Longitudinaler Phasenraum Inhalt

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Operateursausbildung Inhalt 1. Ein paar Beispiele von neuen- und alten HF-Anlagen 1.1. Die alte SIS18-Ferrit-Beschleunigerkavität 1.2. Das neue „SIS18-h=2-Breitband-Beschleunigersystem“ 1.3. Das „SIS18-Bunchkompressor-HF-System“ 2. Ein paar allgemeine Bemerkungen 2.1. Longitudinaler Phasenraum: Wozu, wieso, weshalb und warum? 2.2. Wichtige Größen und ein radikal vereinfachtes Synchrotron 2.3. Synchrone Phase und wozu braucht man sie? (Stabilität) 3. Die Bewegung des synchronen- und des unsynchronen Teilchens 3.1. Das synchrone Teilchen 3.2. Das unsynchrone Teilchen 3.3. Das asynchrone Teilchen: Energieabweichung 3.4. Das asynchrone Teilchen: Phasenabweichung 3.5. Differenzengleichungen und Differentialgleichung 3.6. Energiegleichung, Potentialfunktion 3.7. Phasenraumdarstellung, Separatrix 3.8. Bucketfläche und –tiefe 4. Anwendung der Theorie 4.1. Strahleinfang adiabatisch und weniger adiabatisch 4.2. Adiabatischer Strahleinfang, was ist das? 4.3. Bunch-Merging von h=4 auf h=2 4.4. Bunchrotation bei h=1, U23828+, 200MeV/u

Longitudinaler Phasenraum
Operateursausbildung 1. Ein paar Beispiele von neuen- und alten HF-Anlagen

Operateursausbildung Beispiel 1.1: SIS18-Ferrit-Beschleunigerkavität Kavität ist durchstimmbar von 0.8 MHz-5.4 MHz Mögliche Gapspannung im Frequenzbereich: 16 kV Die Kavität kann dabei mit 100% Duty-Cycle betrieben werden.

Operateursausbildung Beispiel 1.2: Die neue „SIS18-h=2-Breitband-Kavität“ Die Kavität wird nicht durchgestimmt. Frequenzbereich: MHz-2.8 MHz Mögliche Gapspannung: kV Die erste von drei Einheiten (z.Z. ausgebaut). Mittlerweile sind zwei neue Anlagen im Ring.

Operateursausbildung Beispiel 1.3: Das „SIS18-Bunchkompressor-HF-System“ Die Kavität kann HF-Pulse bis zu einer Länge von 600ms (Luftkühlung). Wird nur auf einer Frequenz, zum Beispiel 800kHz, betrieben. Kann im Frequenzbereich von MHz eingestellt werden. Maximal mögliche Gapspannung: 40-42kV.

Operateursausbildung 2. Ein paar allgemeine Bemerkungen 2.1 Longitudinaler Phasenraum: Wozu, wieso, weshalb und warum? 1) Der longitudinale Phasenraum ist eine physikalisch-mathematische Konstruktion (daher intrinsisch unangenehm für Vortragende und Zuhörer). Ohne Rechnungen kommt man nicht aus. 2) Er hilft uns komplexe Vielteilchen-Vorgänge während des Synchrotron- Zyklus zu verstehen und mathematisch zu beschreiben. 3) Dazu gehören: Strahleinfang, Beschleunigung, Bunchkompression, umbunchen bzw. Bunchmerging usw.. 4) Der longitudinale Phasenraum macht uns klar, welche Anforderungen an unsere Ring-HF-Anlagen erfüllen müssen. 5) Zu den Anforderungen zählen: Frequenzbereich, maximale Gapspannung, Leistungsabgabe an den Strahl, Genauigkeit der Amplituden- und Phasenregelung usw..

Operateursausbildung 2. Ein paar allgemein Bemerkungen 2.2 Wichtige Größen Spannung des synchronen Teilchens im Gap: Radius des Sollorbits: r Länge des Sollorbits: Ls Mittlerer Radius: Rs Ramprate: DB/Dt Für SIS18 gilt: Ls=216,72m r=10m Rs=34,49m DB/Dt=10T/s Abb. 2.1: Radikal vereinfachtes Synchrotron

Operateursausbildung 2.3 Synchrone Phase und wozu braucht man sie? (Stabilität) Abb. 2.2: Die Bewegung zweier asynchroner Teilchen im Laufe der Zeit Das so etwas wie stabile Schwingungen um das synchrone Teilchen gibt, kann man anhand der drei Bilder schon erahnen: Anfänglich erreichen alle drei Teilchen mit unterschiedlicher Energie das Gap zur selben Zeit. Das schnellere Teilchen erreicht das Gap bei der nächsten Umdrehung früher als das synchrone Teilchen. Dadurch sieht es eine kleinere Spannung. Das langsamere Teilchen erreicht das Gap später und dadurch sieht es eine höhere Spannung. Der Energieunterschied wird von Umdrehung zu Umdrehung geringer, während der Phasenunterschied größer wird. Das Ganze rotiert im Laufe der Zeit um das synchrone Teilchen.

