Mathematik ‒ Lehrbuch Otto Opitz / Robert Klein ISBN: 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston Abbildungsübersicht / List.

Präsentation zum Thema: "Mathematik ‒ Lehrbuch Otto Opitz / Robert Klein ISBN: 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston Abbildungsübersicht / List."—  Präsentation transkript:

1 Mathematik ‒ Lehrbuch Otto Opitz / Robert Klein ISBN: 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston Abbildungsübersicht / List of Figures Tabellenübersicht / List of Tables

2 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 2 Figur 1.1: Zahlenstrahl und natu ̈ rliche Zahlen

3 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 3 Figur 1.2: Zahlengerade und ganze Zahlen

4 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 4 Figur 1.3: Zahlengerade und rationale Zahlen

5 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 5 Figur 1.4: Hierarchischer Aufbau des Zahlensystems

6 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 6 Figur 1.5: Doppelindizierung von Zahlen

7 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 7 Figur 1.6: Zahlendreieck nach Pascal (1623−1662)

8 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 8 Figur 1.7: Kombinationen k-ter Ordnung aus n Objekten

9 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 9 Figur 1.8: Wurfergebnisse mit zwei Wu ̈ rfeln

10 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 10 Figur 1.9: Rechenregeln zur Lösung von Gleichungen und Ungleichungen mit einer Variablen

11 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 11 Figur 1.10: Lösungen der Ungleichung ax − b ≤ 0

12 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 12 Figur 1.11: Abgeschlossenes Intervall der Zahlengeraden

13 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 13 Figur 1.12: Punkte im kartesischen Koordinatensystem

14 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 14 Figur 1.13: Strecke als Verbindung zweier Punkte

15 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 15 Figur 1.14: Graphische Darstellung der Gleichungen g 1, g 2, g 3

16 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 16 Figur 1.15: Spezielle Geraden der Ebene

17 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 17 Figur 1.16: Beispiele fu ̈ r Geradenschnittpunkte

18 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 18 Figur 1.17: Beispiele linearer Ungleichungen und Halbebenen

19 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 19 Figur 1.18: Gemeinsamer Bereich dreier Halbebenen

20 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 20 Figur 1.19: Kreis mit der Gleichung (x – u) 2 + (y – v) 2 = r 2

21 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 21 Figur 1.20: Hyperbel mit der Gleichung (x – u)(y – v) = r 2

22 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 22 Figur 1.21: Parabel mit der Gleichung (x – u) 2 = r(y – v), r > 0

23 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 23 Figur 1.22: Parabel zur Gleichung g 1, Bereiche zu den Ungleichungen h 1, h 2

24 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 24 Figur 1.23: Trigonometrie am Kreis

25 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 25 Figur 1.24: Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens im Einheitskreis

26 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 26 Figur 1.25: Vorzeichen und Werte von sin α, cos α, tan α, cot α

27 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 27 Figur 1.26: Werte fu ̈ r sin α, cos α, tan α, cot α mit α aus [0°, 90°].

28 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 28 Figur 1.27: Zur Bestätigung von sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β

29 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 29 Figur 1.28: Zur Darstellung des Sinus- und Kosinussatzes

30 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 30 Figur 1.29: Geometrische Darstellung komplexer Zahlen

31 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 31 Figur 1.30: Polarkoordinaten fu ̈ r komplexe Zahlen

32 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 32 Figur 2.1: Wahrheitstabelle der Negation

33 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 33 Figur 2.2: Wahrheitstabelle der Konjunktion

34 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 34 Figur 2.3: Wahrheitstabelle der Disjunktion

35 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 35 Figur 2.4: Wahrheitstabelle der Implikation

36 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 36 Figur 2.5: Wahrheitstabelle der Äquivalenz

37 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 37 Figur 2.6: Prioritäten der logischen Operationen

38 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 38 Figur 3.1: Venndiagramm der Menge {a, b, c, d, e}

39 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 39 Figur 3.2: Venndiagramm der Menge A

40 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 40 Figur 3.3: Teilmenge A ⊂ B

41 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 41 Figur 3.4: Schnittmenge A ∩ B

