Praktische Grenzen der Berechenbarkeit

Praktische Grenzen der Berechenbarkeit
Patrick Breuer

Übersicht Der Komplexitätsbegriff Beschreibung der Zeitkomplexität
Abschätzung der Zeitkomplexität Praktisch nicht anwendbare Algorithmen Praktisch unlösbare Probleme Nichtdeterministische Algorithmen, P und NP NP-Vollständigkeit Näherungslösungen

Komplexitäten messbare oder berechenbare Merkmale von Algorithmen
Laufzeit Speicherbedarf

Aufgabe: Aktienkursanalyse
Die Situation: Gegeben ist der Kursverlauf einer Aktie über 30 Tage. Gesucht ist der maximale Gewinn bei optimaler Wahl des Kauf- und Verkaufstages Das Modell: Gegeben ist eine Zahlenfolge a1,...,an, die Folge der Tagesgewinne. Gesucht ist die maximale Teilsumme von a1,...,an.

Kursanalyse: Strategie (1)
Für jeden möglichen Kauftag i und Verkaufstag j die Teilsumme ai+...+aj berechnen Aus allen Teilsummen das Maximum bestimmen

Kursanalyse: Algorithmus (1)
begin max:=0 for i:=1 to n do for j:=i to n do s:=0 for k:=i to j do s:=s+a[k] if s>max then max:=s end

Kursanalyse: Aufwand (1.1)
Aufwandsmaß: Anzahl der Additionen in der innersten Zählschleife begin max:=0 for i:=1 to n do for j:=i to n do s:=0 for k:=i to j do s:=s+a[k] if s>max then max:=s end

Aufwandsmaß: Anzahl der Additionen in der innersten Zählschleife

Für jeden möglichen Kauftag i und Verkaufstag j die Teilsumme ai+...+aj berechnen Aus allen Teilsummen das Maximum bestimmen Nicht jede Teilsumme muss einzeln bestimmt werden. Es gilt für ai+...+aj:

begin max:=0 for i:=1 to n do s:=0 for j:=i to n do s:=s+a[j] if s>max then max:=s end

Anzahl der Additionen:

Für jeden möglichen Kauftag i und Verkaufstag j die Teilsumme ai+...+aj berechnen Aus allen Teilsummen das Maximum bestimmen Nicht jede Teilsumme muss einzeln bestimmt werden. Eine Teilfolge mit negativer Summe kann nie zu einer Teilfolge mit maximaler Summe erweitert werden.

begin max:=0 s:=0 for i:=1 to n do s:=s+a[i] if s>max then max:=s if s<0 then s:=0 end

Kursanalyse: Aufwand (3)
begin max:=0 s:=0 for i:=1 to n do s:=s+a[i] if s>max then max:=s if s<0 then s:=0 end

Kursanalyse: Aufwand im Vergleich
Algorithmus Anzahl der Additionen 1 2 3

Kursanalyse: Aufwand im Vergleich
Alg. Anzahl der Additionen 1 2 3 n 20 40 60 80 100 1540 11480 37820 88560 171700 210 820 1830 3240 5050

Drei Fälle Best-Case-Analyse: Die im günstigsten Fall erforderliche Laufzeit wird ermittelt. Average-Case-Analyse: Die im mittleren Fall (Mittelwert, Erwartungswert) erforderliche Laufzeit wird ermittelt Worst-Case-Analyse: Die im ungünstigsten Fall erforderliche Laufzeit wird ermittelt.

Beschreibung der Zeitkomplexität (1)
Zeitmessungen: können von praktischer Relevanz in Einzelfällen sein gelten nur für einen Computertyp sind nur bis zu einer bestimmten zeitlichen Grenze möglich Berechnungen: sind maschinenunabhängig beschreiben die Komplexität durch einen Term in Abhängigkeit vom Umfang der Eingabedaten sind in der Praxis bei konkreten Rahmenbedingungen weniger aussagekräftig

Typische Komplexitäten
k(n) n 10 100 1000 104 105 106 logarithmisch linear log-linear quadratisch kubisch exponentiell

Wachstum einiger Funktionen zur Charakterisierung der Komplexität
in doppelt logarithmischer Darstellung

Zeitaufwand Annahme: Pro Millisekunde wird eine Grundoperation (Wertzuweisung, Addition, ...) bearbeitet. Eingabe- größe n ...

