Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 10.11.2006 Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 0605 (Hörsaal,

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1 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 10.11.2006 Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 0605 (Hörsaal, Menzelstraße/Kunsthochschule) Universität Kassel (UNIK) FB 16 Elektrotechnik / Informatik FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG) FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET) Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115 D-34121 Kassel Dr.-Ing. René Marklein E-Mail: marklein@uni-kassel.demarklein@uni-kassel.de Tel.: 0561 804 6426; Fax: 0561 804 6489 URL: http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.tet.e-technik.uni-kassel.de URL: http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.htmlhttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

2 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 2 Frage: Welche der folgenden Brücken ist NICHT abgeglichen, d.h. I 1 0 ? Abgleichbedingung: a) b) c) d)

3 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 3 Frage: Welche der folgenden Brücken ist NICHT abgeglichen, d.h. I 1 0 ? Abgleichbedingung: a) b) c) d) ist NICHT abgeglichen

4 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 4 2.2.7 Schaltungssymmetrie In Sonderfällen kann man Symmetrieeigenschaften von Netzwerken ausnutzen: Beispiel 2.5:Vereinfachung einer symmetrischen Schaltung Bild 2.18a. Schaltung aus 8 Widerständen Bild 2.18b. Schaltung aus 9 Widerständen Bild 2.18. Drei gleichwertige symmetrische Schaltungen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 41, 2005]) Symmetrische Schaltung Aufgrund der Symmetrie fließt zwischen den Klemmen A und B kein Strom! Deswegen kann man zwischen den Klemmen A und B einen beliebigen Widerstand R AB einfügen. Symmetrie- linie

5 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 5 2.2.7 Schaltungssymmetrie In Sonderfällen kann man Symmetrieeigenschaften von Netzwerken ausnutzen: Aus Schaltung 2.18c lässt sich der Gesamtwiderstand bestimmen! Beispiel 2.5:Vereinfachung einer symmetrischen Schaltung Bild 2.18a. Schaltung aus 8 Widerständen Bild 2.18b. Schaltung aus 9 Widerständen Bild 2.18c. Gruppenschaltung aus 8 Widerständen Bild 2.18. Drei gleichwertige symmetrische Schaltungen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 41, 2005]) Aufgrund der Symmetrie! Aufgrund der Symmetrie!

6 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 6 2.2.7 Schaltungssymmetrie Bild 2.18c. Gruppenschaltung aus 8 Widerständen Parallel- schaltung Parallel- schaltung Reihen- schaltung Reihen- schaltung

7 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 7 2.2.7 Schaltungssymmetrie Reihen- schaltung Parallel- schaltung Parallel- schaltung

8 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 8 2. Berechnung von Strömen und Spannungen in elektrischen Netzen 2.3 Strom- und Spannungsmessung 2.3.1 Anforderungen an Strom- und Spannungsmesser Innenwiderstand des Messgerätes: R M Bild 2.19. Strommessung mit einem Strommesser (umgangssprachlich auch Amperemeter genannt) (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 42, 2005]) Bild 2.19b. Strommessung R M : Innenwiderstand des Messgerätes: R M ist zusätzlich im Messkreis R M verkleinert Strom I R M möglichst niedrig wählen ideales Messgerät Innenwiderstand des Messgerätes ideales Messgerät Innenwiderstand des Messgerätes Strommessung:

9 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 9 2.3.1 Anforderungen an Strom- und Spannungsmesser R i zusätzliche Belastung der Spannungsquelle Bild 2.20. Spannungsmessung mit einem Spannungs- Messer (umgangssprachlich auch Voltmeter genannt) (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 42, 2005]) Innenwiderstand des Messgerätes: R M R i : zusätzlicher Strom R i möglichst hoch wählen mit Bild 2.20b. Spannungsmessung Spannungsmessung: ideales Messgerät Innenwiderstand des Messgerätes ideales Messgerät Innenwiderstand des Messgerätes

10 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 10 2.3.1 Anforderungen an Strom- und Spannungsmesser Der Innenwiderstand des Spannungsmessers, R M, sollte möglichst hoch sein. Spannungen sind hochohmig zu messen. Idealfall: Spannungsmessung: Der Innenwiderstand des Strommessers, R M, sollte möglichst niedrig sein. Ströme sind niederohmig zu messen. Idealfall: ideales Messgerät, widerstandslos Innenwiderstand des Messgerätes Strommessung: ideales Messgerät, widerstandlos Innenwider- Stand des Messgerätes Reales Messgerät incl. Innenwiderstand reales Messgerät mit Innenwider- stand Reales Messgerät mit Innenwiderstand R M reales Messgerät mit Innenwider- stand R M

