Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 17.11.2006 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 17.11.2006 Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)

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1 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 17.11.2006 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 17.11.2006 Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 1603 (Hörsaal) Universität Kassel (UNIK) FB 16 Elektrotechnik / Informatik FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG) FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET) Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115 D-34121 Kassel Dr.-Ing. René Marklein E-Mail: marklein@uni-kassel.demarklein@uni-kassel.de Tel.: 0561 804 6426; Fax: 0561 804 6489 URL: http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.tet.e-technik.uni-kassel.de URL: http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.htmlhttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

2 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 17.11.2006 2 2.4.4 Quellen-Ersatzzweipole 2.4.4.1 Die Ersatzspannungsquelle Beliebiges lineares Netzwerk irgendwo aufgetrennt: ( 2.54 ) Bild 2.36. Linearer Zweipol (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 57, 2005]) Bild 2.37. Die Klemmenspannung an einem linearer Quellenzweig (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 57, 2005]) Linearer Zweipol möglicher Last- widerstand Da das Netzwerk linear ist, muss gelten: Leerlauf Entspricht: Klemmen A-B offen! Kurzschluss Entsprcht: Klemmen a-b kurzgeschlossen!

3 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 17.11.2006 3 2.4.4 Quellen-Ersatzzweipole 2.4.4.1 Die Ersatzspannungsquelle Beliebiges lineares Netzwerk irgendwo aufgetrennt: Da Netzwerk linear, muss gelten: ( 2.54 ) Leerlaufversuch: ergibt Kurzschlussversuch: ergibt Eingesetzt in Gl. (2.54): Bild 2.36. Linearer Zweipol (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 57, 2005]) Zusammengesetzt ergibt das für Gl. (2.54): d.h. für den Innenwiderstand: Eingesetzt in Gl. (2.54): Linearer Zweipol möglicher Last- widerstand ( 2.55 ) ( 2.56 ) ( 2.57 ) Leerlauf Entspricht: Klemmen A-B offen! Kurzschluss Entsprcht: Klemmen a-b kurzgeschlossen!

4 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 17.11.2006 4 2.4.4.1 Die Ersatzspannungsquelle Der Zusammenhang kann durch die Schaltung beschrieben werden – unabhängig davon, wie der ursprüngliche Zweipol im Innern aufgebaut ist, solange er linear ist! Bild 2.38. Ersatzspannungsquelle für einen beliebigen linearen Zweipol mit der Leerlaufspannung U 1 und dem Kurzschlussstrom I K (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 57, 2005]) Vorgehensweise zur Bestimmung der Ersatzspannungsquelle nach Helmholtz/Thévenin: Bestimme die Leerlaufspannung U L Bestimme den Kurzschlussstrom I K Bestimme den Innenwiderstand über den Quotient Leerlaufspannung zu Kurzschlussstrom:

5 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 17.11.2006 5 Beispiel 2.15: Berechnung von Leerlaufspannung und Innenwiderstand einer Ersatzspannungsquelle Bestimmung der Leerlaufspannung: Lösung: Bild 2.39. Linearer Zweipol (Spannungsteiler) (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 58, 2005]) Gegeben: Linearer Zweipol (Spannungsteiler) nach Bild 2.39. Gesucht: Ersatzspannungsquelle? Spannungsteiler (unbelastet): (2.59) Leerlaufspannung

6 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 17.11.2006 6 Beispiel 2.15: Berechnung von Leerlaufspannung und Innenwiderstand einer Ersatzspannungsquelle Bestimmung des Kurzschlussstromes Kurzschlussstrom: (2.58) Kurzschluss Kurzschluss über dem Widerstand R 2 Widerstand R 2 kann heraus- genommen werden! Bestimmung des Innenwiderstandes Innenwiderstand (2.60)

