X. Übungsblatt – Aufgabe X Die Zahlendarstellung im IEEE Standard 754 (single precision): Allgemein gilt: Z = (-1) V * (1 + M) * 2 (E - BIAS) a)Welche.

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1 X. Übungsblatt – Aufgabe X Die Zahlendarstellung im IEEE Standard 754 (single precision): Allgemein gilt: Z = (-1) V * (1 + M) * 2 (E - BIAS) a)Welche (Dezimal-)Zahlen werden durch die beiden Werte nach obigem Muster dargestellt: I) 0 1001 1001 1001 1001 1001 0000 0000 000 2 II) 1 0001 1001 1001 1001 0000 0000 0000 000 2 Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

2 X. Übungsblatt – Aufgabe X a)Welche (Dezimal-)Zahlen werden durch die beiden Werte nach obigem Muster dargestellt: I) 0 1001 1001 1001 1001 1001 0000 0000 000 2 Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

3 X. Übungsblatt – Aufgabe X a)Welche (Dezimal-)Zahlen werden durch die beiden Werte nach obigem Muster dargestellt: I) 0 1001 1001 1001 1001 1001 0000 0000 000 2 V = 0 Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

4 X. Übungsblatt – Aufgabe X a)Welche (Dezimal-)Zahlen werden durch die beiden Werte nach obigem Muster dargestellt: I) 0 1001 1001 1001 1001 1001 0000 0000 000 2 V = 0 E = 1001 1001 2 = 1 + 8 + 16 + 128 = 153 Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

5 X. Übungsblatt – Aufgabe X a)Welche (Dezimal-)Zahlen werden durch die beiden Werte nach obigem Muster dargestellt: I) 0 1001 1001 1001 1001 1001 0000 0000 000 2 V = 0 E = 1001 1001 2 = 1 + 8 + 16 + 128 = 153 BIAS = 2 #E-1 - 1 = 2 7 - 1 = 128 - 1 = 127 Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

6 X. Übungsblatt – Aufgabe X a)Welche (Dezimal-)Zahlen werden durch die beiden Werte nach obigem Muster dargestellt: I) 0 1001 1001 1001 1001 1001 0000 0000 000 2 V = 0 E = 1001 1001 2 = 1 + 8 + 16 + 128 = 153 BIAS = 2 #E-1 - 1 = 2 7 - 1 = 128 - 1 = 127 M = 1001 1001 1001 0000 0000 000 2 Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

7 X. Übungsblatt – Aufgabe X a)Welche (Dezimal-)Zahlen werden durch die beiden Werte nach obigem Muster dargestellt: I) 0 1001 1001 1001 1001 1001 0000 0000 000 2 V = 0 E = 1001 1001 2 = 1 + 8 + 16 + 128 = 153 BIAS = 2 #E-1 - 1 = 2 7 - 1 = 128 - 1 = 127 M = 1001 1001 1001 0000 0000 000 2 (1 + M) = 1 + 2 -1 + 2 -4 + 2 -5 + 2 -8 + 2 -9 + 2 -12 = 1+ 2457/2 12 Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

8 X. Übungsblatt – Aufgabe X a)Welche (Dezimal-)Zahlen werden durch die beiden Werte nach obigem Muster dargestellt: II) 1 0001 1001 1001 1001 0000 0000 0000 000 2 Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

9 X. Übungsblatt – Aufgabe X a)Welche (Dezimal-)Zahlen werden durch die beiden Werte nach obigem Muster dargestellt: II) 1 0001 1001 1001 1001 0000 0000 0000 000 2 V = 1 Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

10 X. Übungsblatt – Aufgabe X a)Welche (Dezimal-)Zahlen werden durch die beiden Werte nach obigem Muster dargestellt: II) 1 0001 1001 1001 1001 0000 0000 0000 000 2 V = 1 E = 0001 1001 2 = 1 + 8 + 16 = 25 Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

11 X. Übungsblatt – Aufgabe X a)Welche (Dezimal-)Zahlen werden durch die beiden Werte nach obigem Muster dargestellt: II) 1 0001 1001 1001 1001 0000 0000 0000 000 2 V = 1 E = 0001 1001 2 = 1 + 8 + 16 = 25 BIAS = 2 #E-1 - 1 = 2 7 - 1 = 128 - 1 = 127 Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

12 X. Übungsblatt – Aufgabe X a)Welche (Dezimal-)Zahlen werden durch die beiden Werte nach obigem Muster dargestellt: II) 1 0001 1001 1001 1001 0000 0000 0000 000 2 V = 1 E = 0001 1001 2 = 1 + 8 + 16 = 25 BIAS = 2 #E-1 - 1 = 2 7 - 1 = 128 - 1 = 127 M = 1001 1001 0000 0000 0000 000 2 Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

13 X. Übungsblatt – Aufgabe X a)Welche (Dezimal-)Zahlen werden durch die beiden Werte nach obigem Muster dargestellt: II) 1 0001 1001 1001 1001 0000 0000 0000 000 2 V = 1 E = 0001 1001 2 = 1 + 8 + 16 = 25 BIAS = 2 #E-1 - 1 = 2 7 - 1 = 128 - 1 = 127 M = 1001 1001 0000 0000 0000 000 2 (1 + M) = 1 + 2 -1 + 2 -4 + 2 -5 + 2 -8 = 1 + 153 / 2 8 Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

14 X. Übungsblatt – Aufgabe X b)Wandeln Sie folgende Zahlen in die 32 Bit IEEE Gleitkommadarstellung um: I) 6,25 * 10 -3 D II)3,14159 D Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

