Kapitel 10: Raumgruppen 10.1 Kristallographische Gruppen

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1 Kapitel 10: Raumgruppen 10.1 Kristallographische Gruppen
(eine detaillierte Vorstellung kann und soll nicht Thema einer „Einführung in die Kristallographie“ sein) 10.3 Ebenengruppen 10.4 Bandgruppen

2 Kristallographische Hierarchien
Es gibt: 7 Kristallsysteme 14 Bravais-Gitter 32 Punktgruppen (Kristallklassen) mit 47 einfachen Kristallformen 230 Raumgruppen 122 AS-Punktgruppen (58 AS + 32 graue+32 einfarb.) 1651 AS-Schubnikov-Gruppen (AS: Antisymmetrie)

3 Symmetriegruppen Im zweidimensionalen Fall gibt es:
4 Kristallsysteme (Parallelogramm, Rechteck, Quadrat, Rhombus) 5 Gitter 10 Punktgruppen 17 ebene Raumgruppen Im vierdimensionalen Fall gibt es: 64 Bravais-Gitter 227 Punktgruppen 4783 Raumgruppen

4 Raumgruppen Definition
Die Gesamtheit aller Symmetrieoperationen in einem Gitter (oder einer Kristallstruktur) nennt man Raumgruppe. Eine Raumgruppe ist eine Gruppe von Symmetrieoperationen unter Einschluß der Gittertranslationen. Raumgruppensymbol: Bravais-Gitterzentrierung + erzeugende Symmetrieelemente z.B. I 41/amd

5 Raumgruppen Eigenschaften: Zähligkeit
allgemeine Punktlage, spezielle Punktlage asymmetrische Einheit Ableitung der zugehörigen Punktgruppe aus dem Symbol Im zweidimensionalen Fall: Ebenengruppen Bandgruppe Die detaillierte Behandlung der Raumgruppen kann nicht Gegenstand dieser einführenden Lehrveranstaltung sein. Als zweidimensionales Analogon werden die 17 Ebenengruppen kurz vorgestellt.

6 Ebenengruppen Im zweidimensionalen Fall gibt es:
4 Kristallsysteme mit : - Parallelogramm (engl.: oblique) - Rechteck (rectangular) - Quadrat (square) - Rhombus (triequiangular, hexagonal) als Elementarmasche 5 Gitter: - 4 primitive + zentriertes Rechteckgitter 10 Punktgruppen 17 ebene Raumgruppen Zahlreiche Beispielgraphiken sind dem „Escher Web Sketch“ entnommen (Autoren: Wes Hardaker und Gervais Chapuis, Univ. Lausanne, www-sphys.unil.ch\escher)

7 Ebenengruppen Parallelogramm p 1

8 Parallelogramm p 2 Ebenengruppen

9 Parallelogramm Ebenengruppen Punktgruppe Ebene Raumgruppe 1 p 1 2 p 2

10 Ebenengruppen Rechteck p m

11 Ebenengruppen Rechteck p g Asymm. Einheit

12 Ebenengruppen Rechteck c m

13 Ebenengruppen Rechteck p 2mm

14 Ebenengruppen Rechteck c 2mm

15 Ebenengruppen Rechteck p 2mg Koordinaten äquivalenter Punktlagen:
4 Elementar- maschen Koordinaten äquivalenter Punktlagen: 1 x,y -x,-y ½+x,-y ½-x,y m ¼,y ¾,-y 2 2 0, ½ ½, ½ 2 2 0,0 ½, 0 Zähligkeit spezielle Lage Koordinaten

16 Ebenengruppen Rechteckgruppen m p 1m1 m p 1g1 m c 1m1 2mm p 2mm 2mm
p 2mg 2mm p 2gg 2mm c 2mm

17 Ebenengruppen Quadrat p 4

18 Ebenengruppen Quadrat p 4mm

19 Quadrat Ebenengruppen p 4gm

20 Ebenengruppen Square 4 p 4 4mm p 4mm 4mm p 4gm

21 Ebenengruppen Rhombus (hexagonal, triequiangular) p 3 AE

22 Ebenengruppen Rhombus p 3m1

23 Ebenengruppen Rhombus p 31m

24 Ebenengruppen Rhombus p 6

25 Ebenengruppen Rhombus p 6mm +

26 Ebenengruppen Hexagonal 3 p 3 3m p 3m1 3m p 31m 6 p 6 6mm p 6mm +

27 Raumgruppen Auflistung aller Raumgruppen in den Internationalen Tabellen Beispiel: I 41/amd

28 Bandgruppen

29 Bandgruppen

30 Übung 10 Nennen Sie Kristallsystem, Bravais-Gitter, Kristallklasse und Zähligkeit der allgemeinen Punktlage zu folgenden Raumgruppen: C 2/c Fddd I 422 A bm2 P 312 R 3c P 63cm F d-3c Analysieren Sie Tapetenmuster, Ornamente, Modedrucke und Fliesenmuster hinsichtlich ihrer Zugehörigkeit zu einer der 17 Ebenengruppen !