Maximale Problemgröße in Abhängigkeit von Komplexität und Laufzeit
Max. Problemgröße n bei einer Laufzeit von

Änderungsrate der maximalen Problemgröße
Während sich die Laufzeiten um den Faktor 60 unterscheiden, errechnet sich die jeweils nächste maximale Problemgröße bei der Komplexität ... durch Potenzieren mit durch Multiplizieren mit durch Addieren von

Aufgabe Auf welchen Wert wächst die maximale Problemgröße bei der Komplexität , wenn der Computer 100-mal schneller arbeitet? Um welchen Faktor muss der Computer schneller arbeiten, damit die maximale Problemgröße bei der Komplexität auf 100 steigt?

Lösung Die maximale Problemgröße wächst um auf 27.
Der Computer müsste um den Faktor schneller sein.

Asymptotische Ordnung (1)
Klassifizierung von Algorithmen: Zeitbedarf bei großem Umfang der Eingabedaten Zusammenfassen von Komplexitätsklassen, die sich nur um einen konstanten Faktor unterscheiden Definition Die asymptotische Ordnung O(g(n)) einer Funktion g ist die Menge aller Funktionen f, die für hinreichend große Werte von n nach oben durch ein positives reelles Vielfaches von g beschränkt sind.

formal: Beispiel Die Funktionen und sind Elemente der Ordnung O(n3)

Die asymptotische Ordnung gibt nur eine obere Schranke für das Laufzeitverhalten eines Algorithmus an. Aussagekräftig kann sie nur sein, wenn sie eine möglichst kleine obere Schranke angibt.

Beispiel: Sequentielle Suche
Algorithmus Sequentielle Suche (Gegeben: Ein sortiertes n-dimensionales Feld a und ein Suchschlüssel s) begin gefunden:=false i:=1 repeat if a[i]=s then gefunden:=true i:=i+1 until gefunden or i>n end

Sequentielle Suche : Aufwand (1)
Grundoperationen: Wertzuweisung, Vergleich Anzahl der Grundoperationen (worst case): Initialisierung: 2 Repeat-Schleife, Rumpf: 2 Repeat-Schleife, Abbruchbedingung: 2 Anzahl der Schleifendurchläufe: n

Sequentielle Suche : Aufwand (2)

Beispiel: Binäre Suche
Algorithmus Binäre Suche (Gegeben: Ein sortiertes n-dimensionales Feld a und ein Suchschlüssel s) begin gefunden:=false l:=1 r:=n repeat m:=(l+r) div 2 if a[m]=s then gefunden:=true if a[m]>s then r:=m-1 if a[m]<s then l:=m+1 until gefunden or l>r end

Binäre Suche: Aufwand (1)
Grundoperationen: Wertzuweisung, Vergleich Anzahl der Grundoperationen (worst case): Initialisierung: 3 Repeat-Schleife, Rumpf: 5 Repeat-Schleife, Abbruchbedingung: 2 Anzahl der Schleifendurchläufe:

Binäre Suche: Aufwand (2)

Beispiel: Türme von Hanoi
Algorithmus Hanoi(n,von,nach,ueber) (von: Ausgangsstab, nach: Zielstab, ueber: Hilfsstab) begin if n=1 then Ausgabe: von -> nach else Hanoi(n-1,von,ueber,nach) Hanoi(n-1,ueber,nach,von) end

Türme von Hanoi: Aufwand (1)
Grundoperationen: Vergleich, Ausgabe Anzahl der Grundoperationen: Ein Vergleich, eine Ausgabe 2 mal Grundoperationen der rekursiven Aufrufe

Türme von Hanoi: Aufwand (2)

Definition: Polynomiale Ordnung
Ein Algorithmus heißt polynomial (von polynomialer Ordnung), wenn seine Zeitkomplexität durch eine Funktion f(n) beschrieben wird, für die ein existiert, so dass gilt. Für Polynome f(n) ist k der Grad des Polynoms, also der größte Exponent:

Abgeschlossenheit Werden zwei polynomiale Algorithmen nacheinander ausgeführt, ist der resultierende Gesamtalgorithmus polynomial. Wird ein Teil eines polynomialen Algorithmus durch ein Modul ersetzt, das selbst einen polynomialen Algorithmus enthält, ist der resultierende Gesamtalgorithmus polynomial.

