ANOVA für unabhängige Stichproben

Präsentation zum Thema: "ANOVA für unabhängige Stichproben"—  Präsentation transkript:

1 ANOVA für unabhängige Stichproben
Evaluation und Forschungsstrategien; WiSe 19/20 Anna Tröger, Simona Peter, Alexa Grassmann, Annika Steinmetz

2 Warum ANOVA? Varianzanalyse ANalysis Of Variance Fragestellung:
Unterscheiden sich die Mittelwerte einer abhängigen Variable zwischen mehreren unabhängigen Gruppen? (zB Psychoanalyse/Verh.therapie (Therapieform), w/m (Geschlechter))? Welche Faktorstufen unterscheiden sich? -> nächste Gruppe (posthoc.. )

3 Welche Arten gibt es? UV = Faktor/Treatment → Unterscheidung nach Anzahl der Faktoren Einfaktorielle ANOVA: 1 Faktor mit mehreren Stufen (i.d.R. ab 3) Faktor Therapieform Verhaltenstherapie Gesprächstherapie Psychoanalyse Zielvariable Therapieerfolg 16,2 14,5 24,7 18,3 21,2 17,3 19,6 12,4 29,3 Beispiel für einfaktorielle ANOVA: Faktor: Koffeinmenge (wenig, mäßig, viel) AV: Leistung Beispiel für mehrfaktorielle ANOVA: Faktor A: Koffeinmenge (wenig, viel) Faktor B: Schlafmenge/Nacht (<_ 5 Std., <_ 7, <_ 10)

4 Welche Arten gibt es? Mehrfaktorielle ANOVA: 2 oder mehr Faktoren
Faktor A: Therapieform Verhaltenstherapie Psychoanalyse Faktor B: Geschlecht m w Zielvariable Therapieerfolg 17,4 … 16,2 16,8 Beispiel für einfaktorielle ANOVA: Faktor: Koffeinmenge (wenig, mäßig, viel) AV: Leistung Beispiel für mehrfaktorielle ANOVA: Faktor A: Koffeinmenge (wenig, viel) Faktor B: Schlafmenge/Nacht (<_ 5 Std., <_ 7, <_ 10)

5 Voraussetzungen AV intervallskaliert (stetig)
Innerhalb der Faktorstufen ist AV normalverteilt UV i.d.R. nominal-/ ordinalskaliert Unabhängige Messungen Varianzhomogenität über alle Gruppen (Faktorstufen) hinweg

6 Wie überprüfe ich die Voraussetzungen?
Normalverteilung der AV → Normalverteilungstests (Kolmogorov-Smirnoff, Shapiro-Wilk-Test) → Q-Q-Diagramme (Quantilplots, Normalverteilungsdiagramme) Varianzhomogenität → Levene-Test (F-Test) ab 25 Messwerten sind Verletzungen nicht mehr so gravierend

7 Lineares Modell der ANOVA
Linearer Zusammenhang zwischen Faktoren ↔ AV Messwert = Systematische Komponente + Fehlerkomponente Merke: Der Messwert einer beliebigen Person setzt sich zusammen aus Populationswert Treatmenteffekte Individueller Messfehler ANOVA geht von einem einfachen linearen Modell aus (->linearer Zusammenhang zwischen Faktoren auf der einen Seite und AV auf der anderen Seite) -> Wirkungen kommen in linearer Weise (additiv) zusammen und bringen AV zustande - Vorhersage eines bst. Wertes aus anderen Werten über eine lineare Gleichung -> Annahme: linearer Zusammenhang zwischen Faktoren und AV - Messwert setzt sich additiv aus systematischer Komponente und Fehlerkomponente zusammen

8 Messwert setzt sich zusammen aus:
Messwert setzt sich zusammen aus: Populationswert (von allen Personen geteilter Wert) => Nullstreuung + Effekte der Treatments A bzw. B => systematische Treatmentstreuung A bzw. B + Interaktionseffekte aus A undB =>systematische Treatmentstreuung der Interaktion + Individueller Fehler (für jede Person andere unbekannte Einflüsse) =>Fehlerstreuung

9 Lineares Modell der ANOVA
Aufgabe der ANOVA: statistisch begründet herausfinden, ob Faktor A/B/AxB eine Wirkung hat Forschungsfrage: Gibt es mindestens eine Treatmentstufe/Interaktion, die auf AV anders wirkt als die übrigen? => Unterschied zwischen Treatmentstufen

10 Warum Quadratsummenzerlegung?
Ansatz: Wenn Streuung der Stufen-MW > Fehlerstreuung hat das Treatment einen Effekt! Ziel: Separate Aussagen über die Wirkung der einzelnen Effekte treffen =>Quadratsummenzerlegung Streuung der Stufen-MW= QSTreat; Fehlerstreuung= QSFehler Wenn Streuung der Stufenmittelwerte deutlich größer ist kann die Fehlerstreuung allein nicht mehr für die Streuung verantwortlich sein und das Treatment muss einen Effekt haben. => Quadratsummenzerlegung liefert Beweis, dass bspw. die Streuung der Stufen-MW des Faktors A nicht auch von möglichen Effekt des Faktors B oder der Interaktion AxB abhängt

11 Quadratsummenzerlegung
ANOVA findet Unterschiede zwischen Gruppen- Mittelwerten, indem sie die Streuung von Fehler und Treatments miteinander vergleicht! Streuung (wie breit) und MW (wo) eigentlich verschiedene Kennwerte H0: QSFehler=QSTreat –> wenn Treatment keinen Effekt hat sind Mittelwertsunterschiede rein zufällig Alternativhypothese : QSTreat > QSFehler ->Treatment hat einen Effekt Datenzerlegung, um herauszufinden woher die Streuung kommt

