Kompendium der diskreten Mathematik Bernd Baumgarten ISBN: 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen Abbildungsübersicht.

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1 Kompendium der diskreten Mathematik Bernd Baumgarten ISBN: 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen Abbildungsübersicht / List of Figures Tabellenübersicht / List of Tables

2 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 2 Abb. 2.1: Ein Mengendiagramm

3 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 3 Abb. 2.2: A ⊆ B

4 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 4 Abb. 2.3: Durchschnitt und Vereinigung

5 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 5 Abb. 2.4: Mengendifferenz

6 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 6 Abb. 2.5: Relatives Komplement

7 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 7 Abb. 3.1: Zwei Relationen mit unterschiedlichen Eigenschaften

8 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 8 Abb. 3.2: Vier Relationen mit je einer ausgewählten Eigenschaft

9 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 9 Tab. 3.1: Tabellarische Darstellung der beiden Relationen aus Abb. 3.1

10 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 10 Abb. 3.3: Zwei Relationen auf den reellen Zahlen 27 : R 1 (x, y) : ⇔ y = x / 2 (links) und R 2 (x, y) : ⇔ x 2 + y 2 ≤ 1 (rechts)

11 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 11 Abb. 3.4: Eine Abbildung f : A B

12 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 12 Abb. 3.5: Eine Relation R und exemplarische Teilmengen von A bzw. B

13 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 13 Abb. 3.6: Eine Äquivalenzrelation

14 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 14 Abb. 3.7: Eine Kongruenz R bezu ̈ glich ƒ und die Klassenabbildung ƒ / R von ƒ bezu ̈ glich der Kongruenz

15 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 15 Abb. 3.8: Eine Halbordnung als Pfeil- und als Hasse-Diagramm

16 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 16 Abb. 3.9: Eine Halbordnung zur Illustration besonderer Elemente

17 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 17 Abb. 3.10 : Verbände mit 1, 2, 3 und 4 Elementen

18 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 18 Abb. 3.11: Eine Relation (links) und ihr Inverses (rechts)

19 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 19 Abb. 3.12: Die Verkettung QR (gestrichelt) zweier Relationen (jeweils durchgezogen)

20 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 20 Abb. 3.13: Ein Zyklus als Produkt von Transpositionen

21 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 21 Abb. 3.14: Der Aufbau eines binären Klammerausdrucks

22 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 22 Abb. 3.15: Drei Darstellungsweisen der Induktionshistorie eines Terms

23 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 23 Abb. 3.16: Ein Baum als Klammerausdruck, als Aufbaubaum des Ausdrucks und als Graph

24 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 24 Tab. 3.2: Wortlänge und -verkettung als Beispiele rekursiv definierter Funktionen.

25 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 25 Abb. 3.17: Die Vertauschbarkeit von Abbildung und Erweiterungsschritten – das Prinzip der rekursiven Funktionsdefinition auf einer induktiv definierten Menge

26 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 26 Abb. 3.18: „Annäherungsweisen“ an eine induktiv definierte Menge

27 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 27 Abb. 4.1: Eine Formel (Mitte) und ihre Induktionshistorie als Funktionsterm (links) bzw. Syntaxbaum (rechts)

28 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 28 Tab. 4.1: Die Junktorensemantik

29 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 29 Abb. 4.2: Rekursive Berechnung eines Wahrheitswerts – bildlich

30 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 30 Tab. 4.2: Rekursive Berechnung des Wahrheitswerteverlaufs – mittels einer Wahrheitstafel

31 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 31 Tab. 4.3: Die In-situ-Form der gleichen Wahrheitstafel

32 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 32 Tab. 4.4: Semantische Eigenschaften und Wahrheitswerteverlauf

33 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 33 Abb. 4.3: Das Sudoku-Feld, eine Sudoku-Aufgabe und ihre Lösung

34 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 34 Tab. 4.5: Unterschiede zwischen Substitution und Ersetzung in der Aussagenlogik

35 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 35 Tab. 4.6: Die 16 möglichen zweistelligen Junktoren

36 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 36 Tab. 4.7: Die vier möglichen einstelligen Junktoren

37 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 37 Tab. 4.8: Zwei gewu ̈ nschte Wahrheitswerte fu ̈ r gegebene Argumente

38 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 38 Tab. 4.9 (links): Wahrheitswerteverlauf fu ̈ r eine Formel

39 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 39 Abb. 4.4 (rechts): Entscheidungsbaum fu ̈ r diese Formel

40 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 40 Abb. 4.5: Das Schema einer Problemreduktion

41 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 41 Tab. 4.10: KNF-Herleitung aus der Wahrheitstafel, Beispiel

42 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 42 Tab. 4.11: DNF-Herleitung aus der Wahrheitstafel, Beispiel

43 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 43 Abb. 4.6: Zwei gu ̈ ltige Resolutionsschritte … und ein häufig auftretendes Missverständnis.

