Pareto, Zipf, Mandelbrot: Selbstähnlichkeit in Natur und Gesellschaft

Präsentation zum Thema: "Pareto, Zipf, Mandelbrot: Selbstähnlichkeit in Natur und Gesellschaft"—  Präsentation transkript:

1 Pareto, Zipf, Mandelbrot: Selbstähnlichkeit in Natur und Gesellschaft
1924-

2 Literatur Vilfredo Pareto: Cours d’Economie Politique (Genf, 1896)
George Kingsley Zipf: Human Behavior and the Principle of Least Effort (Reading, MA, 1949) Benoit B. Mandelbrot: The Fractal Geometry of Nature (New York, 1977) Mark E.J. Newman: Power laws, Pareto distributions and Zipf’s law Contemporary Physics 46 (2005)

3 Häufigkeitsverteilungen I
Körpergröße Geschwindigkeit von Autos M.E.J. Newman (2005)

4 Die Normalverteilung Carl Friedrich Gauß,

5 Häufigkeitsverteilungen II
Städte mit mehr als Einwohnern nach: Auerbach (1913); Lotka (1925); Zipf (1949)

6 → Gerade mit Steigung -(α+1)
Potenzgesetze Häufigkeit von “Ereignissen” der Größe X: Doppellogarithmische Auftragung: → Gerade mit Steigung -(α+1) Kumulative Verteilung:

7 Zipf-Plot Ordne N Ereignisse X1,…,XN ihrer Größe nach:
Trage dann Xr gegen den Rang r auf, so gilt für große N Für die Größenverteilung von Städten ist der Exponent

8 Zipf’sches Gesetz für Worthäufigkeiten
aus: Per Bak, How Nature Works (New York, 1996)

9 Pareto-Verteilung von grossen Vermögen
Forbes 400, nach Klass et al. (2007)

10 Verteilung von Einkommen
Chatterjee et al., 2007

11 Große und kleine Einkommen
A.C. Silva, V.M. Yakovenko 2005

12 aus: Capital 26/2007

13 Was haben Potenzgesetze
mit Selbstähnlichkeit zu tun? aus: Capital 26/2007

14 Selbstähnlichkeit und Skaleninvarianz
Bei einer Potenzverteilung sind relative Häufigkeiten unabhängig vom Maßstab (=skaleninvariant): für jedes X, b Die Potenzverteilung ist die einzige Funktion mit dieser Eigenschaft Skaleninvarianz als (statistische) Symmetrie komplexer Systeme

15 Gutenberg-Richter Gesetz für Erdbeben
B. Gutenberg, R.F. Richter 1944 Richter-Skala: E: freigesetzte Energie E0=63 kJ

16 Aussterben biologischer Arten
Aussterbeereignisse für Familien mariner Spezies M.E.J. Newman & R.G. Palmer (1999), nach J.J. Sepkoski Jr. (1993)

17 Häufigkeitsverteilung der Aussterbeereignisse
M.E.J. Newman & R.G. Palmer (1999), nach J.J. Sepkoski Jr. (1993)

18 Zahl von Kriegsopfern L.F. Richardson (1960); N.F. Johnson et al. (2006)

19 1/f-Rauschen Frequenzspektrum der Spannungsschwankungen
in einem Widerstand: M.A. Caloyannides (1974)

20 1/f-Rauschen in der Musik
„Music mimics the way the world changes in time.“ (R.F. Voss)

21 Geometrische Skaleninvarianz/Fraktale Geometrie
“Wolken sind keine Kugeln, Berge keine Kegel, Küsten- linien keine Kreise. Die Rinde ist nicht glatt – und auch der Blitz bahnt sich seinen Weg nicht gerade.” Benoit B. Mandelbrot

22 How long is the coast of Britain?
B. B. Mandelbrot, 1967 Maßstabsabhängige Länge: fraktale Dimension

23 Deterministische Fraktale
“Vicsek-Schneeflocke” Dimension:

24 Statistische Skaleninvarianz
Simulation der ballistischen Abscheidung unter schrägem Einfall JK, P. Meakin (1989)

25 Diffusion-limited aggregation (DLA)
T.A. Witten, L.M. Sander 1981

26 Statistische Skaleninvarianz von DLA
P. Meakin, Fractals, scaling and growth far from equilibrium

27 Selbstähnlichkeit in der Geologie
Aus: D. Sornette, Critical Phenomena in Natural Sciences (2000)

28 Selbstähnlichkeit in der Geologie
Aus: D. Sornette, Critical Phenomena in Natural Sciences (2000)

29 Further progress in this field depends upon establishing a more
substantial theoretical base in which geometrical form is deduced from the mechanisms that produce it…Without that underpinning much of the work on fractals seems somewhat superficial and even slightly pointless. Physics Today 1986

30 Exploring the consequences of self-similarity
was proving full of extraordinary surprises, helping me to understand the fabric of Nature. By contrast, the muddled discussion of the causes of scaling had few charms.

31 Der kritische Punkt T. Andrews: “On the continuity of the
gaseous and liquid states of matter” Proc. Roy. Soc. (1869)

32 Skaleninvarianz nur am kritischen Punkt
T < Tc T = Tc T > Tc aus: H.W. Diehl, Essener Unikate 1999

33 Skaleninvarianz am kritischen Punkt
Kenneth G. Wilson: Nobelpreis 1982 “for his theory of critical phenomena in connection with phase transitions”

34 Self-organized criticality

35 Self-organized criticality
Per Bak ( )

36 Das Sandhaufen-Modell
Elaine Wiesenfeld

37 Das Sandhaufen-Modell
Klötzchen rutscht abwärts wenn Höhendifferenz > 1 Dadurch können weitere Klötzchen instabil werden → es entsteht eine Lawine

38 Das Sandhaufen-Modell
Lawinenverteilung ist ein Potenzgesetz

39 Experimente mit Langkornreis
Frette et al., Nature 379, 49 (1996)

40 Schlusswort „The sandpile theory – self-organized
criticality – is irresistible as a metaphor.” Al Gore, Earth in the Balance (1992)