7 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 17.11.2006 7 Beispiel 2.15: Berechnung von Leerlaufspannung und Innenwiderstand einer Ersatzspannungsquelle Kurzschlussstrom: Innenwiderstand Lösung: Bild 2.39. Linearer Zweipol (Spannungsteiler) (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 58, 2005]) Bild 2.40. Ersatzspannungsquelle eines Spannungsteilers (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 59, 2005]) (2.58) (2.60) Ersatzspannungsquelle: Gegeben: Linearer Zweipol (Spannungsteiler) nach Bild 2.39. Gesucht: Ersatzspannungsquelle? (2.59) Leerlaufspannung:

8 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 17.11.2006 8 2.4.4.2 Die Ersatzstromquelle Bei der Spannungsquelle galt nach Gl. (2.47): Aus der Gl. (2.44) für ihre Klemmenspannung wird damit Bild 2.41a. Ersatzspannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 59, 2005]) Bild 2.41b. Abhängigkeit des Klemmenstromes I von der Klemmenspannung I bei einer linearen Stromquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 59, 2005]) (2.61) (2.62) (2.44) (2.47) Leerlauf Entspricht: Klemmen A-B offen! Kurzschluss Entspricht: Klemmen a-b kurzgeschlossen!

9 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 17.11.2006 9 Beispiel 2.16: Berechnung des Quellenstromes und Innenwiderstandes einer Ersatzstromquelle analog Beispiel 2.15 Lösung: Kurzschlussfall Leerlaufspannung Innenwiderstand Bild 2.42. Ersatzstromquelle für einen Spannungsteiler (Bild 2.39) (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 60, 2005]) Ersatzstromquelle Bild 2.39. Linearer Zweipol (Spannungsteiler) (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 58, 2005]) Gegeben: Linearer Zweipol (Spannungsteiler) nach Bild 2.39. Gesucht: Ersatzstromquelle?

10 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 17.11.2006 10 Bestimmung des Innenwiderstands allgemein: Innenwiderstand R I lässt sich wie folgt aus der Ursprungsschaltung berechnen: Alle inneren Spannungsquellen kurzschließen (kurzgeschlossener Zweig) Alle inneren Stromquellen öffnen (offener Zweig) Widerstand des resultierenden (inneren) Netzwerkes ermitteln = Innenwiderstand!

11 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 17.11.2006 11 Bestimmung des Innenwiderstands allgemein: Innenwiderstand R I lässt sich wie folgt aus der Ursprungsschaltung berechnen: Alle inneren Spannungsquellen kurzschließen (kurzgeschlossener Zweig) Spannungs- quelle kurz- schließen Stromquelle öffnen Alle inneren Stromquellen öffnen (offener Zweig) Widerstand des resultierenden (inneren) Netzwerkes ermitteln = Innenwiderstand!

12 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 17.11.2006 12 Bestimmung des Innenwiderstands allgemein: Innenwiderstand R I lässt sich wie folgt aus der Ursprungsschaltung berechnen: Widerstand des resultierenden (inneren) Netzwerkes ermitteln = Innenwiderstand! Dies ist der resultierende Innenleitwert oder Innenwiderstand, den man von außen von den beiden Klemmen sieht, d.h. durch Strom- und Spannungsmessung bestimmen würde.

13 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 17.11.2006 13 Bestimmung des Innenwiderstands allgemein: Strom und Spannung am Zweipol ohne innere Energiequelle werden durch den Innenwiderstand bestimmt; dieser lässt sich also aus dem Ersatzwiderstand des Zweipols, wie von außen von den beiden Klemmen gesehen, berechnen) Dies lässt sich erklären durch Verallgemeinerung des Falles Keine Quelle:

14 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 17.11.2006 14 Beispiel 2.17: Parallelschaltung von drei Spannungsquellen Gesucht: Bild 2.43. Parallelschaltung dreier Spannungsquellen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 61, 2005]) Gesucht: Gegeben ist die nebenstehende Parallelschaltung. Spannung an dem Klemmenpaar N und M :

