Mathematik Q1 -Stochastik. Die Immunschwächekrankheit AIDS wird durch das HI-Virus, welches 1993 entdeckt wurde, verursacht. Die Krankheit gilt bis heute.

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1 Mathematik Q1 -Stochastik

2 Die Immunschwächekrankheit AIDS wird durch das HI-Virus, welches 1993 entdeckt wurde, verursacht. Die Krankheit gilt bis heute als nicht heilbar, kann jedoch „verlangsamend“ behandelt werden. Ein HIV-Test weist die Antikörper, die nach etwa 6 Wochen nach der Ansteckung vom Körper gegen den Virus gebildet werden, nach.

3  Etwa 0,1 % einer Bevölkerung im reproduktionsfähigen Alter sei HIV infiziert.  Ein HIV-Test zeige bei 98 % der Infizierten richtig an, dass eine HIV-Infektion vorliege;  allerdings zeige dieser Test auch fälschlicherweise bei 1 % der Nicht-Infizierten das angebliche Vorliegen dieser Infektion an.  Bei einer „Reihenuntersuchung“ unterziehen sich 100.000 Personen aus der oben genannten Bevölkerungsgruppe diesem Test.

4  Welche falschen Diagnosen können aus dem Ergebnis eines solchen Tests resultieren?  Ein Infizierter wird durch diesen Test nicht erfasst.  Ein NICHT-Infizierter wird fälschlicherweise als infektiös eingestuft.

5  Beurteilung der Test-Güte auf Grundlage der Bestimmung von (u. a.)...  der Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des 1. Fehlers (Infizierter wird negativ getestet)  der Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des 2. Fehlers (Nicht-Infizierter wird fälschlicherweise als positiv getestet)

6  Übersichtliche Darstellung der verfügbaren Daten/Zahlen in einer sogenannten Mehrfeldertafel  „Rekonstruktion“ von fehlenden Zahlen aus dem Zusammenhang  Bestimmung der gesuchten Wahrscheinlichkeiten

7 infiziertNICHT-infiziertGesamt Test positiv Test negativ Gesamt100.000 Absolute Zahlen für 100.000 untersuchte Personen

8 infiziertNICHT-infiziertGesamt Test positiv Test negativ Gesamt 0,1 % von 100.000 = 100 100.000 Absolute Zahlen für 100.000 untersuchte Personen

9 infiziertNICHT-infiziertGesamt Test positiv 98 % von 100 = 98 Test negativ Gesamt 0,1 % von 100.000 = 100 100.000 Absolute Zahlen für 100.000 untersuchte Personen

10 infiziertNICHT-infiziertGesamt Test positiv98 Test negativ2 Gesamt10099.900100.000 Absolute Zahlen für 100.000 untersuchte Personen

11 infiziertNICHT-infiziertGesamt Test positiv98 1 % von 99.900 = 999 Test negativ2 Gesamt10099.900100.000 Absolute Zahlen für 100.000 untersuchte Personen

12 infiziertNICHT-infiziertGesamt Test positiv98 1 % von 99.900 = 999 98 + 999 = 1097 Test negativ2 99.900 – 999 = 98.901 2 + 98.901 = 98.903 Gesamt10099.900100.000 Absolute Zahlen für 100.000 untersuchte Personen

13 infiziertNICHT-infiziertGesamt Test positiv989991097 Test negativ298.90198.903 Gesamt10099.900100.000 Absolute Zahlen für 100.000 untersuchte Personen

14 Relative Zahlen für 100.000 untersuchte Personen infiziertNICHT-infiziertGesamt Test positiv Test negativ Gesamt

15 Relative Zahlen für 100.000 untersuchte Personen infiziertNICHT-infiziertGesamt Test positiv 98 100.000 999 100.000 1097 100.000 Test negativ 2 100.000 98901 100.000 98903 100.000 Gesamt 100 100.000 99900 100.000

16 Relative Zahlen für 100.000 untersuchte Personen infiziertNICHT-infiziertGesamt Test positiv0,000980.009990,01097 Test negativ0,000020,989010,98903 Gesamt0,0010,9991

17  J = Person ist infiziert.  J = Person ist nicht infiziert.  T = Test zeigt, an dass Person infiziert.  T = Test zeigt an, dass Person nicht infiziert.

18 Aus der Gesamtheit aller untersuchten Personen wird zufällig eine Person ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Person infiziert? Lösung: P(J) = Anz. Infizierte / Anz. Untersuchte = 100 / 100.000 = 0.001 bzw. 0,1 %

19 Aus der Gesamtheit aller untersuchten Personen wird zufällig eine Person ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Test dieser Person negativ? Lösung: P( T )= Anz. negativ Getesteter Anz. Untersuchte = 98903 / 100.000 = 0,98903 bzw. 98,903 %

20 Zurück zum Ausgangsproblem (1): Ein Infizierter wird durch diesen Test nicht erfasst, d. h. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Test eines Infizierten negativ? Wir schreiben: P J (T) Und meinen damit: die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Test negativ (T) ist, unter der Bedingung, dass die Person infiziert (J) ist.

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22 Zurück zum Ausgangsproblem (2): Ein NICHT-Infizierter wird fälschlicherweise als infektiös eingestuft, d. h. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Test eines NICHT-Infizierten positiv? Wir schreiben: P J (T) Und meinen damit: die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Test positiv (T) ist, unter der Bedingung, dass die Person NICHT infiziert (J) ist.

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25 1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Person infiziert, unter der Bedingung, dass der Test negativ war? 2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Person wirklich infiziert, wenn der Test positiv war? 3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt überhaupt ein positives Testergebnis vor?

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29 Hausarbeit: Aufgaben 1 – 3) des AB 005 a) als Klapptest bearbeiten