Binärbäume Klaus Becker 2003.

Binärbäume Klaus Becker 2003

Datenstrukturierung mit Bäumen
Löwe; 12 Esel; 4 Pfau; 27 Esel; 9 Jaguar; 8 Panther; 4 Wolf; 31 Affe; 24 Giraffe; 6 Kamel; 45 Tiger; 6 Zebra; 10 Gorilla; 23

Teil 1 Termbäume

Termbaum Ein Termbaum dient dazu, einen Rechenterm wie z. B. (x+3)*(2x-5) strukturell zu repräsentieren. * + x 3 2 – 5 Ziel: Entwicklung eines Programms zur Verarbeitung von Term(bäum)en.

Binärbaum Wurzel * + – x 3 * 5 linker Teilbaum 2 x rechter Teilbaum Ein Binärbaum ist leer oder besteht aus einer Wurzel und zwei Binärbäumen, dem linken und rechten Teilbaum.

Objektorientierte Modellierung
inhalt = * links rechts inhalt = + inhalt = – links rechts links rechts inhalt = x inhalt = 3 inhalt = * inhalt = 5 links rechts links rechts links rechts links rechts inhalt = 2 inhalt = x links rechts links rechts

* + – x 3 * 5

OOA-Modell 0..1 0..2 kennt kennt Baum Knoten wurzel: Knoten
inhalt: ... links: Knoten rechts: Knoten kennt ... ...

OOD-Modell 0..2 0..1 kennt kennt ist Baum Knoten - wurzel: Knoten
- inhalt: string - links: Knoten - rechts: Knoten kennt + create(w: Knoten) + getWurzel: Knoten + istLeer: boolean + ausgebenInOrder(k: Knoten): string + ausgebenPreOrder(k: Knoten): string + ausgebenPostOrder(k: Knoten): string + create(i: string; l,r: Knoten) + getInhalt: string + getLinks: Knoten + getRechts: Knoten ist TermBaum + auswerten(k: Knoten; w: integer): integer

Implementierung constructor TKnoten.create(inhalt: string; links, rechts: TKnoten); begin self.inhalt := inhalt; self.links := links; self.rechts := rechts end; function TKnoten.getInhalt: string; begin result := inhalt; end; function TKnoten.getLinks: TKnoten; begin result := links; end; function TKnoten.getRechts: TKnoten; begin result := rechts; end;

Implementierung constructor TBaum.create(w: TKnoten); begin wurzel := w; end; function TBaum.istLeer: boolean; begin result := (wurzel = nil); end; function TBaum.getWurzel: TKnoten; begin result := wurzel; end; procedure TBaum.setWurzel(k: TKnoten); begin wurzel := k; end;

Erzeugung des Termbaums
Aufgabe: Ein Binärbaum (wie der hier dargestellte) soll mit Hilfe der bisher implementierten Baumoperationen erzeugt werden. * + x 3 2 – 5

Erzeugung des Termbaums – Version 1
k1 := TKnoten.create('2', nil, nil); k2 := TKnoten.create('x', nil, nil); k3 := TKnoten.create('*', k1, k2); k4 := TKnoten.create('5', nil, nil); k5 := TKnoten.create('-', k3, k4); k6 := TKnoten.create('x', nil, nil); k7 := TKnoten.create('3', nil, nil); k8 := TKnoten.create('+', k6, k7); k9 := TKnoten.create('*', k8, k5); baum := TTermBaum.create(k9); * + x 3 2 – 5

Erzeugung des Termbaums – Version 2
baum := TTermBaum.create( TKnoten.create('*', TKnoten.create('+', TKnoten.create('x', nil, nil), TKnoten.create('3', nil, nil)), TKnoten.create('-', TKnoten.create('*', TKnoten.create('2', nil, nil), TKnoten.create('x', nil, nil)), TKnoten.create('5', nil, nil)))); * + x 3 2 – 5

Traversierung eines Binärbaums
Aufgabe: Ein Binärbaum (wie der hier dargestellte) soll nach einer vorgegeben Regel durchlaufen und verarbeitet (z. B. ausgegeben) werden. * + – x 3 * 5 2 x

Preorder-Traversierung eines Binärbaums
* + – x 3 * 5 2 x Verarbeite die Wurzel Traversiere den linken Teilbaum in „Preorder“ Traversiere den rechten Teilbaum in „Preorder“ * + x 3 - * 2 x 5

Inorder-Traversierung eines Binärbaums
* + – x 3 * 5 2 x Traversiere den linken Teilbaum in „Inorder“ Verarbeite die Wurzel Traversiere den rechten Teilbaum in „Inorder“ x + 3 * 2 * x - 5

Postorder-Traversierung eines Binärbaums
* + – x 3 * 5 2 x Traversiere den linken Teilbaum in „Postorder“ Traversiere den rechten Teilbaum in „Postorder“ Verarbeite die Wurzel x x * 5 - *

Preorder-Ausgabe Deklaration:
function TBaum.ausgebenPreOrder(k:TKnoten):String; begin if (k = nil) then result := '' else result := k.getInhalt ausgebenPreOrder(k.getLinks) ausgebenPreOrder(k.getRechts); end; Aufruf: baum.ausgebenPreOrder(baum.getWurzel)

Aufgabe Im Ordner „Termbaum1“ finden Sie ein vorstrukturiertes Programm zur Erzeugung und Verarbeitung von Binärbäumen / Termbäumen. Ergänzen Sie die fehlenden Teile (Erzeugung eines Binärbaums und Ausgabe in Preorder, Inorder, Postorder). Zur Kontrolle: Termbaum2

Auswertung eines Termbaums
Aufgabe: Ein Termbaum (wie der hier dargestellte) soll bzgl. eines vorgegeben x-Wertes ausgewertet werden: x-Wert einsetzen und Gesamtwert berechnen * + x 3 2 – 5 x = 3: Auswertung liefert 6

Rekursive Problemreduktion
baum.auswerten(k,w) if k.getInhalt = '*' then result := * + – x 3 * 5 2 x baum.auswerten(k.links,w) baum.auswerten(k.rechts,w) *

Rekursionsanfang baum.auswerten(k,w)
if ((k.getRechts = nil) and (k.getLinks = nil)) then x 3 if k.getInhalt = 'x' then result := w else result := StrToInt(k.getInhalt);

Aufgabe Implementieren Sie die Operation „auswerten“ und ergänzen Sie das Testprogramm. Zur Kontrolle: Termbaum2

Teil 2 Suchbäume

Textindex Die #Geschichte# des Kölner Zoos #Gründung# des Zoo und die ersten Jahre Auf Betreiben von Dr. Caspar #Garthe#, dem ersten Oberlehrer an der Höheren Bürgerschule am Quatermarkt zu Köln, schlossen sich wohlhabende und einflußreiche, zugleich tierliebende und zoobegeisterte Bürger der Stadt zu einer Aktiengesellschaft zusammen, um 1860 in Köln einen #Zoologischen Garten# zu gründen. In kaum einem anderen Zoo läßt sich die #Entwicklung# der Zoologischen Gärten anhand noch erhaltener #Tierhäuser und -anlagen# aus den verschiedenen #Epochen# so gut nachvollziehen wie im Kölner Zoo. Das älteste Monument ist das 1863 unter Leitung von Dr. Heinrich #Bodinus# ( ) erbaute #Elefantenhaus# in #maurischem Stil#. ... Affeninsel; 33 Blockhaus-Stil; 20 Bodinus; 16 Elefantenhaus; 79 Elefantenhaus; 17 Entwicklung; 11 Epochen; 14 Funck; 19 Garthe; 4 Geschichte; 1 Gründung; 2 Hagenbeck; Ziel: Es soll ein Programm entwickelt werden, mit dessen Hilfe ein Textindex erstellt und zum „Nachschlagen“ benutzt werden kann. Im vorliegenden Fall soll der Textindex die Zeilen-nummern der markierten Begriffe enthalten.

