Räuber-Beute-Systeme

Präsentation zum Thema: "Räuber-Beute-Systeme"—  Präsentation transkript:

1 Räuber-Beute-Systeme
Judith Fuchslueger, Anna Steinlechner & Iris Wolf

2 Überblick/Programm Einführung in das Thema Lotka-Volterra-Modell
Lösungen Lotka-Volterra-Gesetze Kritik Zusammenfassung

3 Einführung Fischerei um 1915
Alfred James Lotka (1925) und Vito Volterra (1926) wichtige Grundlage der Theoretischen Biologie (Populationsdynamik) Anwendungen: Fischereidaten, Medizinische Epidemiologie, Wirtschaftswissenschaften, Schädlingsbekämpfung

4 Lotka - Volterra - Modell
N = N(t) Anzahl der Beutelebewesen zeitabhängig a > 0 Reproduktionsrate der Beute ohne Störung und bei großem Nahrungsangebot konstant P = P(t) Anzahl der Räuber d > 0 Sterberate der Räuber, wenn keine Beute vorhanden ist b > 0 Fressrate der Räuber pro Beutelebewesen = Sterberate der Beute pro Räuber c > 0 Reproduktionsrate der Räuber pro Beutelebewesen

5 vermehren wird gefressen vermehren (durch Fressen) sterben

6 Herleitung von Volterra
ungestörten Wachstumsraten pro Zeiteinheit dt seien λ1 und λ2 mittlere Anzahl der Begegnungen zwischen Beute und Räuber pro Zeiteinheit dt ist αNP, α aus den positiven, reellen Zahlen genügend große Zahl n an Begegnungen haben Effekt β1 , β2 auf die Populationen N, P

7 Setze und dt → 0

8 Konstante Lösungen Durch die nullgesetzten Gleichungen
erhält man die Gleichgewichtspunkte und (N*, P*) =

9 Nicht-konstante Lösungen
Integration

10 Die Lotka-Volterra-Gesetze
Periodizität Erhaltung der Mittelwerte Störung der Mittelwerte

11 1. Periodizität Gesetz der periodischen Zykel: Die Schwankungen der beiden Klassen sind periodisch.

12 1. Periodizität (ab 4:20)

13 2. Erhaltung der Mittelwerte
Die durchschnittlichen Populationen über einen Zyklus mit Periode T sind gegeben durch:

14 2. Erhaltung der Mittelwerte
Die durchschnittlichen Populationsgrößen sind ident mit den Gleichgewichtspunkten, also und

15 2. Erhaltung der Mittelwerte
1515 Da T die Periode eines Zyklusses ist ist N(0)=N(T) 2. Erhaltung der Mittelwerte Trennung der Variablen Integration von t=0 bis t=T Da N(T) = N(0)

16 3. Störung der Mittelwerte
Werden die beiden Tierklassen gleichmäßig und proportional zur Populationsgröße dezimiert, und ist die Rate Dezimierung der Beute keiner als deren Reproduktionsrate, so wächst der Mittelwert der Beutepopulation, und der Mittelwert der Räuberpopulation sinkt. α … Zerstörungsrate der Beutelebewesen β … Zerstörungsrate der Räuber

17 Umformen ergibt:

18 Kritik Nur anwendbar unter Beachtung selten erfüllter Voraussetzungen
mathematische Modellierung sehr speziell – in Praxis nur in Abwandlung verwendet

19 Zusammenfassung

20 Danke für eure Aufmerksamkeit!