Definition: Anwendbarkeit
Ein Algorithmus heißt (praktisch) anwendbar (durchführbar, handhabbar, engl. tractable), wenn er polynomial ist, andernfalls (praktisch) nicht anwendbar (nicht durchführbar, nicht handhabbar, engl. intractable).

Anwendbare Algorithmen
Werden zwei anwendbare Algorithmen nacheinander ausgeführt, ist der resultierende Gesamtalgorithmus anwendbar. Wird ein Teil eines anwendbaren Algorithmus durch ein Modul ersetzt, das selbst einen anwendbaren Algorithmus enthält, ist der resultierende Gesamtalgorithmus anwendbar. Nicht anwendbare Algorithmen werden auch auf zukünftigen Computern nicht anwendbar sein.

These der sequentiellen Berechenbarkeit
Alle sequentiellen Computer besitzen ähnliche polynomiale Berechnungszeiten. Die Transformation einer beliebigen Beschreibung eines Algorithmus (Maschinensprache, höhere Programmiersprache,...) in eine äquivalente Turingtafel ist stets mit polynomialem Aufwand durchführbar. Folgerung: Die Definition der Anwendbarkeit von Algorithmen ist maschinenunabhängig.

Ausnahmen Die Klassifizierung eines Algorithmus als „nicht anwendbar“ bezieht sich auf die asymptotische Komplexität. In der Praxis kann auch ein exponentieller Algorithmus brauchbar sein Beispiel: Ein exponentieller Algorithmus der Komplexität te(n)=0,001·20,001n ist für n= noch schneller als ein polynomialer Algorithmus der Komplexität tp(n)=1000 ·n5. Für prinzipielle Betrachtungen gilt dennoch: Ein Algorithmus ist nicht anwendbar, wenn er nicht polynomial ist.

Definition: Praktische Lösbarkeit
Ein Problem heißt praktisch lösbar, wenn es einen polynomialen Lösungsalgorithmus für dieses Problem gibt, andernfalls praktisch unlösbar. Unterschied zur Definition der Anwendbarkeit von Algorithmen: Praktische Unlösbarkeit gilt im Allgemeinen nur für den aktuellen Stand der Forschung. Oft kann nicht ausgeschlossen werden, dass noch ein schnellerer Algorithmus gefunden wird.

Beispiel: Königsberger Brückenproblem
Gibt es einen Rundweg, bei dem jede der sieben Brücken genau einmal benutzt wird?

Verallgemeinerung: Eulerkreis
Gibt es in einem ungerichteten Graphen einen Rundweg, der jede Kante genau einmal enthält? Ein solcher Rundweg heißt Eulerkreis.

Eulerkreis: Lösung In einem ungerichteten Graphen heißt ein Knoten Nachbar eines Knotens v, wenn er mit v durch eine Kante verbunden ist. Die Anzahl der Nachbarn eines Knotens bezeichnet man als dessen Grad. In einem ungerichteten Graphen existiert genau dann ein Eulerkreis, wenn der Grad jedes Knotens gerade ist.

Eulerkreis: Algorithmus
Darstellung des Graphen durch eine Matrix G (n Zeilen, n Spalten) mit Aufgabe: Entwerfen Sie einen Algorithmus, der für einen in Matrixform gegebenen Graphen G entscheidet, ob G einen Eulerkreis enthält oder nicht.

Eulerkreis: Algorithmus
Algorithmus Eulerkreis (Eingabe: Ein Feld g der Dimension n x n, das die Kanten des Graphen festlegt Ausgabe: 'ja', falls der Graph einen Eulerkreis enthält, sonst 'nein') begin euler:=1 for i:=1 to n do for j:=1 to n do if g[i,j]=1 then grad[i]:=grad[i]+1 if grad[i] mod 2 = 1 then euler:=0 if euler=1 then Ausgabe: ja else Ausgabe: nein end

Eulerkreis: Aufwand Wegen der geschachtelten Zählschleife liegt die Zeitkomplexität des Algorithmus in der Klasse O(n2). Das Problem „Eulerkreis“ ist also mit polynomialem Aufwand lösbar.