Prototyp

Zur Wahl der Datenstruktur
Affe; 24 Esel; 9 Esel; 4 Giraffe; 6 Gorilla; 23 Jaguar; 8 Liste  Lineare Suche Löwe; 12 Esel; 4 Pfau; 27 Esel; 9 Jaguar; 8 Panther; 4 Wolf; 31 Affe; 24 Giraffe; 6 Kamel; 45 Tiger; 6 Zebra; 10 Gorilla; 23 Binärbaum  Binäre Suche

Suchbaum alle  Wurzel alle > Wurzel Löwe; 12 Esel; 4 Pfau; 27
Jaguar; 8 Panther; 4 Wolf; 31 Affe; 24 Giraffe; 6 Kamel; 45 Tiger; 6 Zebra; 10 Gorilla; 23 alle  Wurzel alle > Wurzel

Einfügen: Problemspezifikation
Ausgangszustand: Fasan; 13 Löwe; 12 Esel; 4 Pfau; 27 Esel; 9 Jaguar; 8 Panther; 4 Wolf; 31 Affe; 24 Giraffe; 6 Kamel; 45 Tiger; 6 Zebra; 10 Zielzustand: Fasan; 13 Gorilla; 23

Einfügen: Lösungsstrategie
Situation: aktueller Wurzelknoten existiert neuer Begriff  aktueller Begriff linker Teilbaum nicht leer Fasan; 13 neu: Löwe; 12 aktuell: Esel; 4 Pfau; 27 Esel; 9 Jaguar; 8 Panther; 4 Wolf; 31 Affe; 24 Giraffe; 6 Kamel; 45 Tiger; 6 Zebra; 10 Gorilla; 23

Problemreduktion: Einfügen im linken Teilbaum Fasan; 13 neu: Löwe; 12 aktuell: Esel; 4 Pfau; 27 Esel; 9 Jaguar; 8 Panther; 4 Wolf; 31 Affe; 24 Giraffe; 6 Kamel; 45 Tiger; 6 Zebra; 10 Gorilla; 23

Situation: aktueller Wurzelknoten existiert neuer Begriff > aktueller Begriff rechter Teilbaum nicht leer Fasan; 13 neu: Löwe; 12 aktuell: Esel; 4 Pfau; 27 Esel; 9 Jaguar; 8 Panther; 4 Wolf; 31 Affe; 24 Giraffe; 6 Kamel; 45 Tiger; 6 Zebra; 10 Gorilla; 23

Problemreduktion: Einfügen im rechten Teilbaum Fasan; 13 neu: Löwe; 12 aktuell: Esel; 4 Pfau; 27 Esel; 9 Jaguar; 8 Panther; 4 Wolf; 31 Affe; 24 Giraffe; 6 Kamel; 45 Tiger; 6 Zebra; 10 Gorilla; 23

Situation: aktueller Wurzelknoten existiert neuer Begriff  aktueller Begriff linker Teilbaum nicht leer Fasan; 13 neu: Löwe; 12 Esel; 4 Pfau; 27 Esel; 9 aktuell: Jaguar; 8 Panther; 4 Wolf; 31 Affe; 24 Giraffe; 6 Kamel; 45 Tiger; 6 Zebra; 10 Gorilla; 23

Problemreduktion: Einfügen im linken Teilbaum Fasan; 13 neu: Löwe; 12 Esel; 4 Pfau; 27 Esel; 9 aktuell: Jaguar; 8 Panther; 4 Wolf; 31 Affe; 24 Giraffe; 6 Kamel; 45 Tiger; 6 Zebra; 10 Gorilla; 23

Situation: aktueller Wurzelknoten existiert neuer Begriff  aktueller Begriff linker Teilbaum ist leer Fasan; 13 neu: Löwe; 12 Esel; 4 Pfau; 27 Esel; 9 Jaguar; 8 Panther; 4 Wolf; 31 Affe; 24 aktuell: Giraffe; 6 Kamel; 45 Tiger; 6 Zebra; 10 Gorilla; 23

Problemlösung: linker Nachfolger  neuer Knoten mit neuem Begriff Fasan; 13 neu: Löwe; 12 Esel; 4 Pfau; 27 Esel; 9 Jaguar; 8 Panther; 4 Wolf; 31 Affe; 24 aktuell: Giraffe; 6 Kamel; 45 Tiger; 6 Zebra; 10 Fasan; 13 Gorilla; 23