Operateursausbildung 3. Bewegung des synchr.- und des unsynch. Teilchens 3.1 Das synchrone Teilchen Energiegewinn des Ions pro Umdrehung im Ring: Das synchrone Teilchen hat den Impuls ps und wird in den Umlekmagneten durch die magnetische Induktion B auf der Sollbahn gehalten: Durch die Energieänderung pro Umlauf ändert sich auch der Impuls pro Umlauf und dadurch muß sich das B-Feld zeitlich ändern: Wegen des Zusammenhangs gilt auch: Um beim SIS18 gegen die induzierte Spannung durch die Ramprate von 10T/s anzukommen, braucht man mindestens eine Spannung von

Operateursausbildung 3. Bewegung des synchr.- und des unsynch. Teilchens 3.2 Das unsynchrone Teilchen Umlaufzeit des synchronen Teilchens im Ring: Im Vergleich dazu die Umlaufzeit des asynchronen Teilchens im Ring: Sowohl die Änderung der Bahnlänge DL als auch die Abweichung der Geschwindigkeit Dv von der des synchronen Teilchens hängen von der Impulsabweichung ab: ac ist der sogenannte „Momentum Compaction“ Faktor (Impuls Verdichtung)  ist der Phase-Slip-Faktor

Operateursausbildung 3. Bewegung des synchr.- und des unsynch. Teilchens 3.3 Das asynchrone Teilchen: Energieabweichung n‘ter Gapdurchflug (n+1)‘ter Gapdurchflug n‘te Umdrehung (n+1)‘te Umdrehung En n En+1 n+1 Energiegewinn synchrones Teilchen: Energiegewinn asynchrones Teilchen: Subtrahiert man obere- von unterer Gleichung:

Operateursausbildung 3. Bewegung des synchr.- und des unsynch. Teilchens 3.4 Das asynchrone Teilchen: Phasenabweichung n‘ter Gapdurchflug (n+1)‘ter Gapdurchflug n‘te Umdrehung (n+1)‘te Umdrehung En n En+1 n+1 Am Eingang zum (n+1)‘ten Gapdurchflug hat die Phase den Wert: Wir führen ein: (Tn ist die Ankunftszeit zum n‘ten Gapdurchflug)

Operateursausbildung 3. Bewegung des synchr.- und des unsynch. Teilchens 3.5 Differenzengleichungen und Differentialgleichung Die Differenzengleichungen eignen sich gut für ein Teilchen-Trackingprogramm. Man beginnt mit einer Anfangsverteilung der Teilchen, z.B. mit dem Coasting-Beam und man kann dann, zum Beispiel, den Strahleinfang simulieren. Aus den Differenzengleichungen kann man auch direkt zwei Differentialgleichungen erster Ordnung machen, wenn man die Umdrehungszahl n zur unabhängigen Variablen macht. für kleine Ausschläge 

Operateursausbildung 3. Bewegung des synchr.- und des unsynch. Teilchens 3.6 Synchrotron-Tune und -Frequenz Wenn sich a(n) langsam mit n ändert, dann kann man den Dämpfungsterm weglassen: s ist der sogenannte „Synchrotron-Tune“. Der sagt aus, wieviel Synchrotron-Oszillationen pro Umlauf stattfinden: s ist die sogenannte „Synchrotron-Kreisfrequenz“, die sich mit Hilfe der Umlaufzeit aus dem Synchrotron-Tune ausrechnen lässt :

Operateursausbildung 3. Bewegung des synchr.- und des unsynch. Teilchens 3.7 Energiegleichung, Potentialfunktion  Dargestellt ist die potentielle Energie in der Form: Bewegung auf dem äußersten stabilen Rand (Separatrix) instabile Bewegung stabile Bewegung Die potentielle Energie bildet Buckets (Eimer), in denen eine gebundene, stabile Bewegung stattfinden kann. Alle 360° befindet sich ein Eimer. Am äußersten stabilen Rand gibt es sowohl einen Umkehrpunkt, als auch einen instabilen Fixpunkt. Abb. 3.1: Potentielle Energie bei Fs=25°

Operateursausbildung 3. Bewegung des synchr.- und des unsynch. Teilchens 3.8 Phasenraumdarstellung, Separatrix