42 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 42 Figur 3.5: Disjunkte Mengen A, B

43 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 43 Figur 3.6: Vereinigungsmenge A ∪ B

44 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 44 Figur 3.7: Vereinigung disjunkter Mengen A, B

45 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 45 Figur 3.8: Komplementärmenge von A bzgl. B

46 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 46 Figur 3.9: Differenzmenge von B und A

47 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 47 Figur 3.10: Venndiagramm zu Beispiel 3.25

48 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 48 Figur 3.11: Prioritäten der Mengenoperationen

49 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 49

50 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 50

51 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 51

52 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 52

53 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 53

54 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 54

55 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 55

56 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 56

57 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 57

58 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 58 Figur 4.10: Isonutzenlinien fu ̈ r a 1 + a 2 = c

59 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 59 Figur 4.11: Isonutzenkurven fu ̈ r a 1 a 2 = c

60 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 60 Figur 4.12: Hierarchische Anordnung von Relationen

61 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 61 Figur 5.1: Abbildung f 1 ist surjektiv, nicht injektiv

62 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 62 Figur 5.2: Abbildung f 2 ist weder surjektiv noch injektiv

63 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 63 Figur 5.3: Abbildung f 3 ist injektiv, nicht surjektiv

64 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 64 Figur 5.4: Abbildung f 4 ist bijektiv

65 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 65 Figur 5.5: Komposition von f und g

66 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 66 Figur 5.6: Umkehrabbildung f –1 von f : A B

67 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 67 Figur 5.7: Graph der Funktion f : {1,..., 12} {1, 2, 3, 4, 5}

68 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 68 Figur 5.8: Graphen der Funktionen k, u, g mit k(x) = 2 + 2x, u(x) = 10x – x 2, g(x) = –x 2 + 8x – 2

69 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 69 Figur 5.9: Graph der Funktion f 1

70 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 70 Figur 5.10: Graph der Funktion f 2

71 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 71

72 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 72

73 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 73

74 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 74 Figur 5.14: Graph einer periodischen Funktion mit p = 2

75 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 75 Figur 6.1: Graphen der Potenzfunktionen f 1, f 2, f 1 –1, f 2 –1

76 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 76 Figur 6.2: Graphen der Exponentialfunktionen f 1, f 2, f 3

77 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 77 Figur 6.3: Graphen der Exponentialfunktionen f 1, f 2 und ihrer Umkehrfunktionen g 1, g 2

78 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 78 Figur 6.4: Sinus- und Kosinuswerte im Einheitskreis

79 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 79 Figur 6.5: Graph der Sinusfunktion mit y = sin x

80 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 80 Figur 6.6: Graph der Kosinusfunktion mit y = cos x

81 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 81 Figur 6.7: Graph der Funktion c 1

82 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 82 Figur 6.8: Graph der Tangensfunktion

83 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 83 Figur 6.9: Graph der Kotangensfunktion

84 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 84 Figur 6.10: Graph der Funktion u 1

85 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 85 Figur 7.1: Graphen der Funktionen f 1, f 2, f 3, f 4

86 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 86 Figur 7.2: Stetigkeitsbegriff reeller Funktionen

87 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 87 Figur 7.3: Graph der Treppenfunktion f 4

88 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 88 Figur 7.4: Graphen der Funktionen f 3, f 4

89 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 89 Figur 7.5: Graph der Funktion f 1

90 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 90 Figur 7.6: Graph der Funktion f 2

91 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 91

92 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 92

93 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 93 Figur 8.1: Differentiation reeller Funktionen

94 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 94 Figur 8.2: Differenzenquotient einer reellen Funktion

95 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 95 Figur 8.3: Differentialquotient einer reellen Funktion

96 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 96 Figur 8.4: Graph der Funktion ƒ mit ƒ(x) = ∣ x ∣

97 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 97 Figur 8.5: Graphen der Lohnfunktionen ƒ 1, ƒ 2, ƒ 3

98 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 98

99 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 99 Figur 8.7: Graphen der logistischen Funktion ƒ und ihrer Ableitung ƒ′

100 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 100 Figur 9.1: Satz von Rolle

101 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 101 Figur 9.2: Mittelwertsatz der Differentialrechnung

