§11 Skalarprodukt. Euklidische Räume

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1 §11 Skalarprodukt. Euklidische Räume
Zur Geometrie gehören unbedingt auch Längen und Winkel. In einem sehr abstrakten Sinne werden diese Größen durch ein Skalarprodukt auf eine Vektorraum beschrieben. Beispielsweise: (11.1) Definition: Das euklidische Standard-Skalarprodukt auf dem Vektorraum Rn ist die Abbildung für Spaltenvektoren x und y aus Rn mit den Komponenten xk bzw. yk, k = 1,2, ... n . Dieses Skalarprodukt bestimmt die Länge oder Norm von Vektoren x aus Rn durch 1o

2 Kapitel II, §11 x1 x2 x = (x1,x2)T Abbildung: Die Norm eines Vektors x in R2 oder eines Vektors x = x1v + x2w für Vektoren v,w aus dem Grundraum (Rn bzw. V mit euklidischem Skalarprodukt, vgl. 11.3). 2o Die Distanz zwischen Punkten P und Q aus Rn ist d(P,Q) = Das Skalarprodukt bestimmt auch den Winkel zwischen Vektoren x und y : Beginnen wir mit y = (1,0)T und mit einem weiteren Vektor x der Länge 1 in R2 : Ein solcher Vektor hat die Form

3 Kapitel II, §11 x = (x1,x2)T mit . Es gilt also: .
Im Falle von und , also eine Drehung der Konfiguration um den Winkel Das Additionstheorem des Cosinus liefert nun:

4 Kapitel II, §11 In beiden Fällen lässt sich aus
zurückgewinnen (bestimmen). Das gilt auch für Vektoren beliebiger Länge, wenn die Länge berücksichtigt wird. Daher kommen wir zur Definition: 3o Der Winkel zwischen zwei Vektoren x und y aus V\{0} ist durch die Formel definiert. Beachte (Beweis in 11.6). (Die Funktion cos hat auf dem Intervall eine Umkehrfunktion, cos–1 wie in der Analysisvorlesung in Kürze gezeigt werden wird).

5 Kapitel II, §11 (11.2) Definition: Ein Skalarprodukt auf einem Vektorraum V über R ist eine Abbildung mit den folgenden Eigenschaften: 1o σ ist bilinear, das heißt für alle r,s aus R und für alle x,y,v,w aus V gilt: σ(rx + sy,v) = rσ(x,v) + sσ(y,v) σ(x,rv + sw) = rσ(x,v) + sσ(x,w) . 2o σ ist symmetrisch, das heißt für x,y aus V gilt stets σ(x,y) = σ(y,x) . 3o Es gibt eine Zerlegung V = V+ + V- in Untervektorräume V+ und V- von V mit σ(x,x) > 0 für x aus V+\{0} und σ(y,y) < 0 für y aus V-\{0}.

6 Kapitel II, §11 (11.3) Beispiele:
1o V = Rn. Das übliche euklidische Skalarprodukt: für Spaltenvektoren x und y mit den Komponenten xk bzw. yk . 2o V = R4 . Das übliche Minkowski-Skalarprodukt: (11.4) Definition: Das Skalarprodukt heißt euklidisch, wenn V+ = V und V- = {0} gilt, also wenn σ(x,x) > 0 für x aus V\{0}. Ein Vektorraum über R zusammen mit einem euklidischen Skalarprodukt heißt euklidischer Vektorraum. (11.3) Beispiel: 3o Der Vektorraum = {x aus F: x ist quadratsummierbar} mit ist ein euklidischer Vektorraum.

7 Kapitel II, §11 In einem euklidischen Vektorraum V sind Norm bzw. Länge von Vektoren, Winkel zwischen Vektoren und Distanz zwischen Punkten genau wie in o-3o definiert. (11.5) Lemma: Sei V ein euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt σ ( ) und der zugehörigen Norm Die Norm erfüllt dann die folgenden Eigenschaften. Für alle x,y aus V und alle r aus R gilt: 1o 2o 3o (Dreiecksungleichung) (11.6) Ungleichungen von Cauchy-Schwarz: Sei V ein euklidi-scher Vektorraum mit Skalarprodukt Dann gilt für x,y aus V:

8 Kapitel II,§11 Beweis: Ohne Einschränkung der Allgemeinheit sei die Norm von y gleich 1 . Setze Es gilt dann und daraus folgt die Behauptung. (11.7) Definition: Unter einem euklidischen affinen Raum oder einfach einem euklidischen Raum verstehen wir einen affinen Raum (A,T,t) zusammen mit einem euklidischen Skalarprodukt auf dem R-Vektorraum T .