44 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 44 Abb. 4.7: Resolution zum Nachweis der Unerfu ̈ llbarkeit von (¬A ∨ B) ∧ (¬B ∨ C) ∧ A ∧ ¬C ; gleichzeitig Nachweis der Allgemeingu ̈ ltigkeit von (¬A ∧ B) ∨ (¬B ∧ C) ∨ A ∨ ¬C per Dualresolution (siehe Folgetext)

45 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 45 Tab. 4.12: Tableauregeln

46 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 46 Abb. 4.8: Erfu ̈ llbarkeitsnachweis (links) und DNF-Umformung (rechts) mit Tableaubäumen

47 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 47 Abb. 4.9: Widerlegbarkeitsnachweis und KNF-Umformung mit Dualtableauverfahren

48 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 48 Tab. 4.13: Schlussregeln des aussagenlogischen Werkzeugkastens

49 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 49 Abb. 4.10: Werkzeugkasten – Beweisschemata fu ̈ r Blöcke

50 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 50 Abb. 4.11: Werkzeugkasten – zwei Anwendungsbeispiele

51 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 51 Abb. 4.12: Äquivalente OBDD, BDD und ROBDD

52 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 52 Abb. 4.13: Reduktionsschritte beim OBDD – links: Überspringen, rechts: Verschmelzen

53 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 53 Abb. 4.14: Formelaufbau und syntaktische Begriffe an einem Beispiel

54 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 54 Abb. 4.15: Quantorenauswertung bei endlichem Universum U = {a,b} als Konjunktion bzw. Disjunktion

55 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 55 Abb. 4.16: Das neue Beweisschema des PL1-Werkzeugkastens: der All-Beweis

56 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 56 Tab. 4.14: Neue Schlussregeln des PL1-Werkzeugkastens

57 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 57 Abb. 4.17: Ein Beweis, dass ∀ xP(f (a, x)) → ∃ xP(f (x, a)) eine Tautologie ist

58 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 58 Abb. 4.18: Beweis, dass ∀ x(P(x) → ∃ y(Q(y) ∧ R(f (x), y))) aus ∀ x(P(x) →Q(x)) und ∀ xR(f (x), x) folgt

59 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 59 Tab. 4.15: Tableauregeln fu ̈ r Quantoren

60 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 60 Abb. 4.19: Ein Unerfu ̈ llbarkeitsnachweis mit PL1-Tableaubaum (mit Regelnummern und Knotennummern als Begru ̈ ndungen)

61 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 61 Tab. 4.16: Neue Schlussregeln des PL1 = -Werkzeugkastens

62 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 62 Abb. 4.20: Ein PL1 = -Werkzeugkasten-Beweis einer Folgerung aus einer Menge von PL1-Formeln

63 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 63 Abb. 5.1: Addition −2 + 1 = −1 u ̈ ber Repräsentanten der Äquivalenzklassen

64 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 64 Abb. 5.2: Rationale Zahlen als Äquivalenzklassen

65 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 65 Abb. 5.3: Ein irrationaler Schnitt

66 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 66 Tab. 5.1: Die Multiplikation von Schnitten

67 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 67 Abb. 5.4: (2 + i) + (−1 + i) = 1 + 2 ・ i

68 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 68 Abb. 5.5: Die Polardarstellung einer komplexen Zahl

69 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 69 Abb. 5.6: z 1 ・ z 1 (1 + i) ・ (–1 – i) –2i

70 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 70 Abb. 5.7: Zählen mittels einer bijektiven Abbildung

71 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 71 Abb. 5.8: Durchzählen mittels einer bijektiven Abbildung

72 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 72 Abb. 5.9: Mächtigkeitsvergleich M N mittels Abbildungen

73 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 73 Abb. 5.10: Vereinigung und Verkettung von Auswahlmöglichkeiten

74 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 74 Abb. 5.11: Ein Baum von abhängigen Verkettungen von Auswahlen

75 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 75 Abb. 5.12: Das Pascal’sche Dreieck – links als Formeln, rechts als Werte