11 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 11 2.3.1 Anforderungen an Strom- und Spannungsmesser Der Innenwiderstand des Spannungsmessers, R M, sollte möglichst hoch sein. Spannungen sind hochohmig zu messen. Idealfall: Spannungsmessung: Der Innenwiderstand des Strommessers, R M, sollte möglichst niedrig sein. Ströme sind niederohmig zu messen. Idealfall: ideales Messgerät, widerstandslos Innenwiderstand des Messgerätes Strommessung: ideales Messgerät, widerstandlos Innenwider- Stand des Messgerätes Reales Messgerät mit Innenwiderstand R M reales Messgerät mit Innenwider- stand R M

12 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 12 2.3.2 Eigenschaften des Drehspulmesswerks Strom durch Messwerk bei Vollausschlag: I MV Widerstand des Messwerks: R M Aufbau: Zeigerausschlag ist proportional des Messstromes I Messwerk zeigt wegen der Trägheit immer den zeitlichen Mittelwert des Messstromes an Gleichstrommessung; Wechselstrommessung nach vorgeschalteter Gleichrichtung Bild 5.10. Drehspule in radialhomogenen Feld (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 216, 2005]) Skala Feder Magnet Zeiger Anschluss- klemme Spule Mess- strom Mess- strom Analogmultimeter

13 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 13 2.3.2 Eigenschaften des Drehspulmesswerks Strom durch Messwerk bei Vollausschlag: I MV Widerstand des Messwerks: R M Skala Feder Magnet Zeiger Anschlussklemme Spule

14 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 14 Beispiel 2.6: Eigenverbrauch eines Drehspulmesswerks Lösung: Leistungsaufnahme des Messwerks bei Vollausschlag: P MW ? Gegeben: Gesucht: Widerstand des Messwerks: Strom des Messwerks bei Vollausschlag: (Leistungsaufnahme des Messwerks bei Vollausschlag)

15 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 15 2.3.3 Klassengenauigkeit Fehler = Abweichung des angezeigten Stromes vom wahren Strom Klassenzeichen: Anzeigefehler in Prozent vom Vollausschlag Präzisionsinstrumente Klassen 0,1 ( ± 0,1 % ); 0,2; 0,5 Betriebsinstrumente Klassen 1; 1,5; 2,5; 5 (alte analoge Technik!)

16 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 16 Beispiel 2.7: Messgenauigkeit eine Drehspulinstrumentes Klasse 1,5 im Messbereich 300 mA? abgelesen 150 mA, heißt wahrer Wert: Absoluter Fehler: entspricht Abweichung ± 3 % vom Messwert! Maximale Abweichung 1,5 % von 300 mA, also Lösung: abgelesen 50 mA, heißt wahrer Wert: Absoluter Fehler: entspricht Abweichung ± 9 % vom Messwert Absoluter Fehler: entspricht Abweichung ± 100 % vom Messwert, d.h. I = 0 … 9 mA Daher sinnvoll Messbereichsumschaltung in den Stufen 1, 3, 10, 30 … abgelesen 4,5 mA, heißt wahrer Wert Spannungsmessung mit diesem Instrument: Bei Vollausschlag gilt: Beispielsweise:

17 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 17 2.3.4 Messbereichserweiterung 2.3.4.1 Strom-Messbereichserweiterung Strom I bei Vollausschlag: I V Bild 2.21. Parallelschaltung eines Widerstandes zum Messwerk (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 44, 2005]) Stromverhältnis über Stromteiler-Formel: Gesamtstrom über Stromteiler-Formel: Messwerk mit Innenwiderstand R M Parallelgeschalteter Widerstand Vollausschlag: V

18 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 18 Beispiel 2.8: Berechnung eines Parallelwiderstandes zur Strom-Messbereichserweiterung Messwerkwiderstand: Drehspulmesswerk mit Vollausschlagstrom: Messbereichserweiterung: Strommessung bis I V = 1 mA : Bestimme den Messwiderstand R P = ? Lösung: Gleichung oben umformen nach G P : Gegeben: Gesucht: (Messwiderstand)

19 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 19 Beispiel 2.9: Dimensionierung der Widerstände eines Vielfach-Messgerätes zur Strommessung Gesucht: Widerstandswerte die für Messbereiche 100 µA, 300 µA, 1 mA SchalterstellungMessbereich A0…1 mA B0…300 µA C0…100 µA Gegeben: Bild 2.22. Drehspulmesswerk mit drei Strom-Messbereichen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 45, 2005]) Drehspulmesswerk mit Vollausschlagstrom I MV = 50 μA Messwerkwiderstand R M = 900 Ω

20 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 20 Bild 2.22. Drehspulmesswerk mit drei Strom-Messbereichen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 45, 2005]) Beispiel 2.9: Dimensionierung der Widerstände eines Vielfach-Messgerätes zur Strommessung Lösung: Mit Gl. (2.29) im Zähler, proportional zum Strom im Messgerätezweig, steht der Strom im Parallelzweig - Widerstände statt Leitwerte wie in der Stromteilerregel. Anschluss an A, Vollausschlag: Anschluss an B, Vollausschlag: Anschluss an C, Vollausschlag: (2.37a) (2.37b) (2.37c)