15 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 17.11.2006 15 Beispiel 2.17: Parallelschaltung von drei Spannungsquellen Lösung: Kurzschlussstrom Kurzschluss Bild 2.44. Ersatzstromquelle zum Zweipol in Bild 2.43 (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 61, 2005]) Ersatzstromquelle

16 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 17.11.2006 16 (2.64) Beispiel 2.17: Parallelschaltung von drei Spannungsquellen Mit für die Klemmenspannung: Lösung: Kurzschlussstrom Bild 2.44. Ersatzstromquelle zum Zweipol in Bild 2.43 (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 61, 2005]) Bild 2.45. Zur Bestimmung des Innenwiderstandes eines Zweipols (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 61, 2005]) Innenwiderstand aus Bild 2.44 folgt

17 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 17.11.2006 17 2.4.4.3 Äquivalenz von Zweipolen Beispiel 2.18: Vergleich äquivalenter Zweipole Lösung: Trotz gleicher Leerlaufspannungen und Kurzschlussströme sind alle Schaltungen im Innern vor allem bezüglich der umgesetzten Leistungen ungleich! Leerlauf Kurzschluss Bild 2.46. Vier äquivalente Quellenzweipole (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 66, 2005]) A Zwei parallel geschaltete Spannungsquellen B Spannungsteiler C Ersatz- Spannungsquelle D Ersatz- Stromquelle

18 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 17.11.2006 18 2.4.5 Leistung an Zweipolen 2.4.5.1 Wirkungsgrad Energie-Wirkungsgrad: Leistungs-Wirkungsgrad: Da ist solange bzw. der Quotient der Leistungen zeitlich konstant sind! (2.66) (2.67)

19 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 17.11.2006 19 (2.70) 2.4.5.1 Wirkungsgrad Nutzleistung: Gesamtleistung aus der Quelle Q Also Belastete Spannungsquelle mit Lastwiderstand R : Ausgangsspannung (2.68) (2.69) (2.71)

20 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 17.11.2006 20 Beispiel 2.19: Wirkungsgrade bei Belastung einer Auto-Batterie Spannung: Innenwiderstand Anlassvorgang über 30 s mit Lastwiderstand Danach für 10 min Betrieb mit Betriebswiderstand Lösung: Leistungswirkungsgrad beim Anlassen und im Betrieb Spannungsquelle (Auto-Batterie): Belastungszustände

21 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 17.11.2006 21 Beispiel 2.19: Wirkungsgrade bei Belastung einer Auto-Batterie Energiebeträge im Betrieb Energiewirkungsgrad im gesamten Zyklus Energiebeträge beim Anlassen

22 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 17.11.2006 22 Beispiel 2.20: Leistungs-Wirkungsgrad einer Taschenlampe Glühlampe mit Nenndaten ( N ): Zwei Kohle-Zink Batterien in Serie mit je Gegeben: Gesucht: a) Welchen Leistungs-Wirkungsgrad hat die Schaltung? b) Es stehen vier Batterien (mit ebenfalls je 1,5 V und 1,25 Ω) zur Verfügung. Welche Betriebsspannung U und welchen Betriebswiderstand R (Verbraucher) müsste eine Glühlampe haben, die bei Anschluss an die vier hintereinander geschalteten Batterien ebenfalls 0,5 W aufnehmen soll? Welcher Leistungs-Wirkungsgrad ergibt sich nun?

23 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 17.11.2006 23 Beispiel 2.20: Leistungs-Wirkungsgrad einer Taschenlampe Mit der Abkürzung wird daraus Zuerst Leistungswirkungsgrad Lösung: a) Widerstand der Glühlampe b) Dimensionierung einer Lampe mit für Betrieb an 4 Batterien: Widerstand R der neuen Lampe?