102 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 102 Figur 9.3: Monotonie einer differenzierbaren Funktion

103 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 103 Figur 9.4: ƒ als konvexe Funktion, g als konkave Funktion

104 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 104 Figur 9.5: Konvexität und Konkavität einer differenzierbaren Funktion

105 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 105 Figur 9.6: Quadratische Kostenfunktion

106 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 106 Figur 9.7: Stu ̈ ckkostenfunktion einer quadratischen Kostenfunktion

107 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 107 Figur 9.8: Potenzfunktion mit ƒ(x) = ax b

108 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 108 Figur 9.9: Graph der Funktion ƒ mit ƒ(x) = xe –x

109 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 109 Figur 9.10: Graph der Funktion ƒ mit ƒ(x) = x + sin x

110 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 110 Figur 9.11: Lagerbestand bei konstanter Nachfrage pro Zeiteinheit und Bestellung in gleichen Zeitabständen t 0, 2t 0,…

111 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 111 Figur 9.12: Gewinnmaximierung bei vollständiger Konkurrenz

112 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 112 Figur 9.13: Gewinnmaximierung beim Angebotsmonopol

113 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 113 Figur 9.14: Zusammenhang von Kosten, Stu ̈ ckkosten und Grenzkosten

114 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 114 Figur 9.15: Graph der Funktion ƒ

115 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 115 Figur 9.16: Graph der Funktion mit ƒ(x) = e –(x–2) 2

116 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 116 Figur 9.17: Graph der Funktion ƒ mit ƒ(x) = –x 6 + 6x 4 + 1)

117 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 117 Figur 10.1: Flächeninhalt und Riemannsche Summe

118 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 118 Figur 10.2: Unter- und Oberschranken des Flächeninhalts

119 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 119 Figur 10.3: Bestimmte Integrale der Funktionen ƒ 1, ƒ 2, ƒ 3 in [0,1]

120 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 120 Figur 10.4: Kurvenverläufe ƒ(x), g(x) = 2ƒ (x) mit x ∈ [a, b]

121 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 121

122 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 122 Figur 10.6: Graph der Funktion ƒ

123 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 123 Figur 10.7: Sinusfunktion

124 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 124 Figur 10.8: Funktion mit Sprungstellen a 1, a 2

125 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 125 Figur 10.9: Steuersatz- und Grenzsteuersatzfunktion zu Beispiel 10.22 b

126 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 126 Figur 10.10: Graph von ƒ mit ƒ(t) = 100(1 + t) –2 und zugehörige Stammfunktion

127 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 127 Figur 10.11: Uneigentliche Integrale im Intervall [1, ∞]

128 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 128 Figur 10.12: Uneigentliches Integral im Intervall

129 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 129 Figur 10.13: Uneigentliche Integrale im Intervall [0, 1]

130 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 130

131 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 131

132 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 132

133 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 133 Figur 12.1: Kosinussatz im Dreieck 0AB

134 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 134

135 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 135

136 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 136

137 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 137

138 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 138

139 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 139 Figur 12.7: Graphische Darstellung von P

140 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 140 Figur 12.8: Graphische Darstellung von N

141 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 141 Figur 13.1: Vektorräume V 1, V′ 1 der Dimension 1

142 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 142 Figur 13.2: Vektorraum V 2 der Dimension 2

143 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 143 Figur 13.3: Austausch eines Basisvektors

144 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 144 Figur 13.4: Erster Schritt des Gaußalgorithmus

145 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 145 Figur 13.5: Zweiter Schritt des Gaußalgorithmus

146 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 146 Figur 14.1: Innerbetriebliche Leistungsverflechtung der Abteilungen A 1, A 2, A 3

147 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 147 Figur 14.2: Zur Verrechnung innerbetrieblicher Leistungen

148 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 148 Figur 14.3: Lieferungen von den Warenlagern W 1, W 2 an die Verkaufsstellen V 1, V 2, V 3

149 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 149 Figur 14.4: Zur Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme

150 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 150 Figur 15.1: Herstellung von Produkten P 1, P 2 mit Hilfe der Produktionsfaktoren F 1, F 2, F 3