21 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 21 Beispiel 2.9: Dimensionierung der Widerstände eines Vielfach-Messgerätes zur Strommessung (2.38a) (2.38b) (2.38c) Addition (2.38a) und (2.38c): Addition von (2.38b) und -5 mal (2.38c): In (2.38c) einsetzen: Jetzt Messwerkwiderstand in die Beziehungen für R 1, R 2 und R 3 einsetzen:

22 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 22 2.3.4.2 Spannungs-Messbereichserweiterung Spannungsteilerregel mit U MV Spannung am Messwerk bei Vollausschlag! (2.39a) Bild 2.23. Reihenschaltung eines Widerstandes zum Messwerk (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 46, 2005]) Beispiel 2.10: Vorwiderstand zur Spannungs-Messbereichserweiterung Mit Gl. (2.39) Gegeben: Drehspulmessgerät mit Vollausschlagstrom I MV = 50 μA, R M = 1 kΩ soll Spannungen bis 100 V messen. Gesucht: R R = ? Lösung: Spannung am Messwerk bei Vollausschlag (2.39b)

23 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 23 Beispiel 2.11: Dimensionierung der Widerstände eines Vielfach-Spannungs-Messgerätes Gegeben: R M = 1 Ω, Vollausschlag bei I MV = 100 μA, Gesucht: R 1, …, R 4 ? Bild 2.24. Drehspulmessgerät mit vier Spannungs-Messbereichen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 47, 2005]) SchalterstellungMessbereich A0 … 100 mV B0 … 1 V C0 … 3 V D0... 10 V

24 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 24 Beispiel 2.11: Dimensionierung der Widerstände eines Vielfach-Spannungs-Messgerätes In Schalterstellung A : Widerstand des Messgerätes In Schalterstellung B : Widerstand des Messgerätes In Schalterstellung C : Widerstand des Messgerätes In Schalterstellung D : Widerstand des Messgerätes Lösung: (Anmerkung: Innenwiderstand für Spannungsmessung viel zu niedrig, real würde man ein höherohmiges Messwerk nehmen)

25 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 25 2.3.5. Messwertkorrektur 2.3.5.1. Spannungsrichtige Messung Stromkorrektur möglich, wenn R i bekannt: 2.3.5.2. Stromrichtige Messung Spannungskorrektur möglich, wenn R i bekannt: Strommesser Spannungsmesser Bild 2.26. Stromrichtige Messung (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 48, 2005]) Strommesser Spannungsmesser Bild 2.25. Spannungsrichtige Messung (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 48, 2005]) Stromkorrektur Spannungskorrektur Maschenregel ergibt: Knotenregel ergibt: Strom durch Spannungsmesser: Spannung am Strommesser: (2.41)

26 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 26 2.3.5. Messwertkorrektur Widerstandsmessung an den oben genannten Schaltungen: Fehler entweder im Strom- oder im Spannungswert geht in berechneten Widerstand ein: wenn, d. h. R 1 sehr viel kleiner als R M, des Spannungsmessers -> dann spannungsrichtige Messung, da Strom durch Spannungsmesser klein zu Messstrom wenn, d. h. R 1 sehr viel größer als R M des Strommessers -> dann stromrichtige Messung, da Strom durch Spannungsmesser in ähnlicher Größenordnung Strommesser Spannungsmesser Bild 2.26. Stromrichtige Messung (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 48, 2005]) Strommesser Spannungsmesser Bild 2.25. Spannungsrichtige Messung (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 48, 2005]) Spannungsrichtige Messung Stromrichtige Messung

27 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 27 2.4. Lineare Zweipole Zweipolbegriff: Schaltung mit zwei Anschlüssen, z. B. A und B, dies kann ein lineares passives Bauelement wie ein Widerstand, eine Spule oder ein Kondensator, oder ein lineares aktives Bauelement wie eine Spannungs- oder Stromquelle sein. WiderstandSpuleKondensator Lineare passive Zweipole Verbraucherzweipol Verbraucherzählpfeilsystem (VZS): Bei Verbrauchern U und I im VZS gleichgerichtet! Lineare aktive Zweipole Erzeugerzweipol Verbraucherzählpfeilsystem (VZS) Bei Quellen U und I im VZS entgegengesetzt! Spannungs- quelle BatterieStrom- quelle

28 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 28 2.4. Lineare Zweipole Zweipolbegriff: Schaltung mit zwei Anschlüssen, z. B. A und B, dies kann auch eine komplexere Schaltung mit nur zwei von außen zugänglichen Anschlüssen, dessen Innenleben nicht bekannt ist, nur ihr lineares Strom- und Spannungsverhalten, I=I(U) oder U=U(I ) muss bekannt sein. Bild 2.27. Zweipol mit 3 Spannungsquellen und 3 Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 51, 2005]) Zweipol

29 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 29 Ende der Vorlesung