Schnitt Ebene/Ebene Voraussetzungen Die Ebenen

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1 Schnitt Ebene/Ebene Voraussetzungen Die Ebenen 𝐸 und 𝐹 sollten in Koordinatenform vorliegen. Die Ebenen 𝐸 und 𝐹 dürfen weder parallel noch identisch sein. 𝑔 𝐸 𝐹

2 Das Verfahren Die beiden Koordinatengleichungen der Ebenen lassen sich als ein lineares Gleichungssystem auffassen, das es zu lösen gilt. Sie haben somit zwei Gleichungen mit drei Unbekannten. Eine der Unbekannten lässt sich frei wählen z.B. 𝑥 3 =𝑡. Jetzt können Sie die restlichen Gleichungen nach 𝑥 1 und 𝑥 2 lösen. Die Lösungen hängen dann in der Regel von 𝑡 ab. Wenn man die Lösungen für 𝑥 1 , 𝑥 2 und 𝑥 3 als Vektor notiert, so lässt sich daraus durch „Auseinanderziehen“ eine Parameterform der Schnittgeraden gewinnen.

3 Rechenbeispiel Ermitteln Sie eine Parameterform der Schnittgeraden der beiden Ebenen 𝐸: 4 𝑥 1 + 𝑥 2 +3 𝑥 3 =12 und 𝐹: −4 𝑥 1 +3 𝑥 2 +2 𝑥 3 =24. Lösung Wir schreiben die Koordinatengleichungen als LGS: 𝐼. 4 𝑥 1 + 𝑥 2 +3 𝑥 3 =12 𝐼𝐼. −4 𝑥 1 +3 𝑥 2 +2 𝑥 3 =24 In diesem LGS haben wir mehr Variablen als Gleichungen, d.h. wir können eine der Variablen frei wählen z.B. 𝑥 3 =𝑡.

4 Lösung 𝐼 𝑥 1 + 𝑥 2 +3 𝑥 3 =12 𝐼𝐼. −4 𝑥 1 +3 𝑥 2 +2 𝑥 3 =24 Daraus ergibt sich nach Umstellung 𝐼. 4 𝑥 1 + 𝑥 2 =12−3𝑡 𝐼𝐼. −4 𝑥 1 +3 𝑥 2 =24−2𝑡 Nun haben wir ein 2×2-LGS, das wir nach 𝑥 1 und 𝑥 2 lösen können. 𝐼. + 𝐼𝐼. liefert 4 𝑥 2 =36−5𝑡 also 𝑥 2 =9− 5 4 𝑡. Eingesetzt in 𝐼. folgt 4 𝑥 1 +9− 5 4 𝑡=12−3𝑡 ⇒4 𝑥 1 =3− 7 4 𝑡⇒ 𝑥 1 = 3 4 − 7 16 𝑡

5 𝑥 1 = 3 4 − 7 16 𝑡 𝑥 2 =9− 5 4 𝑡 𝑥 3 =𝑡 Lösung Wir schreiben nun die Lösung als Vektor: 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 = − 7 16 𝑡 9− 5 4 𝑡 𝑡 „Auseinanderziehen“ liefert die Parameterform der Schnittgeraden: 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 = 0, − 7 16 𝑡 − 5 4 𝑡 𝑡 = 0, 𝑡 − −

6 Lösung Wir haben nun die Schnittgerade 𝑔: 𝑥 = 0, 𝑡 − − , die aber, wegen der vielen Brüche, nicht besonders „schön“ aussieht. Da es auf die Länge des Richtungsvektors nicht ankommt, multiplizieren wir mit 16 und eliminieren damit die Brüche. Ergebnis: Die Ebenen 𝐸 und 𝐹 schneiden sich in der Geraden 𝑔: 𝑥 = 0, 𝑡 −7 −

7 Aufgabe Ermitteln Sie eine Gleichung der Schnittgeraden der Ebenen 𝐸:7 𝑥 1 + 𝑥 2 +3 𝑥 3 =8 und 𝐹:2 𝑥 1 − 𝑥 2 +6 𝑥 3 =1.

8 Lösung Wir schreiben die Koordinatengleichungen als LGS: 𝐼. 7 𝑥 1 + 𝑥 2 +3 𝑥 3 =8 𝐼𝐼. 2 𝑥 1 − 𝑥 2 +6 𝑥 3 =1 Wir wählen z.B. 𝑥 3 =𝑡 und erhalten damit 𝐼. 7 𝑥 1 + 𝑥 2 =8−3𝑡 𝐼𝐼. 2 𝑥 1 − 𝑥 2 =1−6𝑡 Mit 𝐼. + 𝐼𝐼. folgt 9 𝑥 1 =9−9𝑡 also 𝑥 1 =1−𝑡. Eingesetzt in 𝐼𝐼. folgt 2 1−𝑡 − 𝑥 2 =1−6𝑡 ⇒ 2−2𝑡− 𝑥 2 =1−6𝑡 ⇒− 𝑥 2 =−1−4𝑡 ⇒ 𝑥 2 =1+4𝑡

9 𝑥 1 =1−𝑡 𝑥 2 =1+4𝑡 𝑥 3 =𝑡 Lösung Wir schreiben nun die Lösung als Vektor: 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 = 1−𝑡 1+4𝑡 𝑡 Auseinanderziehen: 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 = 𝑡 − Ergebnis: Die Ebenen 𝐸 und 𝐹 schneiden sich in der Geraden 𝑔: 𝑥 = 𝑡 −