151 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 151 Figur 15.2: Lieferströme zwischen produzierenden Sektoren S 1, S 2, S 3 und Endverbrauch EV

152 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 152 Figur 16.1: Graphische Darstellung des Zulässigkeitsbereichs Z und der Deckungsbeiträge g(x) = c mit c = 0, 12, 20, 32, 40

153 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 153

154 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 154 Figur 16.3: Basistransformation mit dem Simplexalgorithmus

155 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 155 Figur 16.4: Starttableau zum Standardmaximumproblem mit dem Beschränkungsvektor b ≥ o

156 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 156 Figur 16.5: Basistransformation fu ̈ r das Standardmaximumproblem mit b ≥ o

157 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 157 Figur 16.6: Graphische Lösung dualer linearer Optimierungsprobleme

158 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 158 Figur 17.1: Sarrus-Regel fu ̈ r 2 x 2 -Matrizen

159 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 159 Figur 17.2: Sarrus-Regel fu ̈ r 3 x 3 -Matrizen

160 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 160

161 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 161 Figur 19.2: Graph der Funktion k mit k(x 1, x 2 ) = 3 + x 1 + 2x 2

162 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 162

163 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 163 Figur 19.4: Niveaulinien der Funktion k mit k(x 1, x 2 ) = 3 + x 1 + 2x 2

164 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 164

165 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 165 Figur 19.6: Differentiation einer reellen Funktion mit zwei Variablen x 1, x 2

166 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 166

167 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 167

168 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 168

169 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 169 Figur 20.2: Zur Kurvendiskussion der Funktion u

170 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 170 Figur 20.3: Beispiel einer Zeitreihe

171 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 171 Figur 20.4: Einfache lineare Regression

172 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 172 Figur 20.5: Maximum einer nichtlinearen Zielfunktion mit einer linearen Gleichung als Nebenbedingung

173 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 173 Figur 21.1: Graph einer Funktion ƒ und der Parameterintegrale F 1 (x 2 ), F 2 (x 1 ) fu ̈ r x 2 = b 2, x 1 = b 1 und a 1 = a 2 = 0

174 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 174 Figur 21.2: Graph der Funktion ƒ fu ̈ r t = 0, 1, 2

175 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 175 Figur 21.3: Rauminhalt zwischen dem Graphen von ƒ und dem Rechteck [a 1, b 1 ] x [a 2, b 2 ] der x 1 – x 2 -Ebene mit a 1 = a 2 = 0

176 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 176 Figur 21.4: Unter- und Oberschranken des Rauminhalts fu ̈ r n = 2

177 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 177 Figur 21.5: Gesuchtes Volumen = (5 – 2) (3 – 1)4 = 24

178 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 178 Figur 22.1: Graphen der Lösung von y(x + 1) = ay(x) + 1 fu ̈ r y(0) = 1

179 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 179 Figur 22.2: Graphen der Lösung von y(x + 1) = ay(x) – 1 fu ̈ r y(0) = 1

180 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 180 Figur 22.3: Konvergenz und Divergenz beim Cobwebmodell (Spinnwebmodell)

181 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 181 Figur 22.4: Graphen der Lösung von y′(x) = ay(x) + 3 fu ̈ r y(0) = 0

182 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 182 Figur 22.5: Lineare Differenzen- und Differentialgleichungen erster Ordnung und ihre Lösung fu ̈ r den Fall, dass a und b konstant sind

183 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 183 Figur 23.1: Graphen der speziellen Lösungen aus Beispiel 23.5

184 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 184 Figur 23.2: Graphen der speziellen Lösungen aus Beispiel 23.6

185 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 185 Figur 23.3: Spezielle Lösungen homogener linearer Differenzen- und Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

186 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 186 Figur 23.4: Spezialfälle fu ̈ r einen Störgliedansatz

187 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 187

188 Mathematik ‒ Lehrbuch, Otto Opitz / Robert Klein ISBN 978-3-11-036471-2 © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Mu ̈ nchen/Boston 188 Figur 23.6: Graph der Lösung von p″ + 1.5p′ + 0:5p = 20 mit p(0) = 36, p′(0) = 4