Operateursausbildung 3. Bewegung des synchr.- und des unsynch. Teilchens 3.8 Phasenraumdarstellung, Separatrix SFP: Stabiler Fixpunkt, IFP: Instabiler Fixpunkt Bucketfläche: Die Fläche des schwarz umrandeten Bereichs vom SFP bis zum IFP

Operateursausbildung 3. Bewegung des synchr.- und des unsynch. Teilchens 3.9 Bucketfläche und –tiefe Bucketfläche (stationärens Bucket) Buckettiefe (stationärens Bucket) Was braucht man? Man braucht eine große Bucketfläche bzw. eine große Buckettiefe. Beide Formeln machen eine Aussage über die Aufnahmefähigkeit des so genannten stationären Buckets. Die Spannungsamplitude am Spalt so hoch wie möglich zu schrauben und gleichzeitig die Harmoniezahl h möglichst klein zu machen. Dann wären die Phasenraumfläche und die Tiefe des Buckets am größten. h=1 wäre natürlich am besten. Aber dann müssten wir HF-Systeme im Bereich der Umlauffrequenz realisieren, was im Bereich von 200 kHz nicht gerade einfach ist. Bei h=2 ist noch möglich, also bei 400 kHz Minimalfrequenz. Dabei ist immer der schlimmste Fall, wie man anhand der obigen Formeln sieht, der Anfang der Beschleunigungsrampe bei niedriger Energie. Dort braucht man, um den Strahl sicher zu halten, die höchsten Spannungen.

Operateursausbildung 4. Anwendung der Theorie 4.1 Strahleinfang U23828+, 11,4MeV/u, Dp/p=5∙10-3, 20ms Strahleinfang mit dem h=2-System. Die HF-Spannung steigt innerhalb von 20ms auf 790V. Bei der Impulsunschärfe von dp/p=±5∙10-3 ist das Bucket zu etwa 2/3 gefüllt. Umlauffrequenz ist 214,5kHz => HF-Frequenz ist 429kHz.

Operateursausbildung 4. Anwendung der Theorie 4.1 Strahleinfang U23828+, 11,4MeV/u, Dp/p=5∙10-4, 10ms Strahleinfang mit dem h=2-System. Die HF-Spannung steigt innerhalb von 10ms auf 790V. Wieder ist die Impulsunschärfe Dp/p=±5∙ Man sieht, der Einfang klappt hier nicht so gut, denn das Bucket ist am Ende des Einfangs voll. Der Strahleinfang darf also nicht zu schnell gemacht werden.

Operateursausbildung 4. Anwendung der Theorie 4.3 Adiabatischer Strahleinfang, was ist das?

Operateursausbildung 4. Anwendung der Theorie 4.3 Adiabatischer Strahleinfang, was iste das?

Operateursausbildung 4. Anwendung der Theorie 4.3 Adiabatischer Strahleinfang, was iste das? ≜2ms ≜0,6ms

Operateursausbildung 4. Anwendung der Theorie 4.4 Bunch-Merging von h=4 auf h=2

Operateursausbildung 4. Anwendung der Theorie 4.5 Bunchrotation bei h=1, U23828+, 200MeV/u Bunchkompression durch schnelle Bunchrotation Nach Beschleunigung auf 200MeV/u wird der Bunch im stationären Bucket sicher gehalten. Danach wird von h=2 auf h=1 umgebuncht und der Bunch bei h=1 im stationären Bucket gehalten. Zur Bunchkompression wird die HF-Spannung von, in unserem Beispiel, 8kV auf 40kV hochgerissen. Das Hochreißen erfolgt innerhalb von 10ms. Der Bunch beginnt auf den neuen Isoenergielinien zu rotieren

Operateursausbildung 4. Anwendung der Theorie 4.5 Bunchrotation bei h=1, U23828+, 200MeV/u Zur Abschätzung der Zeitdauer für eine ¼‘tel Drehung: Tabelle 1: Zur Berechnung der Zeitdauer der Bunchrotation Umlauffrequenz fr 788kHz Ladung q=Ze 28e Gapspannung V 40kV gt 5,45 (-h) 0,64 Harmonischenzahl h 1 b 0,57 Gesamtenergie E 269,3GeV Setzt man die Werte aus der Tabelle ein, so erhält man für die Synchrotronfrequenz: Das bedeutet eine Periodendauer von: Die Bunchrotation braucht ¼‘tel Drehung, also:

Operateursausbildung 4. Anwendung der Theorie 4.5 Bunchrotation bei h=1, U23828+, 200MeV/u

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