert. Jede gehört entweder zu einer der 18 Familien endlicher einfacher Gruppen oder ist eine der 26 Ausnahmegruppen, die auch als sporadische Gruppen bezeichnet werden. Siehe Artikel in Spektrum März 16: Der größte Beweis der Mathematik Es gibt ein freies Computerprogramm GAP, das mit Gruppen umgehen kann. Beide Bücher nutzen es. Wir werden es auch benutzen. Vorwort von Rosebrock siehe auch SFZ 15/16 W.Seyboldt

4 Erstes Beispiel: Geometrische Gruppe D3 = S3
Eine (ebene) Isometrie (oder auch eine Bewegung) ist eine längenerhaltende bijektive Abbildung der Ebene auf sich. Erstes Beispiel D3 : Abbildungen eines gleichseitigen Dreiecks auf sich - die seine Symmetrien beschreiben. Id = e = 1 – die Identität. Drei Geradenspiegelungen an den Seiten- halbierenden s1, s2, s3 Wir bezeichnen sie ebenfalls mit si Zwei Drehungen um 120°, 240° Bezeichnung d = d1 = d120 und d2 = d2 = d240 D3 = {e, d, d2, s1, s2, s3} – 2*3 Elemente D = Dieder-Gruppe (Lies: Di-Eder engl: Dihedral group) eines 3-Ecks Mehr Abbildungen des Dreiecks auf sich gibt es nicht: Bei jeder solchen Abbildung wird Eckpunkt auf Eckpunkt abgebildet. Es gibt aber nur 6 Permutationen von 3 Punkten. (S.1 p11) SFZ 15/16 W.Seyboldt

5 D3 = S3 – Bewegungen in Zyklenschreibweise
Zyklenschreibweise für die Deckabbildungen eines ein reguläres 3-Eck: s1 ≅ (2, 3)(1) – Ecke 2 auf 3, 3 auf 2, Ecke 1 auf sich oder s1 ≅ (2, 3) - Ecken, die auf sich abbilden, weglassen d1 ≅ (1,2, 3) – Ecke 1 auf 2, 2 auf 3, 3 auf 1 D3 = {(), (1, 2, 3), (1, 3, 2), (3, 2), (1, 3), (1, 2)} = {e, d, d2, s1, s2, s3} Bei GAP erfolgt die Eingabe immer in Zyklen D3:=Group((), (1,2,3), (1,3,2), (1,2), (1,3), (2,3)); oder: Read("/bsp/D3a.g"); Weitere Infos zu Zyklen und Permutationen siehe Folien unten (S.4 p14) SFZ 15/16 W.Seyboldt

6 Bitte Tabelle selbst erstellen.
Verknüpfen Die Elemente von D3 können wir hintereinander ausführen, Etwa zuerst s1 und danach d. Mit der Zyklenschreibweise können wir ausrechnen, dass d∘𝑠1 = (lies die rechte Seite von rechts nach links) Es ist s1= (2, 3) und d = (1, 2, 3) Damit ist d∘𝑠1 = (1, 2, 3) ∘ (2, 3) = (2,1) = 𝑠3 Wir können alle Verknüpfungen von D3 = S3 = {e, d, d2, s1, s2, s3} be- stimmen und in einer Tabelle notieren. Bitte Tabelle selbst erstellen. SFZ 15/16 W.Seyboldt

7 Verknüpfungstabelle, Erzeugende,
Die Hintereinanderausführung von Isometrien ist i.A. nicht kommutativ, etwa s3 o s2 = (1,2) o (1,3) = (1,3,2) = d ≠ s2 o s3 = (1,3) o (1,2) = (1,2,3) = d2 Nochmals: Die Hintereinanderausführung wird von rechts nach links ausgewertet. Schauen wir die Tabelle an, sehen wir: Mit s = s1 = (2,3) und d = d1 = (1,2,3) kann man alle anderen Elemente erzeugen. Übrigens: Wenn ein einziges Element alle anderen erzeugt, nennt man die Gruppe zyklisch. Quelle SFZ 15/16 W.Seyboldt