Beispiel: Hamilton-Zyklus (1)
Unter einem Hamilton-Zyklus versteht man in einem ungerichteten Graphen einen Rundweg, der jeden Knoten genau einmal enthält.

Beispiel: Hamilton-Zyklus (2)
Es gibt keinen polynomialen Algorithmus, der das Problem löst. Die einzige bekannte Möglichkeit, einen Hamilton-Zyklus zu finden, besteht in der vollständigen Überprüfung aller möglichen Knotenfolgen. Weil der „Startknoten“ bei einem Rundweg beliebig festgelegt werden kann, gibt es (n-1)! Permutationen der (übrigen) Knoten. Das Problem „Hamilton-Zyklus“ ist praktisch unlösbar.

Beispiel: Problem des Handlungsreisenden (travelling salesman problem) (1)
Verallgemeinerung des Hamilton-Problems Jeder Kante des Graphen wird ein Kostenwert zugeordnet. Das Problem besteht darin zu entscheiden, ob es einen Hamilton-Zyklus gibt, bei dem die Summe der Kostenwerte der benutzten Kanten eine Kostengrenze k nicht übersteigt. Hamilton-Problem ist Sonderfall: Alle Kanten haben den Kostenwert 1, k=n.

Beispiel: Problem des Handlungsreisenden (2)
Kostenwert: Fahrzeit zwischen zwei Orten (in Min.) Gibt es eine Lösung für k=450 min?

Problem des Handlungsreisenden: Lösung
Es gibt keine Lösung für k=7,5 h. Der kleinste Kostenwert, für den eine Rundreise existiert, ist k=456 min. Die kostengünstigste Rundreise ist: MZ-DA-HD-AZ-KL-SB-TR-KO-WI-MZ

Problem des Handlungsreisenden: Problemvarianten (1)
Entscheidungsvariante: Gibt es zu einem gegebenen Kostenwert k eine Rundreise, deren Kosten k nicht übersteigen? Zahlvariante: Was ist der kleinste Kostenwert k, für den eine Rundreise existiert? Optimierungsvariante: Welches ist die kostengünstigste Rundreise?

Problem des Handlungsreisenden: Problemvarianten (2)
Bezüglich der Lösbarkeit sind alle drei Varianten äquivalent. Das Problem des Handlungsreisenden ist praktisch unlösbar.

Beispiel: Verpackungsproblem (bin-packing problem)
Gegeben sind k Behälter einer festen Größe G und n Gegenstände mit den Größen g1,...,gn. Gesucht ist eine Verteilung der Gegenstände auf die Behälter, bei der die jeweilige Summe der Größen der Gegenstände die Größe G der Behälter nicht überschreitet. Anwendung: Verteilung von Paletten mit unterschiedlichem Gewicht auf Lastwagen mit identischer Nutzlast.

Verpackungsproblem: Problemvarianten (1)
Entscheidungsvariante: Gibt es eine zulässige Verteilung der Gegenstände auf die Behälter? Zahlvariante: Was ist die kleinste Anzahl von Behältern, so dass alle Gegenstände verteilt werden können? Optimierungsvariante: Welche zulässige Verteilung benötigt am wenigsten Behälter?

Verpackungsproblem: Problemvarianten (2)
Bezüglich der Lösbarkeit sind alle drei Varianten äquivalent. Das Verpackungsproblem ist praktisch unlösbar.

Beispiel: Stundenplanproblem (1)
Eine Anwendung des Verpackungsproblems: Behälter: zur Verfügung stehende Raum-Zeit-Kombinationen Gegenstände: zu verteilende fach-Lerngruppe-Kombinationen (Unterrichtsstunden) Anzahl k der Behälter: Anzahl Räume · Anzahl Wochen-stunden Anzahl n der Gegenstände: Gesamtzahl der wöchentlichen Unterrichtsstunden Größe G der Behälter: 1 (Pro Raum und Unterrichtsstunde kann nur eine Lerngruppe in einem Fach unterrichtet werden)

Beispiel: Stundenplanproblem (2)
Randbedingungen: Raumgröße entsprechend der Größe der Lerngruppe Unterricht in Fachräumen Lehrpersonen nicht in zwei Räumen gleichzeitig Pro Lerngruppe nicht mehrere Fächer gleichzeitig ... Das Stundenplanproblem ist praktisch unlösbar.

Beispiel: Primfaktorzerlegung
Gegeben ist eine n-stellige natürliche Zahl. Gesucht ist ihre Zerlegung in Primfaktoren. Alle bekannten Algorithmen erfordern exponentiellen Aufwand in Abhängigkeit von n. Das Primfaktorenproblem ist praktisch unlösbar.

Beispiel: Türme von Hanoi
Es gibt keinen schnelleren Lösungsalgorithmus als den vorgestellten. Jeder Lösungsalgorithmus hat die Zeitkomplexität O(2n) (Beweis durch vollständige Induktion) Das Problem „Türme von Hanoi“ ist praktisch unlösbar.

Beispiel: Hamilton-Zyklus
Lösungskandidaten sind alle Permutationen der Knoten. Der Startknoten kann frei gewählt werden. Darstellung aller Lösungskandidaten in einem Auswahlbaum

Hamilton-Zyklus: Auswahlbaum
Jeder Ast stellt – ausgehend vom Knoten 1 – eine Permutation der übrigen Knoten dar.

Hamilton-Zyklus: „Lösungsalgorithmus“
Errate einen Pfad im Auswahlbaum. Überprüfe, ob es sich um einen Hamilton-Zyklus handelt. Beide Schritte lassen sich mit polynomialem Zeitaufwand lösen.

Nichtdeterministische Algorithmen (1)
Ratephase, in der ein Lösungskandidat bestimmt wird Prüfphase (Verifikationsphase), in der getestet wird, ob es sich um eine Lösung handelt Theoretisch... ... erzeugt ein nichtdeterministischer Algorithmus in der Ratephase für jeden möglichen Lösungskandidaten eine Kopie von sich selbst. ... laufen beliebig viele Prozesse parallel.

In der Praxis... ... wird ein nichtdeterministischer Algorithmus durch einen deterministischen nachgeahmt. ... wird jeder Lösungsversuch, der nicht zum Ziel führt, bis zur letzten Verzweigung im Entscheidungsbaum zurückgezogen und ein anderer Weg von dort aus weiter verfolgt. Folge: Exponentieller Zeitbedarf im ungünstigsten Fall Zunächst keine praktische Relevanz

Von Bedeutung für theoretische Betrachtungen, wenn Ratephase und Prüfphase mit polynomialem Aufwand möglich sind Dienen zur Klassifizierung von prinzipiell lösbaren Problemen, für die möglicherweise ein polynomialer Algorithmus existiert

Definition: P und NP Die Klasse P enthält genau diejenigen Probleme, für die ein polynomialer Lösungsalgorithmus existiert. Die Klasse NP enthält genau diejenigen Probleme, für die folgende Eigenschaften erfüllt sind: Es existiert ein Algorithmus mit exponentiellem Zeitaufwand. Es ist möglich, durch ein nichtdeterministisches Verfahren mit polynomialem Zeitaufwand eine Lösung zu bestimmen. Es gibt einen polynomialen Verifikationsalgorithmus.

Problemklassen alle Probleme prinzipiell lösbare Probleme NP P
Klar: PNP Offen: P=NP?

Probleme der Klasse NP das Problem Hamilton-Zyklus
das Problem des Handlungsreisenden das Verpackungsproblem das Stundenplanproblem das Primfaktorenproblem Das Problem „Türme von Hanoi“ liegt nicht in NP, weil das Umlegen der Scheiben bzw. das Speichern oder Ausgeben einer Lösung 2n-1 Schritte erfordert.

P=NP-Problematik (1) Um die Frage klären zu können, ob P=NP gilt, muss einer der folgenden Sätze bewiesen werden: Es gibt ein Problem in NP, für das kein polynomialer Algorithmus existieren kann (Folgerung: PNP). Für jedes Problem in NP (auch jedes noch nicht formulierte) existiert ein polynomialer Algorithmus (Folgerung: P=NP). Ziel: Klassifizierung der schwersten Probleme in NP

P=NP-Problematik (2) Cook 1971: Es gibt Probleme, die man als die schwersten in NP beschreiben kann. Eigenschaft: Die Entdeckung eines deterministischen polynomialen Algorithmus hätte zur Folge, dass jedes Problem in NP deterministisch polynomial lösbar ist.