15 X. Übungsblatt – Aufgabe X I) 6,25 * 10 -3 D = 0,00625 D 0,00625* 2 = 0,01250| 0 0,0125* 2 = 0,025| 0 0,025* 2 = 0,05| 0 0,05* 2 = 0,1| 0 0,1* 2 = 0,2| 0 0,2* 2 = 0,4| 0 0,4* 2 = 0,8| 0 0,8* 2 = 1,6| 1 0,6* 2 = 1,2| 1 0,2* 2 = 0,4| 0... Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

16 X. Übungsblatt – Aufgabe X I) 6,25 * 10 -3 D = 0,00625 D →0,0000 0001 1001 1001 1001 100 Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

17 X. Übungsblatt – Aufgabe X I) 6,25 * 10 -3 D = 0,00625 D →0,0000 0001 1001 1001 1001 100 →1,1001 1001 1001 1001 1001 100 * 2 -8 →M = 1,1001 1001 1001 1001 1001 100 Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

18 X. Übungsblatt – Aufgabe X I) 6,25 * 10 -3 D = 0,00625 D →0,0000 0001 1001 1001 1001 100 →1,1001 1001 1001 1001 1001 100 * 2 -8 →M = 1,1001 1001 1001 1001 1001 100 →E + BIAS = -8 + 127 = 119 →E = 0111 0111 Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik 119:2=59R1 59:2=29R1 29:2=14R1 14:2=7R0 7:2=3R1 3:2=1 1:2=0

19 X. Übungsblatt – Aufgabe X I) 6,25 * 10 -3 D = 0,00625 D →0,0000 0001 1001 1001 1001 100 →1,1001 1001 1001 1001 1001 100 * 2 -8 →M = 1,1001 1001 1001 1001 1001 100 →E + BIAS = -8 + 127 = 119 →E = 0111 0111 →6,25 * 10 -3 D = 0 | 0111 0111 | 1001 1001 1001 1001 1001 100 B Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik 119:2=59R1 59:2=29R1 29:2=14R1 14:2=7R0 7:2=3R1 3:2=1 1:2=0

20 X. Übungsblatt – Aufgabe X II) 3,14159 D 0,14159 * 2 = 0,28318| 0 0,28318 * 2 = 0,56636| 0 0,56636 * 2 = 1,13272| 1 0,13272 * 2 = 0,26544| 0 0,26544* 2 = 0,53088| 0 0,53088* 2 = 1,06176| 1 0,06176* 2 = 0,12352| 0 0,12352* 2 = 0,24704| 0 0,24704* 2 = 0,49408| 0 0,49408* 2 = 0,98816| 0... Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

21 X. Übungsblatt – Aufgabe X II)3,14159 D →11,0010 0100 0011 1111 0011 110 Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

22 X. Übungsblatt – Aufgabe X II)3,14159 D →11,0010 0100 0011 1111 0011 110 →1,1001 0010 0001 1111 1001 111 * 2 1 →M = 1,1001 0010 0001 1111 1001 111 Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

23 X. Übungsblatt – Aufgabe X II)3,14159 D →11,0010 0100 0011 1111 0011 110 →1,1001 0010 0001 1111 1001 111 * 2 1 →M = 1,1001 0010 0001 1111 1001 111 →E + BIAS = 1 + 127 = 128 →E = 1000 0000 Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik 128:2=64R0 64:2=32R0 32:2=16R0 16:2=8R0 8:2=4 4:2=2 2:2=1 1:2=0R1

24 X. Übungsblatt – Aufgabe X II)3,14159 D →11,0010 0100 0011 1111 0011 110 →1,1001 0010 0001 1111 1001 111 * 2 1 →M = 1,1001 0010 0001 1111 1001 111 →E + BIAS = 1 + 127 = 128 →E = 1000 0000 →3,14159 D = 0 | 1000 0000 | 1001 0010 0001 1111 1001 111 B Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik 128:2=64R0 64:2=32R0 32:2=16R0 16:2=8R0 8:2=4 4:2=2 2:2=1 1:2=0R1

25 X. Übungsblatt – Aufgabe X b)Auf wie viele dezimale Nachkommastellen genau kann die Zahl Pi angegebenen werden? Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

26 X. Übungsblatt – Aufgabe X b)Auf wie viele dezimale Nachkommastellen genau kann die Zahl Pi angegebenen werden? Von der Mantisse werden 22 Bit zur Speicherung der Nachkommastellen verwendet. Der maximale Fehler ist in diesem Fall 2 -22 = 0.24 * 10 -6 →Pi kann also auf 6 dezimale Nachkommastellen genau angegeben werden Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

27 X. Übungsblatt – Aufgabe X c)Warum kann einer float-Variablen der Wert 1*10 -42, nicht aber der Wert 1*10 42 zugewiesen werden? Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

28 X. Übungsblatt – Aufgabe X c)Warum kann einer float-Variablen der Wert 1*10 -42, nicht aber der Wert 1*10 42 zugewiesen werden? Durch den Exponent kann das Komma um 127 Stellen nach links (E=0) oder um 128 Stellen nach rechts (E=255) geschoben werden. 2 10 ≈ 10 3 --> 10 42 ≈ 2 140 bzw. 10 -42 ≈ 2-140. Sollen in der Gleitkommadarstellung kleinere Zahlen als 2 -126 dargestellt werden, so greift man auf die sogenannte denormalisierte Darstellung zurück. Diese erlaubt die Darstellung kleinerer Zahlen durch Schieben und Auffüllen von Nullen der Mantisse nach rechts. Dieses Verfahren verringert allerdings die Genauigkeit. Eine Expansion in positiver Richtung kann so nicht erreicht werden, so dass eine Variable den Wert 1*10 -42, nicht aber den Wert 1*10 42 besitzen kann. Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik