Relationen zwischen Mengen

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1 Relationen zwischen Mengen
B

2 Operationen von Mengen
B A B A B M A

3 Produktmengen y 2 x 1 2

4 Funktionsbegriff f A B

5 Funktionsbegriff f A B f A B

6 Pascalsches Dreieck 1 2

7 Horner-Schema 3 -1 2 1 + + + = 9 24 78 x = 3 3 8 26 79 = f(3) •

8 Horner-Schema an an-1 an-2 … a1 a0 + + an•x (an•x+an-1)•x = x an
= f(n) •

9 Komplexe Zahlen imaginäre Achse bj b>0 j 1 reelle Achse

10 Komplexe Zahlen a+jb 3j bj j 1 5 a

11 Komplexe Zahlen z=a+jb bj |z| a

12 konjugiert komplex z Spiegelung an x-Achse z

13 Addition j•Im z=z1+z2 z1 wird um z2 nach oben verschoben z2 z2 z1 Re

14 Scheinleitwert R1 L1 L2 R2 C Y Z

15 Polarkoordinaten Im z=a+jb b r = |z| φ Re a

16 Multiplikation Im φ=φ1+φ2 r = r1• r2 r2 r1 φ2 φ1 Re

17 Wechselstrom reeller Vorgang in Technik Übertragung ins Komplexe
Rechnen im Komplexen reelles Rechenergebnis bilden des Realteils komplexes Ergebnis

18 Reihenschaltung R L C

19 monoton wachsend 1

20 Horner-Schema an an-1 an-2 … a1 a0 + + + + cn-1x0 cn-2x0 c1x0 c0x0 =
•

21 arcsin y = sin x y y = arcsin x π 2 1 1 π 2 π 2 x = arcsin y -1 x x π

22 arccos y = cos x y = arccos x 1 π π 2 π x π 2 -1 -1 x 1

23 arctan y = tan x y = arctan x π 2 π 2 x x π 2 π 2 Asymptote

24 arccot y = cot x y = arccot x Asymptote π π 2 π π 2 x x

25 Exponentialfunktion y = ax y = ax a > 1 0 < a < 1 1 1 x x

26 Logarithmus y = ex y = ln x 1 x 1 x

27 hyperbolius y y cothx coshx 1 sinhx 1 x x tanhx -1

28 Geometrische Interpretation
x2 P x2 x n=2 x1 x1

29 Rechtssysteme e3 e2 e1

30 Skalarprodukt x2 x1

31 Skalarprodukt φ φ

32 Skalarprodukt z γ β α y x

33 Vektorprodukt

34 Physik A P I starrer Körper

35 Spatprodukt

36 Anwendungen

37 Parmeterform y G x

38 Parameterfreie Form y φ G x

39 Lot P

40 parallel und windschief
G1 z y x G2

41 Ebene φ

42 Lot auf Ebene

43 Lot auf Ebene

44 Multiplikation

45 Falksches Schema

46 Unterräume R2

47 Unterräume span{a1} span{a1,a2}=R2 span{a1,a2} a2 a1 a1 a1 dim = 1 a2

48 Mannigfaltigkeit U M r0

49 symmetrische Matrizen

50 Quadriken im R2 y y y x x x

51 Quadriken im R2 y y y x x x

52 Quadriken im R3 z z z x y y y x x

53 Quadriken im R3 z z z c y y y x x x

54 Quadriken im R3 z z z y y x y x x

55 Quadriken im R3 z z c a b c y x x y

56 Quadriken im R3 z z b a c y y a b x x

57 Grenzwert a - ε a + ε Im Reellen a1 a3 a2 a1 ε Im Komplexen a a3 a2
unendlich viele Werte innerhalb a1 ε Im Komplexen a a3 a2

58 einseitiger Grenzwert
P1 1 P x Q1

59 rechtsseitige Polstelle

60 stetige Funktion f(x) + ε f(x) f(x) - ε x0 - δ x0 x0 + δ

61 Unstetige Funktionen 1 1 1 2 1 2 -1

62 Klassifikation von Unstetigkeitsstellen
y x0 x0 a b x

63 Das Differential f(x+dx) Δy dy f(x) x x+dx

64 Umkehrfunktionen y x

65 von Rolle a b

66 Mittelwertsatz Parallel x0

67 Newtonverfahren P(x1,f(x1)) f(x1) y=f(x) x x2 x1

68 Newtonverfahren x1 x1

69 Kurvendiskussion f‘(x) existiert nicht f‘(x1,2)=0 x1 x2 x

70 Kurvendiskussion b β a α x

71 Wendepunkte konvex konkav Tangente f

72 Parameterdarstellung
b a

73 Parameterdarstellung
y y x x λ=1 λ<1 λ>1

74 Tangentenvektor

75 bestimmtes Integral μi μ1 m1 mi xi-1 xi x0=a x1 b=xn 1

76 bestimmtes Integral f f(ξ) a b

77 Hauptsatz f(x)= 1 x 1 2 a b

78 Integrale unbeschränkter Funktionen
1 a c b

79 unbeschränkter Intervalle

80 Flächen zwischen Graphen
f(x)+c f(x) g(x)+c g(x)

81 Flächen von Sektoren y β φ 1 α x y r φ x

82 Volumina von Rotationskörpern
y y y=f(x) xi-1 xi x x h z z

83 Längenberechnung von Kurvenstücken
y t=b t=a γ(t2) Δy γ(t1) x dy dx=Δx Δs ds dx=Δx

84 Oberfläche von Rotationskörpern
y x z

85 Trapezregel y y f(x) f(x) x x α β Geraden

86 Simpsonsche Regel α+β 2 α β

87 Grundbegriffe … 1 8 1 2 1 4

88 Grundbegriffe Funktionenreihen
x x4 1

89 Potenzreihen Konvergenz innerhalb Kreis Im Re r ~ 1 r

90 Sägezahn -π π -π π Original Sägezahn 10-te Partialsumme

91 Gibbs-Phänomen y Die Maxima der Überschwinger bilden Gerade Si(π) N=6
0.179• π 2 N=6 anzunähernde Funktion π 2 N=3 x xN xN+3

92 Rechteckfunktion π

93 Fourierentwicklung π

94 Rechteckfunktion 1 π -1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

95 Rechteckimpuls -a a

96 Beispiel 3 1

97 verschobener Rechteckimpuls
-a+c a+c

98 Satz 3

99 Heaviside Funktion [ a C Konvergenz Halbebene

100 Dämpfung im Bildbereich
f(t) f(t-δ) hδ(t)•f(t-δ) δ t vorne durch 0 ersetzt

101 Rechteckimpuls c a b

102 elektrischer Schwingkreis
u C L

103 Silberne Taschenuhr y Uhr Faden ist jeweils tangential zur Bahnkurve
Faden nach oben gezogen straffer Faden a x Uhr

104 Geometrische Interpolation
y1 a 1 x0 x0+h y2 y1

105 Wechselspannung S R u(t) L

106 Beispiel 2 j•Im Re

107 mechanisches Schwingungssystem
r k m R Masse ωt Feder Dämpfer

108 Transformatorschaltung
i1 i2

109 System von gewöhnlichen DGL
i1(t) i2(t) t