Definition: NP-Vollständigkeit
Ein Problem heißt NP-vollständig (engl. NP-complete), wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind: Das Problem gehört zur Klasse NP. Das Problem gehört genau dann zur Klasse P, wenn P=NP gilt. Die NP-vollständigen Probleme sind die schwersten in der Klasse NP.

Definition: Polynomiale Reduzierbarkeit
Ein Problem Q1 heißt polynomial reduzierbar auf ein Problem Q2, falls es einen polynomialen Algorithmus gibt, der einen Lösungsalgorithmus für Q2 zu einem Lösungsalgorithmus für Q1 erweitert. Schreibweise: Q1 p Q2

Nachweis der polynomialen Reduzierbarkeit
Gegeben: Zwei Probleme Q1 und Q2, beide aus NP Zu zeigen: Q1 p Q2 Konstruktion einer (berechenbaren und polynomial zeitbeschränkten) Funktion f mit folgenden Eigenschaften: Jeder Eingabe x für Q1 wird eine Eingabe f(x) für Q2 zugeordnet Q1 ist für x genau dann mit „ja“ zu beantworten, wenn Q2 für f(x) mit „ja“ zu beantworten ist.

NP-Vollständigkeit und polynomiale Reduzierbarkeit
Ein Problem QNP ist genau dann NP-vollständig, wenn jedes Problem Q‘NP polynomial auf Q reduzierbar ist. Zum Nachweis der NP-Vollständigkeit eines Problems Q muss also „nur“ gezeigt werden, dass sich jedes Problem Q‘NP polynomial auf Q reduzieren lässt.

Nachweis der NP-Vollständigkeit
Polynomiale Reduzierbarkeit ist transitiv, d. h. aus Q1 p Q2 und Q2 p Q3 folgt Q1 p Q3. Um nachzuweisen, dass ein Problem Q NP-vollständig ist, reicht es zu zeigen, dass ein Problem Q‘ polynomial auf Q reduzierbar ist, von dem man schon weiß, dass es NP-vollständig ist. Voraussetzung: Für ein Problem wurde die NP-Vollständigkeit schon nachgewiesen (ohne Ausnutzung der Transitivität) Cook 1971: Das Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik ist NP-vollständig.

Definition: Boolescher Ausdruck (1)
Ein boolescher Ausdruck besteht aus Variablen, die durch Operatoren verknüpft sind. Die Variablen können nur die Werte wahr und falsch annehmen. Die erlaubten Operatoren sind (Konjunktion, logisches „und“) (Disjunktion, logisches „oder“) (Negation, logisches „nicht“) Zur Strukturierung eines Ausdrucks können Klammern gesetzt werden.

Definition: Boolescher Ausdruck (2)
Eine Disjunktion von Variablen oder deren Komplementen heißt Klausel Ein boolescher Ausdruck hat konjunktive Normalform, wenn er aus Konjunktionen von Klauseln besteht. Ein boolescher Ausdruck heißt erfüllbar, wenn es eine Belegung der Variablen mit wahr oder falsch gibt, durch die der Ausdruck insgesamt wahr wird.

Erfüllbarkeitsproblem
Das Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik (engl. satisfiability problem, kurz SAT) lautet: Gegeben ist ein boolescher Ausdruck B in konjunktiver Normalform. Ist B erfüllbar? Das Erfüllbarkeitsproblem ist NP-vollständig. Beweisskizze siehe Skript

Definition: Knotenüberdeckungsproblem
Das Knotenüberdeckungsproblem (engl. vertex covering problem, kurz VCP) lautet: Gegeben ist ein ungerichteter Graph G und eine natürliche Zahl k. Gibt es eine Teilmenge von G mit k Knoten, so dass jede Kante mindestens einen Endpunkt aus dieser Teilmenge enthält?

Aufgabe: Knotenüberdeckungsproblem
Gibt es eine Knotenüberdeckung mit vier Knoten? Gibt es eine Überdeckung mit drei Knoten?

