Lagrange-Formalismus

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1 Lagrange-Formalismus
Warum Lagrange Benötigte Begriffe Zwangsbedingungen (holonome) Generalisierte Koordinaten Lagrange-Gleichungen 1. Art (Bestimmung der Zwangskräfte) 2. Art (Bestimmung der Bewegungsgleichungen) Euler-Lagrange-Gleichung Variationsrechnung (Hamilton´s Wirkungsprinzip) Beispiel

2 Warum Lagrange Alternative zu Newton
Weiteres Werkzeug zur Bestimmung von Bewegungsgleichungen Aber beliebige Koordinaten wählbar Zwangsbedingungen leichter implementierbar Explizites Ausrechnen der Zwangskräfte relativ leicht möglich Oder Elimination der Zwangskräfte durch generalisierte Koordinaten -> Reduktion der Dimension des Problems (Freiheitsgrade) Zu lösenden Gleichungen invariant unter Koordinatentransformationen Behalten immer die gleiche Form Bessere analytische Möglichkeiten (zB. Symmetrien <-> Erhaltungsgrößen ; Begriff der Gesamtenergie bei v-abhängigen Potentialen)

3 Benötigte Begriffe Holonome Zwangsbedingungen
(griech.: „ganz gesetzlich“) Gleichungen zwischen den Ortskoordinaten (auch explizite Zeitabhängigkeit zugelassen) Darstellbar als vollständiges Differential einer Funktion

4 Generalisierte Koordinaten
An das Problem angepasste Koordinaten Können die `Dimension des Problems` verringern Jede Zwangsbedingung entspricht dem Festhalten einer generalisierten Koordinate -> Reduktion der Freiheitsgrade

5 Lagrange-Funktion L = T – V T … kin. Energie
V … verallgemeinerte potentielle Energie

6 Die Lagrange-Gleichung(en)
Lagrange-Gleichung erster Art s …. Anzahl der Zwangsbedingungen Fk = 0 λk … Lagrange-Multiplikator Koordinatentransformation L = T –V , Q = -∇V Lagrange-Gleichung 2.Art (Euler-Lagrange-Glg.)