Sonderfall: aktueller Wurzelknoten existiert nicht neu: Fasan; 13 aktuell: Problemlösung: Wurzel  neuer Knoten mit neuem Begriff neu: Fasan; 13 aktuell: Fasan; 13

Einfügen: Algorithmus

Suchen: Problemspezifikation
Ausgangszustand: Esel : Suchbegriff Zielzustand: Suchergebnis: Esel; 4 Esel; 9 Löwe; 12 Esel; 4 Pfau; 27 Esel; 9 Jaguar; 8 Panther; 4 Wolf; 31 Affe; 24 Giraffe; 6 Kamel; 45 Tiger; 6 Zebra; 10 Gorilla; 23

Suchen: Problemspezifikation
Ausgangszustand: Esel : Suchbegriff Suchergebnis: Esel; 4 Esel; 9 Idee: Preorder-Durchlauf mit Aufsammeln aller Treffer Löwe; 12 Esel; 4 Pfau; 27 Esel; 9 Jaguar; 8 Panther; 4 Wolf; 31 Affe; 24 Giraffe; 6 Kamel; 45 Tiger; 6 Zebra; 10 Gorilla; 23

Suchen: Lösungsstrategie
Situation: aktueller Wurzelknoten existiert Suchbegriff  aktueller Begriff Esel : Suchbegriff Suchergebnis: Löwe; 12 : aktuell Esel; 4 Pfau; 27 Esel; 9 Jaguar; 8 Panther; 4 Wolf; 31 Affe; 24 Giraffe; 6 Kamel; 45 Tiger; 6 Zebra; 10 Gorilla; 23

Problemreduktion: if Suchbegriff = aktueller Begriff then Daten aufnehmen linken Teilbaum durchsuchen Esel : Suchbegriff Suchergebnis: Löwe; 12 : aktuell Esel; 4 Pfau; 27 Esel; 9 Jaguar; 8 Panther; 4 Wolf; 31 Affe; 24 Giraffe; 6 Kamel; 45 Tiger; 6 Zebra; 10 Gorilla; 23

Situation: aktueller Wurzelknoten existiert Suchbegriff  aktueller Begriff Esel : Suchbegriff Suchergebnis: Löwe; 12 Esel; 4 : aktuell Pfau; 27 Esel; 9 Jaguar; 8 Panther; 4 Wolf; 31 Affe; 24 Giraffe; 6 Kamel; 45 Tiger; 6 Zebra; 10 Gorilla; 23

Problemreduktion: if Suchbegriff = aktueller Begriff then Daten aufnehmen linken Teilbaum durchsuchen Esel : Suchbegriff Suchergebnis: Esel; 4 Löwe; 12 Esel; 4 : aktuell Pfau; 27 Esel; 9 Jaguar; 8 Panther; 4 Wolf; 31 Affe; 24 Giraffe; 6 Kamel; 45 Tiger; 6 Zebra; 10 Gorilla; 23

Situation: aktueller Wurzelknoten existiert Suchbegriff  aktueller Begriff Esel : Suchbegriff Suchergebnis: Esel; 4 Löwe; 12 Esel; 4 Pfau; 27 Esel; 9 : aktuell Jaguar; 8 Panther; 4 Wolf; 31 Affe; 24 Giraffe; 6 Kamel; 45 Tiger; 6 Zebra; 10 Gorilla; 23

Problemreduktion: if Suchbegriff = aktueller Begriff then Daten aufnehmen linken Teilbaum durchsuchen Esel : Suchbegriff Suchergebnis: Esel; 4 Esel; 9 Löwe; 12 Esel; 4 Pfau; 27 Esel; 9 : aktuell Jaguar; 8 Panther; 4 Wolf; 31 Affe; 24 Giraffe; 6 Kamel; 45 Tiger; 6 Zebra; 10 Gorilla; 23