8 (Assoziativität) Für alle u, v, w 𝜖 G gilt: (u*v)*w ≅ u*(v*w)
Definition Gruppe Sei G eine Menge und * eine Verknüpfung, d.h. eine Abbildung ∗: 𝐺 𝑥 𝐺⟶𝐺, 𝑎 , 𝑏 𝑟↦∗ 𝑎,𝑏 =𝑎∗𝑏 . Das Paar (G, *) heißt Gruppe, wenn es folgende Eigenschaften erfüllt: (Assoziativität) Für alle u, v, w 𝜖 G gilt: (u*v)*w ≅ u*(v*w) (Existenz eines neutralen Elements e = id) Es gibt ein e 𝜖 G, so dass e*g=g*e=g, für alle g 𝜖 G (Existenz inverser Elemente) Zu jedem g𝜖G gibt es ein g-1𝜖 G, so dass g*g-1 =g-1*g = e g-1 heißt das Inverse zu g. Kurz: Eine Gruppe ist eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung, so dass jedes Element ein Inverses besitzt. Es gibt genau ein neutrales Element, die Inversen sind eindeutig bestimmt. Siehe auch Fischer. Algebra p 66 SFZ 15/16 W.Seyboldt

9 Erzeugende von Gruppen
Erzeugende von Gruppen: Eine Gruppe G wird erzeugt von den Elementen E = {g1,...,gn}, wenn jedes Element von G durch Verknüpfung der Elemente aus E und deren Inversen dargestellt werden kann. Dabei heißt die Menge E Erzeu- gendensystem der Gruppe G. Schreibweise G =< g1, , gn> D3 =< sa, d120 > ist ein Erzeugendensystem der Gruppe D3. Allgemein: Dn =< sa, d360/n > (eine Spiegelung und die kleinste Drehung) Mit gap (Read(“/bps/b02.g“); oder D3 = Group((1,2), (1,2,3)); D3el:=Elements(D3); Print(D3el, "\n"); D6 = Group((1,6)(2,5)(3,4), (1,2,3,4,5,6)); D6el:=Elements(D6); Print(D6el, "\n"); SFZ 15/16 W.Seyboldt

10 Ordnung, abelsche Gruppen (S.18, p28)
Die Ordnung einer Gruppe ist die Anzahl ihrer Elemente. Etwa IDnl = 2n. Die ganzen Zahlen mit der Addition (ℤ, +) bilden eine Gruppe. Das neutrale Element ist die 0, und das Inverse zu einer beliebigen ganzen Zahl n ist -n. Es gilt ℤ= <1> Die reellen Zahlen mir der gewöhnlichen Addition bilden eine nicht endlich erzeugte Gruppe. Die Isometriegruppe ℰ der euklidischen Ebene wird von allen Spiegelungen erzeugt. (Beweis S.31) Eine Gruppe (G,-) heißt abelsch oder kommutativ, wenn für je zwei g, h ∈G gilt: g ∙ h = h ∙ g. Meist schreibt man für die Operation dann +, also g+h=h+g SFZ 15/16 W.Seyboldt

11 Wichtige Beispiele 1 endliche Gruppen
Die Diedergruppen (Dn, o) sind für n ≥ 3 nicht abelsch. Etwa: (1,2,3)*(1,2)≠ (1,2)*(1,2,3) (b03.g) Sie sind die Symmetriegruppen eines regelmäßigen n-Ecks Dn hat 2n Elemente Symmetrische Gruppen Sn – die Gruppen der Permutationen der Länge n – die Menge aller Abbildungen einer endlichen Menge auf sich. Sn hat n! Elemente. Eine weitere wichtige Gruppe ist die Menge der Matrizen mit der Matrixmultiplikation. Sie ist nicht kommutativ. (später) ….siehe etwa Rose p25/26 SFZ 15/16 W.Seyboldt