VCP: Beweis (1) Das Knotenüberdeckungsproblem ist NP-vollständig.
Beweis: Zu zeigen ist, dass sich das Erfüllbarkeitsproblem SAT polynomial auf VCP reduzieren lässt. Aus der Transitivität der Relation p folgt dann, dass sich jedes Problem in NP polynomial auf VCP reduzieren lässt. Nach Cook gilt: für alle QNP: Q p SAT Wir zeigen: SAT p VCP Aus der Transitivität folgt: für alle QNP: Q p VCP

VCP: Beweis (2) 1. Schritt: VCP liegt in NP siehe Skript
2. Schritt: Reduktion von SAT auf VCP Konstruktion eines Verfahrens, durch das jedem booleschen Ausdruck B eine Eingabe für VCP (ein Graph G und eine natürliche Zahl k) zugeordnet wird, für die gilt: B ist genau dann erfüllbar, wenn G eine Überdeckung mit k Knoten enthält. Beweis, dass die Konstruktion richtig ist

VCP: Beweis (3) Für jede Variable enthält G zwei Knoten, die später das Vorkommen der Variablen in den Klauseln (negiert oder nicht negiert) repräsentieren.

VCP: Beweis (4) Für jede Klausel enthält G einen vollständigen Teilgraphen, dessen Knotenanzahl durch die Anzahl der Literale in der jeweiligen Klausel bestimmt ist.

VCP: Beweis (5) Die Kanten werden so festgelegt, dass sie je ein Literal der entsprechenden Klausel repräsentieren.

VCP: Beweis (6) Bestimmung einer natürlichen Zahl k: Man addiert die Anzahl der Variablen zur Anzahl der Literale in B und subtrahiert die Anzahl der Klauseln. k=4+(3+4)-2 =9

VCP: Beweis (7) Zu zeigen: B ist genau dann erfüllbar, wenn G eine Überdeckung mit k Knoten enthält. 1. Schritt: Ist B erfüllbar, dann enthält G eine Überdeckung mit k Knoten. 2. Schritt: Enthält G eine Überdeckung mit k Knoten, dann ist B erfüllbar.

VCP: Beweis (8) 1. Schritt. Sei B erfüllbar.
Auswahl der Knoten für die Überdeckung: Im oberen Teil diejenigen Knoten, die einer erfüllenden Belegung entsprechen Im unteren Teil alle Knoten bis auf einen je Teilgraph, der mit einem schon ausgewählten Knoten im oberen Teil verbunden ist.

VCP: Beweis (9) B wird erfüllt durch a=falsch, b=wahr, c=wahr, d=falsch

VCP: Beweis (10) Anzahl der oben ausgewählten Knoten
= Anzahl der Variablen Anzahl der unten ausgewählten Knoten = Anzahl der Literale – Anzahl der Klauseln Es wurden k Knoten ausgewählt und die Überdeckung ist nach Konstruktion vollständig.

VCP: Beweis (11) 2. Schritt. G enthalte eine Überdeckung mit k Knoten.
Zu zeigen: B ist erfüllbar.

VCP: Beweis (12) In jedem oberen Teilgraphen muss mindestens ein Knoten zur Überdeckung gehören. In jedem unteren Teilgraphen kann höchstens ein Knoten nicht zur Überdeckung gehören. Nach Konstruktion von k gehört deshalb in den unteren Teilgraphen jeweils genau ein Knoten nicht zur Überdeckung.

VCP: Beweis (13) Wahl der Variablen-belegungen für B entsprechend den oben ausgewählten Knoten Im Beispiel: a=wahr, b=falsch, c=falsch, d=wahr Noch zu zeigen: Die Belegung erfüllt B.

VCP: Beweis (14) Jeder untere Teilgraph enthält einen Knoten, der nicht zu Überdeckung gehört. Er ist mit einem Knoten im oberen Teilgraphen verbunden, der zur Überdeckung gehören muss. Nach Konstruktion der Belegung ist das zugehörige Literal wahr, so dass auch die Klausel wahr ist.

VCP: Beweis (15) Insgesamt: B ist genau dann erfüllbar, wenn G eine Überdeckung mit k Knoten enthält. SAT p VCP für alle Probleme Q in NP: Q p VCP Das Knotenüberdeckungsproblem ist NP-vollständig.

Weitere NP-vollständige Probleme (1)
3KNF-SAT: Erfüllbarkeitsproblem für boolesche Ausdrücke in konjunktiver Normalform mit höchstens drei Literalen Mengenüberdeckungsproblem: Gegeben: Teilmengen einer endlichen Menge M und eine natürliche Zahl k. Gibt es eine Auswahl von Teilmengen, bei der bereits alle Elemente von M vorkommen? Rucksackproblem: Gegeben: k Gegenstände von unterschiedlichem Gewicht. Gibt es eine Auswahl von Gegenständen, die ein vorgegebenes Gesamtgewicht hat?