Situation: aktueller Wurzelknoten existiert Suchbegriff > aktueller Begriff Esel : Suchbegriff Suchergebnis: Esel; 4 Esel; 9 Löwe; 12 Esel; 4 Pfau; 27 Esel; 9 Jaguar; 8 Panther; 4 Wolf; 31 Affe; 24 : aktuell Giraffe; 6 Kamel; 45 Tiger; 6 Zebra; 10 Gorilla; 23

Problemreduktion: rechten Teilbaum durchsuchen Esel : Suchbegriff Suchergebnis: Esel; 4 Esel; 9 Löwe; 12 Esel; 4 Pfau; 27 Esel; 9 Jaguar; 8 Panther; 4 Wolf; 31 Affe; 24 : aktuell Giraffe; 6 Kamel; 45 Tiger; 6 Zebra; 10 Gorilla; 23

Situation: aktueller Wurzelknoten existiert nicht Esel : Suchbegriff Suchergebnis: Esel; 4 Esel; 9 Löwe; 12 Esel; 4 Pfau; 27 Esel; 9 Jaguar; 8 Panther; 4 Wolf; 31 Affe; 24 Giraffe; 6 Kamel; 45 Tiger; 6 Zebra; 10 : aktuell Gorilla; 23

Problemlösung: Mache nichts Esel : Suchbegriff Suchergebnis: Esel; 4 Esel; 9 Löwe; 12 Esel; 4 Pfau; 27 Esel; 9 Jaguar; 8 Panther; 4 Wolf; 31 Affe; 24 Giraffe; 6 Kamel; 45 Tiger; 6 Zebra; 10 : aktuell Gorilla; 23

Suchen: Algorithmus

Löwe; 12 Esel; 4 Pfau; 27 Esel; 9 Jaguar; 8 Panther; 4 Wolf; 31 0..1 0..2 Baum Knoten - wurzel: Knoten kennt - begriff: string - zeile: integer - links: Knoten - rechts: Knoten kennt + create(w: Knoten) + getWurzel: Knoten + istLeer: boolean + initialisieren + einfuegen(b: string; z: integer; aktuell: TKnoten) + suchen(b: string; k: TKnoten; var s: TStringList) + ausgeben(k: TKnoten; var s: TStringList) + create(b: string; z: int.; l,r: Knoten) + getBegriff: string + getZeile: integer + getLinks: Knoten + getRechts: Knoten

Aufgabe Im Ordner „Suchbaum1“ finden Sie ein vorstrukturiertes Programm zur Erzeugung und Verarbeitung von Suchbäumen. Implementieren Sie die Operation „einfuegen“, „suchen“ und „ausgeben“. Zur Kontrolle: Suchbaum2

Zusammenfassung: Dynamische Datenstrukturen
Teil 3 Zusammenfassung: Dynamische Datenstrukturen

Datenstrukturierung * + x 3 2 – 5 Ein Grundproblem der Programmierung: Daten möglichst strukturgetreu zu repräsentieren

Datentypen / Datenstrukturen
Ein Datentyp legt einen Wertebereich und die Grundoperationen, die auf die Elemente des Wertebereichs angewandt werden können, fest. Beispiele (für elementare Datentypen): > boolean (Wahrheitswert) > char (Zeichen) > integer (ganze Zahl) > real (Dezimalzahl) Eine Datenstruktur legt den Aufbau von komplexen Wertebereichen aus einfacheren Wertebereichen fest. Beispiele (für elementare Datenstrukturen): > Reihung / Feld > Verbund

Dynamische Datenstrukturen
Dynamische Datenstrukturen werden benutzt, wenn sich die Struktur der Dateneinheiten zur Laufzeit dynamisch verändern kann.

Erzeugung dynamischer Datenstrukturen
Erzeugung mit Hilfe von Referenzattributen (Pointer) Erzeugung mit Hilfe vordefinierter KLassen TList; TStringList; TStack; ...

Literaturhinweise Helmut Balzert: Lehrbuch Grundlagen der Informatik. Spektrum Ak. Verlag 1999. H.-P. Gumm u. M. Sommer: Einführung in die Informatik. Oldenbourg Verlag 2002. ...

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