24 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 17.11.2006 24 Beispiel 2.20: Leistungs-Wirkungsgrad einer Taschenlampe Damit folgende die beiden Wirkungsgrade: Auflösung der quadratischen Gleichung liefert Mit (quasi Kurzschluss) (sehr schlechter Wirkungsgrad) Betriebsspannung

25 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 17.11.2006 25 (2.73) 2.4.5.2 Leistungsanpassung Leerlauf Kurzschluss Die gesamte Leistung wird im Innenwiderstand der Quelle umgesetzt! Wir suchen Verhältnis bei dem Leistung am Verbraucher maximal wird: Allgemein gilt für die umgesetzte Leistung am Lastwiderstand R : Bild 2.48. Verbraucherleistung in Abhängigkeit vom Widerstandsverhältnis (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 67, 2005]) (2.72)

26 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 17.11.2006 26 Leistungsanpassung 2.4.5.2 Leistungsanpassung Weitere Hilfsgröße ist Leistung umgesetzt am R I der Quelle im Kurzschluss (K) ist erfüllt für Analysis – Differenzialrechnung – Quotientenregel: Hier da Extremwert (Maximum) = erste Ableitung Null setzen (2.75) (2.76)

27 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 17.11.2006 27 2.4.5.2 Leistungsanpassung Leistungsanpassung Unter- anpassung Über- anpassung Bild 2.48. Verbraucherleistung in Abhängigkeit vom Widerstandsverhältnis (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 67, 2005]) Spannungs- anpassung Kurzschluss Strom- anpassung Leerlauf

28 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 17.11.2006 28 2.4.5.2 Leistungsanpassung Spannungs-, Leistungs- und Stromanpassung Man unterscheidet drei sog. "Anpassungen" von Spannungs- bzw. Stromquelle und Verbraucher: Spannungsanpassung: Die Spannungsanpassung ist die am häufigsten vorkommende Art des Verhältnisses von Quellenwiderstand R i und Lastwiderstand R a. Die Quelle kommt einer idealen Spannungsquelle ( R i = 0 ) nahe, weil R i << R a (Mindestbedingung: R a = 10 R i ). Die Spannung ist also annähernd konstant und im Allgemeinen von der Last unabhängig. Die Leistung wird praktisch ausschließlich an der Last und nur zu einem sehr geringen Teil am Innenwiderstand umgesetzt. Spannungsanpassung liegt der Energietechnik vor und in der Übertragung von Signalen bei Audiosignalen (Niederfrequenz!) Spannungsanpassung in der Nähe der Leistungsanpassung heißt Überanpassung. Leistungsanpassung: Die Leistungsanpassung ermöglicht es, einer Quelle die maximale Leistung zu entnehmen. Innenwiderstand und Last sind gleich groß: R i = 10 R a. Leistungsanpassung stellt zwar die maximale Leistungsübertragung von der Quelle an die Last sicher, doch wird dieselbe Leistung auch am R i in der Quelle umgesetzt. Das heißt 50 % der Quellenleistung werden an die Last übertragen. Daher findet die Leistungsanpassung vor allem in der Nachrichten- bzw. Hochfrequenztechnik Anwendung. Hier werden die Impedanzen von Quelle und Last leistungsangepasst, um Reflexionen zu vermeiden. Das ist der Grund warum Antennenleitungen (für haushaltsüblichen Rundfunk Impedanz 75 Ω ) nicht mit einer einfachen Klemme parallel geschaltet werden dürfen. Stromanpassung: Die Stromanpassung kommt relativ selten vor. Die Quelle kommt einer idealen Stromquelle ( R i ) nahe, weil R i >> R a (Mindestbedingung: R i = 10 R a ). Der Strom ist also annähernd konstant und im Allgemeinen von der Last unabhängig. Der größte Teil der Leistung wird am Innenwiderstand der Quelle umgesetzt. Stromanpassung wird beim Laden von Akkumulatoren (NiCd, NiMH, aber nicht bei Bleiakkus!) und in der Messtechnik verwendet. Stromanpassung in der Nähe der Leistungsanpassung heißt Unteranpassung.

29 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 17.11.2006 29 Ende der Vorlesung