Zahlendarstellung in den Rechnern Z1 und Z3

Präsentation zum Thema: "Zahlendarstellung in den Rechnern Z1 und Z3"—  Präsentation transkript:

1 Zahlendarstellung in den Rechnern Z1 und Z3
Timm Grams Fachhochschule Fulda Fachbereich Elektrotechnik und Informationstechnik © Timm Grams, Fulda, (korrigiert: )

2 Übersicht Zahlendarstellung (22 Bits) Decodierung Codierung
Exponent (Zweierkomplement) Lesen einer Gleitpunktzahl von der Tastatur

3 Zahlendarstellung (22 Bits)
Jede Zahl wird als 22-Bit-Wort dargestellt. Reihenfolge: Vorzeichen, Exponent, Mantisse. Die Mantisse ist 15-stellig. Die führende Eins wird nicht mit abgespeichert. Der Exponent wird im Zweierkomplement dargestellt. Das Schema: v b-1b b-13b-14 a6a5 ... a1a0

4 Decodierung v b-1b-2 ... b-13b-14 a6a5 ... a1a0
 (-1)v (1.b-1b b-13b-14)2 ·2(a6a5 ... a1a0)2 - a6 ·27 Beispiel: Die Decodierung des Bitmusters liefert die Dezimalzahl Das Beispiel wird nun Schritt für Schritt ausgeführt.

5 Decodierung - Beispiel
v b-1b b-13b-14 a6a5 ... a1a0  (-1)v (1.b-1b b-13b-14)2 ·2(a6a5 ... a1a0)2 - a6 ·27  + ( )2 ·2( )2 - 1 ·27 Nebenrechnung: ( )2 - 1 ·27 = = = - 3 Das Ergebnis wird hier eingefügt

6 Decodierung - Beispiel
v b-1b b-13b-14 a6a5 ... a1a0  (-1)v (1.b-1b b-13b-14)2 ·2(a6a5 ... a1a0)2 - a6 ·27  + ( )2 ·2-3 = ( )2 = = (Das Ergebnis)

7 Codierung des Exponenten Zweierkomplement
Der Wertebereich des Exponenten geht von -64 bis 63. Der Bereich der positiven Zahlen geht von  0 bis  63. Der Bereich der negativen Zahlen geht von  = = -64  = = -1.

8 Codierung des Exponenten Zweierkomplement
Positive Zahlen werden unmittelbar in die Dualzahl- darstellung codiert. Zu negativen Zahlen wird erst der Wert 128 addiert. Das Ergebnis wird in die Dualzahldarstellung über- tragen. Jede Zahl mit dem Exponenten -64 wird als Null interpretiert. Und jede Zahl mit dem Exponenten 63 gilt als Unendlich.

9 Codierung Lesen einer Gleitpunktzahl von der Tastatur
Eingegeben wird die Zahl 2998 ·10-1 (Lichtge- schwindigkeit in Meter pro Mikrosekunde). Die Arbeitsschritte: Nacheinander werden die Ziffern der Zahl 2998 übernommen. Gespeichert wird die Ganzzahl in einem der 22-Bit-Register (R1 oder R2). Es wird im Folgenden R genannt. Die Ganzzahl wird in die normalisierte Darstellung überführt. Der Exponent wird berücksichtigt. (Hier geht es um‘s Prinzip. Absolute Detailtreue - insbesondere was die Registerbelegung angeht - ist nicht angestrebt.)

10 Das Ergebnis wird nun hier eingefügt
Eingabe der Zahl 2998 ·10-1 Schritt Register R 2  xxxxxxxx  10 Nebenrechnung: R mit (0010)2 multiplizieren xxxxxxxx R mit (1000)2 multiplizieren xxxxxxxx Werte addieren xxxxxxxx Das Ergebnis wird nun hier eingefügt

11 Eingabe der Zahl 2998 ·10-1 Schritt Register R
2  xxxxxxxx  10 xxxxxxxx + 9 xxxxxxxx  10 xxxxxxxx + 9 xxxxxxxx  10 xxxxxxxx + 8 xxxxxxxx Normalisierung: Führende 1 „nach links herausschieben“ und dann den Dezimalpunkt um 14 Stellen nach links verrücken liefert die interne Darstellung von 2998 mit dem Exponenten 14-3 = 11 = (1011)2:

12 Eingabe der Zahl 2998 ·10-1 Schritt Register R
2  xxxxxxxx  10 xxxxxxxx + 9 xxxxxxxx  10 xxxxxxxx + 9 xxxxxxxx  10 xxxxxxxx + 8 xxxxxxxx Normalisieren Jetzt steht die Zahl 2998 im Register.

13 Eingabe der Zahl 2998 ·10-1 Schritt Register R
2998   10-1 Nebenrechnung Für die Multiplikation mit 10-1 wird folgende Beziehung genutzt: 10-1 = ( )2  ( )2 = 2-4·(1.1)2·(1.0001)2·( )2 = 2-4 ·(1+2-1) ·(1+2-4) ·(1+2-8) Die Multiplikation mit 10-1 läuft also darauf hinaus, den Registerin-halt nacheinander mit 2-4, 1+2-1, und zu multiplizieren.

14 Eingabe der Zahl 2998 ·10-1 Schritt Register R
2998   10-1 Dieses Programm wird nun ausgeführt   (1+2-1) Mantisse  1 ( )2 Mantisse  2-1 ( )2 Mantisse  (1+2-1) ( )2 Mantisse normalisieren 21·( )2 Ergebnis in die Zahlendarstellung übernehmen

15 Das Ergebnis wird hier eingefügt
Eingabe der Zahl 2998 ·10-1 Schritt Register R 2998   10-1 Dieses Programm wird nun ausgeführt   (1+2-1)  (1+2-4)  (1+2-8) Das Ergebnis wird hier eingefügt

16 Eingabe der Zahl 2998 ·10-1 Schritt Register R
2998   Jetzt steht die Zahl im Register R. Das ist - zumindest näherungsweise - das gewünschte Resultat.

17 Zahlendarstellung in den Rechnern Z1 und Z3
Ende der Demonstration