12 Wichtige Beispiele 2 Die Menge der Brüche ohne die Null mit der Multiplikation (ℚ{0},∙) ist eine abelsche Gruppe; das neutrale Element ist die 1. Die Menge der ganzen Zahlen ℤ mit der Addition + (ℤ,+) ist eine abelsche Gruppe – das neutrale Element ist die 0 Sei ℤn = (0, l, 2,..., n - 1} und +n die Addition modulo n. (ℤn,+n) ist eine abelsche Gruppe. Sie ist zyklisch, wird von <1> erzeugt, die Null ist 0, das Inverse von i ist n-i. Beispielsweise ist = 1, denn Vielfache der 4 können weggelassen werden (beim Teilen von 5 durch 4 bleibt der Rest 1). Meist schreibt man dafür ≡ 1 mod 4. Die Menge der Geraden in der Ebene ist G = {f | f(x) = mx+c mit m, x ∈ ℝ 𝑛 } mit f g = f(x) + g(x) Sei ∙ die Verknüpfung, die durch f * g = f(x) + g(x) definiert ist. (G, *) ist eine Gruppe. SFZ 15/16 W.Seyboldt

13 GAP – erstes Kennenlernen siehe
Gap ist ein Computerprogramm, das mit allgemeinen Gruppen umgehen kann. GAP = Groups, Algorithms and Programming Homepage: Gap verwendet die Zyklendarstellung mit der Multiplikation * von links nach rechts! Wir rechnen bei ° aber auf dem Papier von rechts nach links! (Hintereinanderausführung) Bearbeite in Gruppen_Arbeitsunterlagen.docx das Kapitel “Gap – eine kurze Einführung” vor allem: Die erste Sitzung mit Gap / Gap kennenlernen Lese in das Kapitel 2 „A First Session with GAP“ von Doku1 und teste die Beispiele mit Gap. Vergiß das ; nicht. SFZ 15/16 W.Seyboldt

14 Reguläres n-Eck Sei En ein reguläres n-Eck in der Ebene. Menge der Deckabbildungen: Dn = {id, d, d2,..., dn-l, s1,...,sn} mit d = Drehung um 2𝜋 𝑛 und si = Spiegelung an der Achse i falls n gerade: an der Achse zwischen Punkt (etwa 1) und gegenüberliegendem Punkt (etwa n/2) und an den Achsen, die gegenüberliegendem Kantenmitten verbinden. falls n ungerade: Achse zwischen Ecke und gegenüberliegender Kante Den Eckpunkt 1 können wir auf n verschiedene Eckpunkte abbilden, ergibt n Möglichkeiten. Für den Punkt 2 haben wir nur noch die Möglichkeit, ihn rechts oder links neben den Bildpunkt der 1 abzubilden, ergibt insgesamt 2n Möglichkeiten. Drehungen erhalten die Orientierung, Spiegelungen kehren sie um. GAP: Read("/bsp/Dn.g"); Read("/bsp/Dn_mt.g"); D3 = {id,d120, d240, s1, s2, s3} D4 = {id,d90,d180,d270 s13, s24, s1, s2} erzeugt von d = d120, s3= (1,2) erzeugt von d = d90, s1 =(1,2)(3,4) SFZ 15/16 W.Seyboldt

15 Kleinsche Vierergruppe - Raute
D2 = V = {id, sa, sb, d180} = = {(), (1,3), (2,4), (1,3)(2,4)} = = {e,a,b,ab} Diese Gruppe heißt Kleinsche Vierergruppe nach dem Mathemati- ker Felix Klein ( ). Verknüpfungstafel: Die Kleinsche Vierergruppe ist eine kommutative, jedoch keine zyklische Gruppe (wird nicht von einem Element erzeugt) Je mehr Deckabbildungen eine Figur zulässt, umso symmetrischer erscheint sie dem Betrachter. Jede Figur hat e = id = 1 als Deckabbildung – evtl. nicht mehr. Rosebrock S. 5 SFZ 15/16 W.Seyboldt

16 Weitere Gruppen: Bewegungen der Ebene
Isometrien sind: Hat man in der Ebene eine feste Gerade a ausgezeichnet, so ist sa, die Spiegelung an a, eine Isometrie. Eine Drehung um einen bestimmten Punkt mit einem bestimmten Winkel gegen den Uhrzeigersinn ist eine Isometrie. Eine Translation, also eine Verschiebung der Ebene um einen festen Betrag in eine feste Richtung, ist eine Isometrie. Dies sind die Vektoren. Eine Gleitspiegelung ist eine Spiegelung gefolgt von einer Translation in Richtung der Spiegelachse Sie ist ebenfalls eine Isometrie. Man kann beweisen, dass es nur diese vier Arten von Isometrien gibt. Isometrien können die Orientierung erhalten oder drehen. Eine Figur ist eine Teilmenge der Ebene. Eine Deckabbildung ist eine Isometrie der Ebene, die die Figur auf sich abbildet. SFZ 15/16 W.Seyboldt

17 Zerlegung der Ebene in Quadrate (p27)
Ein weiteres Beispiel ist die Gruppe G(4,4) mit unendlich vielen Elementen. Wir betrachten die Figur, die aus den neben- stehenden (unendlich vielen) Quadraten besteht. Ihre Deckabbildungen sind: Translationen in senkrechter und waagerechter Richtung um ganzzahlige Vielfache der Kästchenbreite . Spiegelungen an allen eingezeichneten Geraden, an allen Diagonalen und den Senkrechten auf den Seitenmitten der Quadrate. Drehungen um 90°, 180° und 270° lassen sich um alle Kreuzungs- punkte von Geraden und um Mittelpunkte von Quadraten durchführen. Um die Mittelpunkte von Randkanten von Quadraten lassen sich Drehungen um 180° durchführen. Natürlich ist auch die identische Abbildung (id), die jeden Punkt auf sich abbildet, eine Isometrie. SFZ 15/16 W.Seyboldt

18 Strukturen von Isometrien (S.9, p19)
Ist f eine Isometrie in der Ebene, so heißt jeder Punkt P, für den f(P) = P gilt, Fixpunkt von f. Die Isometrie f heißt fixpunktfrei, wenn für alle Punkte P der Ebene gilt: f(P) ≠ P. Eine Isometrie der Ebene ohne Fixpunkt ist eine Translation, wenn sie die Orientierung erhält, und sonst eine Gleitspiegelung. Eine Isometrie der Ebene mit mindestens einem Fixpunkt ist eine Drehung, wenn sie die Orientierung erhält, eine Spiegelung, wenn sie die Orientierung nicht erhält. Drei Punkte in der Ebene heißen kollinear, wenn sie auf einer Geraden liegen. Jede Isometrie der Ebene, die 3 nicht-kollineare Fixpunkte hat, ist die Identität. Satz: Eine Isometrie der Ebene ist eindeutig durch das Bild dreier nicht-kollinearer Punkte bestimmt. SFZ 15/16 W.Seyboldt

19 „Dreidimensionale Gruppen“, die Würfelgruppe 1
Eine Isometrie des Raumes ist eine längenerhaltende bijektive Abbildung des ℝ 𝑛 auf sich. Im ℝ 3 können wir beispielsweise an einer Ebene spiegeln oder um eine Gerade drehen. Die Deckabbildungen des Würfels, Teil 1: Den Würfel um die Gerade a um 90°, 180° und 270° im Uhrzeigersinn drehen. Von diesem Typ Achse gibt es drei. Es gibt auch Drehungen um Geraden durch Kantenmitten gegenüberliegender Kanten um 180° Drehen wir zum Beispiel um die Gerade durch die Kanten- mitten der Kanten 2,6 und 4,8 um 180 Grad so ergibt sich die Drehung (2, 6)(4, 8)(5, 3)(1,7). Von diesem Typ Drehachse gibt es sechs. Es gibt aber auch Drehungen um 120 und 240 Grad jeweils um die 4 Raumdiagonalen des Würfels. Die Drehung (4, 2, 5)(3, 6, 8) ist eine solche. Wir zählen alle Drehungen: Die Identität, 9 Drehungen um Seitenmitten, 8 Drehungen um Raumdiagonale und 6 Drehungen um gegenüberliegende Kantenmitten ergibt zusammen 24 orientierungserhaltende Isometrien. Würfelgruppe (S.10 p20) SFZ 15/16 W.Seyboldt

20 „Dreidimensionale Gruppen“, die Würfelgruppe 2
Die Deckabbildungen des Würfels, Teil 2: der Würfel eine Punktspiegelung sM zu. Dabei wird jeder Punkt P am Mittelpunkt M des Würfels gespiegelt: Die Punktspiegelung am Würfelmittelpunkt lässt sich also durch (1, 7)(5, 3)(6, 4)(2, 8) beschreiben. Verknüpft man eine der oben beschriebenen Drehung mit sM, so erhält man alle orientierungsumkehrende Isometrie. Von diesen gibt es also auch 24. Alle 48 Deckabbildungen lassen sich durch drei Elemente erzeugen: a:=(1,2)(5,6)(4,3)(8,7) b:=(1,3)(5,7) c:=(5,4)(6,3);; a:=(1,2)(5,6)(4,3)(8,7);; b:=(1,3)(5,7);; c:=(5,4)(6,3);; W:=Group(a,b,c);; Wel:=Elements(W);; Print("Elemente der Würfelgruppe: ", Wel, "\n"); Read("/bsp/Wue.g"); Abschnitt 7.5 auf Seite 132 SFZ 15/16 W.Seyboldt

21 Tetraedergruppe S4 Teil 1 (S.29, p39)
Die Bewegungen (Deckabbildungen) der Tetraedergruppe S4 in Permutationsdarstellung sind: Drehungen um die Achse durch der Punkte 1 (bzw. 2,3,4) und den Mittelpunkt des gegenüberliegenden Dreiecks. S4,1 = {id, d1, d12, d2, d22, d3, , d32, d4 , d42} = { (), (2,3,4), (2,4,3), (1,4,3), (1,3,4), (1,2,4), (1,4,2), ( 1,2,3), (1,3,2) } Wir können auch um die Achse a drehen, die durch den Mittelpunkt der Kanten 1 4 und der Kanten 2 3 verläuft (und den entsprechenden Achsen b, c) S4,2 = {da, db, dc} = { (2, 3)(1, 4), (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4) } Spiegeln kann man etwa an der Ebene 12, die durch die Punkte 1 und 2 und den Mittelpunkt der Kante 3 4 geht (und den entsprechenden Ebenen 13,14, 23, 24, 34) S4,3 = {s12, s13, s14, s23, s24, s34} = { (3, 4), (2, 4), (2, 3), (1, 4), (1, 3), (1, 2) } Die restlichen sechs Isometrien lassen sich schwerer visualisieren. Wir können sie als Hinterein- anderausführung einer Ebenenspiegelung aus S4,3 nach einer Achsendrehung aus S4,1 schreiben. S4,4 = { (1,2,3,4), (1,2,4,3), (1,3,2,4), (1,3,4,2), (1,4,2,3), (1,4,3,2) } = { (1,2)∘(2,3,4), (1,2)∘(2,4,3), (1,3)∘(3,2,4), (1,3)∘(3,4,2) , (1,4)∘(4,2,3), (1,4)∘(4,3,2) } = { s23 ∘ d1, s23 ∘ d12, s24 ∘ d2, s24 ∘ d22, s23 ∘ d3, s23 ∘ d32 } Insgesamt haben wir also = 24 Isometrien. Mehr kann es nicht geben, denn es gibt nur 24 = 4∙3∙2∙1 Permutationen der Zahlen 1,2,3,4. SFZ 15/16 W.Seyboldt