76 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 76 Tab. 5.2: Geordnete und ungeordnete Stichproben der Größe k aus einer Menge der Größe n – Übersicht

77 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 77 Abb. 5.13: Strukturbaum eines Experiments

78 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 78 Abb. 5.14: Aspekte der Unendlichkeit: eine Bijektion auf eine echte Teilmenge (links), eine unbegrenzt absteigende Kette echter Teilmengen (rechts)

79 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 79 Abb. 5.15: Beispiel fu ̈ r Konstruktion der Bijektion auf die Zwischenmenge im Beweis von Satz 5.12

80 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 80 Abb. 5.16: Die Ausgangssituation des Cantor’schen Diagonalverfahrens

81 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 81

82 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 82 Abb. 5.18: Ein Durchzählen der positiven Bru ̈ che

83 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 83

84 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 84 Abb. 5.20: Ein Teilerbaum einer natu ̈ rlichen Zahl

85 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 85 Abb. 6.1: Mengentheoretische und bildliche Darstellung einer Relation auf einer Menge

86 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 86 Abb. 6.2: Die Königsberger Bru ̈ cken 1836 – kartographisch und als Graph

87 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 87 Abb. 6.3: Vom Labyrinth zum zugehörigen Graphen

88 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 88 Abb. 6.4: Benachbarte gefärbte Gebiete – geometrisch und als Graph

89 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 89 Abb. 6.5: Ein kleines Handlungsreisendenproblem

90 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 90 Abb. 6.6: Die Suche nach einem längsten Kantenzug

91 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 91 Abb. 6.7: Gleichwertige Darstellungen eines ungerichteten Graphen

92 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 92 Abb. 6.8: Das Königsberger-Bru ̈ cken-Problem mit und ohne Mehrfachkanten

93 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 93 Abb. 6.9: Mehrdeutigkeiten, die durch Zeichenkonvention vermieden (oben) bzw. durch Interpretationskonvention entschieden (unten) werden

94 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 94 Abb. 6.10: Zwei planare (oben) und zwei nicht planare Graphen (unten)

95 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 95 Abb. 6.11: Knoteneinfu ̈ gung (links) und Kantenkontraktion (rechts)

96 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 96 Abb. 6.12: Ein Beispiel zur Demonstration gleichwertiger Darstellungen eines Graphen, von links: Zeichnung, Nachbarschaftsmatrix, Inzidenzmatrix und Nachbarschaftsliste

97 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 97 Abb. 6.13: Bilder desselben Graphen

98 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 98 Abb. 6.14: Isomorphie zweier Graphen

99 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 99 Abb. 6.15: Zwei Graphen, beide mit Zyklus u v x u v x wu, Pfad u v x w und Kreis u v x wu

100 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 100 Abb. 6.16: Wege u ̈ ber Knoten ≤ k + 1

101 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 101 Tab. 6.1: Einige Begriffe rund um die Weglängen 114

102 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 102 Abb. 6.17: Ein Beispiel fu ̈ r Weglängen-basierte Begriffe.

103 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 103 Abb. 6.18: Ein zusammenhängender (links) und ein unzusammenhängender ungerichteter Graph (rechts)

104 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 104 Abb. 6.19: Ein stark zusammenhängender (links) und ein schwach, aber nicht stark zusammenhängender gerichteter Graph (rechts)

105 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 105 Abb. 6.20: Zwei Beispiele fu ̈ r Eulerwege

106 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 106 Abb. 6.21: Ein Dodekaeder – räumlich und eben

107 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 107 Abb. 6.22: Ein Baum (links) und seine gängige Darstellung (rechts)

108 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 108 Abb. 6.23: Ein zusammenhängender kreisfreier ungerichteter Graph – kurz: ein wurzelloser Baum

109 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 109 Abb. 6.24: Zwei Bäume – identisch, wenn ungeordnet, und unterschiedlich, wenn geordnet interpretiert

110 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 110 Abb. 6.25: Mögliche Auswahlen einer Wurzel in einem kreisfreien ungerichteten Graphen

111 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 111 Abb. 6.26: Der geordnete Baum (v 1,((v 2,()),(v 3,( (v 4,()),(v 5,( )))))) und sein Adressenbaum

112 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 112 Abb. 6.27: Ein Graph und einer seiner Spannbäume

113 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 113 Abb. 6.28: Ein zu durchlaufender Baum (links), durchlaufen mit Tiefensuche (Mitte) und mit Breitensuche (rechts)

114 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 114 Abb. 6.29: Unendlichkeit in Bäumen