Weitere NP-vollständige Probleme (2)
Erbteilungsproblem: Gegeben: k Münzen von unterschiedlichem Wert. Gibt es eine Aufteilung der Münzen, so dass jeder Teil denselben Wert hat? k-Färbbarkeitsproblem: Gegeben: Ein ungerichteter Graph G und eine natürliche Zahl k. Gibt es eine Färbung der Knoten von G mit k verschiedenen Farben, so dass keine benachbarten Knoten dieselbe Farbe haben?

Praxisrelevanz praktisch unlösbarer Probleme
Das Stundenplanproblem ist regelmäßig zu lösen, obwohl es praktisch unlösbar ist. Das Problem des Handlungsreisenden ist bei vielen Routenplanungen zu lösen (Müllabfuhr, Post,...) Reedereien haben eine Problemkombination zu lösen: Problem des Handlungsreisenden (Routenplanung) Verpackungsproblem (Beladen der Schiffe)

Lösungsansätze Verwendung eines exponentiellen Algorithmus, wenn die konkret auftretenden Eingabedaten meistens eine schnelle Bearbeitung zulassen. Abbruch nach vorgegebener Zeit Aufgeben der Forderung, dass das Ergebnis optimal ist. Beispiele: Stundenplan, Handlungsreisender  Genetischer Algorithmus zum Rucksackproblem Aufgeben der Forderung, dass das Ergebnis immer korrekt ist.  Probabilistischer Algorithmus zum Primzahlenproblem

Genetische Algorithmen: Begriffe
Individuum: Lösungskandidat Population: Menge von Lösungskandidaten Selektion: Auswahl der besten Lösungskandidaten Kreuzung: Kombination von zwei Lösungskandidaten zu zwei neuen Mutation: Zufällige Veränderung eines Lösungskandidaten

Aufgabe: Rucksackproblem
Gegeben: k Zahlen a1,...,ak, die das Gewicht der Gegenstände angeben, sowie eine Zahl b, das maximale Gesamtgewicht. Gesucht: Eine Auswahl von Gegenständen, deren Gesamtgewicht möglichst groß ist, jedoch ohne b zu überschreiten. Schreiben Sie eine Delphi-Anwendung, die das Problem durch einen genetischen Algorithmus löst. (Einzelheiten siehe Skript)

Probabilistischer Algorithmus „prim“
siehe Skript Der Algorithmus testet, ob eine natürliche Zahl n Primzahl ist. Ist n Primzahl, erkennt der Algorithmus das immer richtig. Ist n keine Primzahl, erkennt er das manchmal nicht. Die Fehlerwahrscheinlichkeit kann vorgegeben werden.

Fazit (1) Zeitaufwand ist ein wichtiges Kriterium für die Qualität von Algorithmen. Zeitaufwand kann man maschinenunabhängig beschreiben. Für viele Probleme gibt es keine schnellen Algorithmen. Sie sind praktisch unlösbar. Es ist unbekannt, ob P=NP gilt. NP-vollständige Probleme sind die schwersten unter denjenigen, für die möglicherweise ein schneller Algorithmus existiert.

Fazit (2) Viele praktisch unlösbare Probleme besitzen praktische Relevanz. Manchmal gibt es Näherungslösungen. Aber: Für einige NP-vollständige Probleme kann bewiesen werden, dass es unmöglich ist, akzeptable Lösungen zu finden – es sei denn, es gilt P=NP.

Praktische Grenzen der Berechenbarkeit

Ähnliche Präsentationen

Präsentation zum Thema: "Praktische Grenzen der Berechenbarkeit"— Präsentation transkript:

Ähnliche Präsentationen

Über Projekt

Feedback

Anmelden

Anmeldung über soziales Netzwerk:

Praktische Grenzen der Berechenbarkeit

Ähnliche Präsentationen

Präsentation zum Thema: "Praktische Grenzen der Berechenbarkeit"— Präsentation transkript:

Ähnliche Präsentationen

Über Projekt

Feedback