12 Berechnung der Quadratsummen
Datenstreuung ausgedrückt als Quadratsumme: Lineares Modell wird in Gleichung eingesetzt: Mittelwert aller Daten (Grand Mean) QStot = Messwert x - GesamtMW (Grand Mean) ->Streuung aller Daten X wird in oberer Gleichung durch lineares Modell ersetzt (Statt der Quadratsumme könnte man auch die Varianz s² betrachten, hätte aber lediglich den zusätzlichen Faktor 1/N in Gleichung)

13 Berechnung der Quadratsummen
Problem: unbekannte Komponenten der Gleichung Lösung: Andere Kennzahlen berechnen (Gesamt-MW, Stufen-MW, Interaktions-MW) Nach Umformung/Einsetzen bekannter Terme erhält man folgende Gleichung : Gleichung, die zeigt, dass sich die gesamte Quadratsumme tatsächlich aufteilen lässt in unabhängige Quadratsummen für die Treatments und den Fehler => Aufteilung in verschiedenen Streuungskomponenten ermöglicht es herauszufinden welche Streuung für die Wirkung verantwortlich ist

14 Formeln QS Interaktion: Keine Interaktion: QS Treat= StufenMW-GesamtMW
QS Fehler= Abweichung des Messwert zu seinem ZellMW QS Interaktion= Beobachter Interaktionswert – erwarteter Wert, wenn keine Interaktion vorhanden ist (Interaktionseffekt liegt vor, wenn Effekt eines Faktors v. Ausprägung auf jeweils anderem Faktors abhängt)

15 QS → Populationsvarianzen
Problem: Direkter Vergleich zwischen den Quadratsummen unzulässig Lösung: Transformation der Quadratsummen in Populationsvarianzen, damit der Vergleich stimmt Populationsvarianzen =transformierten Quadratsummen

16 Berechnung der Populationsvarianzen
Freiheitsgraden berechnen Quadratsummen durch jeweilige Freiheitsgerade teilen Bei Populationsvarianzen teilt man nicht durch die Anzahl aller Merkmalsträger -> statt n werden Freiheitsgeraden eingesetzt (degrees of freedom df) Populationsvarianzen =transformierten Quadratsummen

17 Freiheitsgrade n =Anzahl der Personen in einer ANOVA-Zelle
p = Anzahl der Stufen von Faktor A df Interaktion = dfA*dfB q= Anzahl der Stufen von Faktor B

18 Formeln Sigma ² =Populationsvarianz Zur Berechnung der Populationsvarianzen wird QS durch jeweilige Freiheitsgrade geteilt

19 QS → Populationsvarianzen
Mit den Populationsvarianzen stimmt die zuvor angenommene Beziehung: H0 : sigma²Treat =sigma²Fehler (ohne Effekt sollte Treatmentpopulationsvarianz und Fehlerpopulationsvarianz ungefähr 1 ergeben ) Bruch sigma²Treat/sigma²Fehler = PRÜFGRÖßE => ANNA

20 Prüfgröße F Annahme: Ohne Effekt eines Treatments kann die Streuung der Stufenmittelwerte nur aus der Fehlerstreuung entstehen Muss nicht genau 1 sein, denn der Zufall ist ja mit im Spiel, d.h. Fehler und Treatmentstreuung können sich allein schon durch den Zufall unterscheiden

21 F- Verteilung Häufigkeitsverteilung: Entsteht, wenn man das Experiment unendlich oft durchführen würde Frage: Ab wann ist ein F- Wert “zu unwahrscheinlich”, als dass der Zufall allein für sein Auftreten verantwortlich sein kann? “Welcher F- Wert ist nicht mehr normal?”  Auftreten des F- Werts statistisch extrem unwahrscheinlich unter der Annahme, dass allein der Zufall für ihn verantwortlich ist  dann ist es besser denkbar, dass das Treatment tatsächlich einen Effekt hat und für den Unterschied in Fehler und Treatmentstreuung verantwortlich ist F- Verteilung kann in Abhängigkeit vom Verhältnis der Freiheitsgrade ganz unterschiedliche Formen annehmen (Nenner- und Zählerfreiheitsgrade beachten!!!)

22 Interpretation des F-Wertes
Aus theoretischer F-Verteilung kann die Wahrscheinlichkeit p(F) für das Auftreten einer bst. Prüfgröße ermittelt werden  Ein zu unwahrscheinlicher F-Wert belegt Unterschiede zwischen Treatmentstufen - “Wie wahrscheinlich ist das Auftreten dieser Prüfgröße, wenn allein die Messfehler für ihn verantwortlich sind?”

23 Interpretation des p- Werts
Problem: Wie klein ist “zu klein”, bzw. “zu unwahrscheinlich”? Signifikanzniveau: - Signifikanzniveaus = Konventionen - Grenzwerte, mit denen der p (F)- Wert verglichen werden muss

24 Varianzaufklärung Statistische Signifikanz ≠ praktische Bedeutsamkeit
→Varianzaufklärung der Treatments bestimmen = Anteil an der Gesamtstreuung, für den das Treatment verantwortlich ist Signifikanz hängt nämlich u.a. von Stichprobengröße ab: je größer die Stichprobe desto schneller wird Signifikanz erreicht + Effekt ist zwar da, aber nimmt keinen großen Einfluss

25 Varianzaufklärung Aufgeklärte Varianz / QSzwischen / Between-Varianz:
Nicht aufgeklärte Varianz/ QSinnerhalb/ Within-Varianz: Zeigt sozusagen an, für wie viel Prozent der Streuung das jeweilige Treatment, bzw. der Fehler verantwortlich ist Nicht aufgeklärte Variant: Anteil der verbleibenden Fehlerstreuung an der Gesamtstreuung

26 Quellen Malte’s Videos