22 Gap: Tetraedergruppe Tetra
Die 24 Elemente der Tetraedergruppe lassen sich durch die 6 Spiegelungen an den Ebenen durch jede der sechs Kanten erzeugen, also durch S4,3 = {s12, s13, s14, s23, s24, s34} = { (3, 4), (2, 4), (2, 3), (1, 4), (1, 3), (1, 2) } Tetra:=Group((3, 4), (2, 4), (2, 3), (1, 4), (1, 3), (1, 2) ); Size(Tetra); Elements(Tetra); Read("/bsp/Tetra.g"); Bearbeite Gruppen_Arbeitsunterlagen.docx Aufgaben 1 SFZ 15/16 W.Seyboldt

23 Cayley-Graphen Cayley-Graphen sind ein wichtiges Hilfsmittel, um (endlich erzeugte) Gruppen geometrisch zu veranschaulichen. Ein Graph Γ=(𝑉,𝐾) besteht aus einer (höchstens abzählbaren) Punktmenge V und einer Kantenmenge K, wobei jede Kante k ∈ K zwischen zwei Punkten v1,v2 ∈ V verläuft. Ein Graph Γ=(𝑉,𝐾) heißt orientiert, wenn jede Kante k ∈ K mit einer Orientierung versehen ist. Cayley-Graph: Wir ordnen einer Gruppe mit Erzeugendensystem G = <g1,...,gn> einen orientierten Graph ΓG(g1,... ,gn) zu: Die Punktmenge ist die ganze Gruppe G. Die Punkte h‘, h∈G sind mit einer orientierten Kante von h‘ nach h verbunden, wenn h‘gi = h für ein gi ∈ {g1,...,gn} Wikipedia (S77 p87) Siehe auch M809: Nathan Carter: Visual Group Theory rSFZ 15/16 W.Seyboldt

24 Beispiele für Cayley-Graphen
Ein Ausschnitt des Cayley-Graphen Γℤ(1) zur Gruppe ℤ erzeugt von der 1 ist: Der Cayley-Graph der Gruppe (ℤ4, +4) ist: Der Cayley-Graph zur Gruppe D3 (D4), erzeugt von einer Spiegelung s und der Drehung d um 120° (90°), ist (ungerichte Kanten sind Kanten in beide Richtungen) Vorsicht: Beim Spiegeln wird die Orientierung umgedreht – deshalb sind die Pfeile innen umgekehrt orientiert Es ist: 1 = e = id SFZ 15/16 W.Seyboldt

25 Permutationen - ausführlicher
Eine Permutation σ ist eine bijektive Abbildung einer endlichen Menge X mit n Elementen auf sich selbst. Wir schreiben Sie in Zweizeilenform, etwa: In der Kombinatorik: Eine Anordnung in einer bestimmen Reihenfolge, d.h. einfach die zweite Zeile. Oder in Zyklendarstellung (GAP): In Graphendarstellung: = Das Produkt zweier Permutationen ist die Hintereinanderausführung. Meist liest man das Produkt von links nach rechts (zumindest in Gap), die Hintereinanderausführung von rechts nach links also 𝜎∗𝜏 =𝜏∘𝜎 oder = (2,3) * (1,3,2)= (1,3,2) ∘(2,3) M818 p55 SFZ 15/16 W.Seyboldt

26 Ein paar Anmerkungen zu Permutationen
Jede Permutation kann als Produkt von 2er-Zyklen geschrieben werden. (1,2,3, …, n) = (1,2)(1,3)…(1,n) (von links nach rechts!) Zwei Permutationen τ, 𝜎 heißen konjugiert, wenn es eine Permutation 𝛼 gibt, so dass τ= 𝛼 −1 𝜎𝛼 Zwei Permutationen τ, 𝜎 sind genau dann konjugiert, wenn sie dieselbe zyklische Struktur haben. Beispiel 𝜎 = (1,5)(3)(2,6,4) , 𝜏 = 2, ,5,1 𝛼 = 𝜎 𝜏 = =(1,2,4)(5,3,6) α(-1)σα=(4,2,1)(6,3,5)*(1,5)(3)(2,6,4)∗(1,2,4)(5,3,6) =(4,5,1)(2,3)(6)= τ Bew. Rose p59 SFZ 15/16 W.Seyboldt