115 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 115 Abb. 6.30: Ein knoten- und kantenbeschrifteter gerichteter Graph

116 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 116 Abb. 6.31: Ein Verkaufsautomat als endlicher Automat

117 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 117 Abb. 6.32: Ein Syntaxbaum aus der Aussagenlogik

118 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 118 Abb. 6.33: Ein ungerichteter Graph und ein Spannwald fu ̈ r ihn

119 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 119 Abb. 6.34: Mögliche (1 und 3b2) und unmögliche Lagen eines Durchmesserpfads im Baum

120 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 120 Abb. 7.1: Verschiebung ror eines nach rechts und oben unendlichen Gitters

121 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 121 Tab. 7.1: Multiplikationstafeln zweier Gruppen

122 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 122 Abb. 7.2: Ein Graph mit zwei und ein Graph mit sechs Symmetrien

123 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 123 Abb. 7.3: Hasse-Diagramm eines Begriffsverbandes

124 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 124 Abb. 7.4: Charakteristische Unterverbände bei Nicht-Distributivität

125 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 125 Abb. 7.5: (v i ) 1≤i≤3, eine Familie von Vektoren: Punkt- und Pfeildarstellung, lineare Abhängigkeit

126 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 126

127 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 127 Abb. 7.7: Matrix-mal-Vektor

128 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 128 Abb. 7.8: Matrixmultiplikation

129 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 129 Tab. 7.2: Lineares Gleichungssystem in normierter Stufenform, knapp und ausgeschrieben

130 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 130 Abb. 7.9: Ein Beispiel fu ̈ r die Erzeugung der normierten Stufenform

131 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 131 Abb. 7.10: Ein Beispiel fu ̈ r die Invertierung einer Matrix

132 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 132 Abb. 7.11: Ein Tensorprodukt von Basisvektoren

133 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 133 Abb. 7.12: Restmatrix beim Entwicklungssatz, Determinantenberechnung 2×2 und 3×3.

134 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 134

135 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 135 Tab. 7.3: Zwei Spezifikationen mit Sorten, Operatoren und Axiomen in Form von Gleichungen

136 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 136 Abb. 7.14: Zwei triviale 3-Zöpfe und ein nicht-trivialer 3-Zopf

137 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 137 Abb. 8.1: Ein Glu ̈ cksrad mit W-Raum ({a 1, a 2,..., a 7,}, P), in dem P({a 1, a 2 }) = 1/ 2 gilt

138 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 138 Abb. 8.2: Zur Siebformel mit drei Mengen

139 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 139 Abb. 8.3: Ein mehrstufiges Zufallsexperiment

140 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 140 Abb. 8.4: Einstufige Interpretation eines mehrstufigen Zufallsexperiments

141 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 141 Abb. 8.5: Ziehen ohne Zuru ̈ cklegen als mehrstufiges Zufallsexperiment

142 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 142 Tab. 8.1: Gewinne G fu ̈ r Ann, H fu ̈ r Ben

143 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 143 Abb. 8.6: Drei Verteilungen mit gleichem Erwartungswert und unterschiedlicher Varianz

144 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 144 Abb. 8.7: Die Wahrscheinlichkeiten P(X = x) (oben) und die kumulative Verteilungsfunktion F X (unten) der Augensumme zweier Wu ̈ rfel.

145 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 145 Abb. 8.8: Ein Beispiel fu ̈ r die Verdopplungsstrategie

146 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 146 Abb. 8.9: Berechnung der Wahrscheinlichkeiten beim Aufteilungsproblem

147 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 147 Abb. 8.10: Eigenschaft und Testergebnis als mehrstufiges Zufallsexperiment

148 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 148 Tab. 8.2: Übergangswahrscheinlichkeiten beim ersten endlosen Urnenspiel

149 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 149 Abb. 8.11: Graphische Darstellung von Tab. 8.2

150 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 150 Tab. 8.3: Einige Übergangswahrscheinlichkeiten beim zweiten endlosen Urnenspiel

151 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 151 Abb. 8.12: Graphische Darstellung von Tab. 8.3

152 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 152 Abb. 8.13: Fallen in gerichteten Graphen

153 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 153 Abb. 8.14: Gewinnstand bei wiederholten Mu ̈ nzwu ̈ rfen

154 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 154 Abb. 8.15: Ein einfacher Irrweg als unendliche Kette

155 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 155 Abb. 8.16: Ein „biased random walk“

156 Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 156 Abb. 8.17: Eine Brown’sche Bewegung