Näherungen für N.-S. Gleichungen Die Flachwassergleichungen

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1 Näherungen für N.-S. Gleichungen Die Flachwassergleichungen
Übersicht Mittelung der Gleichungen Konservative/nicht-konservative Form Extras Übersicht

2 Räumlich integrierte Gleichungen
Ausgehend von den Gleichungen von NS (uy=uz=0): Erhält man durch Mittelung über den Querschnitt (y-z Ebene): Mittelung

3 Räumlich integrierte Gleichungen
Ausgehend von: Erhält man folgende QS-gemittelten Terme: Beim Uebergang auf gemittelte Geschwindigkeiten muss beachtet werden, dass der Impuls korrekt berücksichtigt wird. Es gilt: Deshalb wird ein Korrekturkoeffizienten eingeführt. Für praktische Strömungen kann er als 1.0 (effektive Werte: 1,0 bis 1,05) angenommen werden. Mittelung

4 Gemittelte Glgn. Im Rohr und Gerinne
Impuls und Kontinuitätsgleichungen im Rohr lauten: Expansion des Rohres Im offenen Gerinne ergibt sich mit hydrostatischer Druckanahme: Mittelung

5 Klassifizierung der PD-Gleichungen
Elliptische Gleichung Parabolische Gleichung Hyperbolische Gleichung Charakteristiken der hyperbolischen Flachwassergleichungen: Fr = 1 Fr > 1 Fr < 1 Mittelung

6 Konservative/nicht-konservative Form der Flachwassergleichungen
Die nicht-konservative Form ist in den primitiven Variablen h und v formuliert. In der konservativen Form ersetzt der spezifische Abfluss q die Geschwindigkeit v. Obschon die Gleichungen mittels einfacher, algebraischer Operationen ineinander übergeführt werden können, ist die numerische Lösung der beiden Systeme nicht identisch. Der Grund dafür liegt in der Unstetigkeit der Geschwindigkeit v über den Wassersprung, während der spez. Abfluss q stetig ist. Unterschiede in der numerischen Lösung sind bei instationären, überkritischen Strömungen in unterschiedlichen Ausbreitungsge-schwindigkeiten zu finden. Kons./nicht-kons.

7 1D Flachwassergleichungen Konservative / Nicht-konservative Form
Kons./nicht-kons.

8 1D Flachwassergleichungen in Matrix-Schreibweise
Konvektion: Flachwasser: 2D Gleichungen

9 2D Flachwassergleichungen in Matrix-Schreibweise
2D Gleichungen

10 1D Flachwassergleichungen für allg. Querschnitte
Nach C. Beffa Extras

11 1D Flachwassergleichungen für allg. Querschnitte
Nach C. Beffa Extras

12 Durchflussvermögen - Conveyance
Für allgemeine Querschnitte werden die 1D Flachwasser-gleichungen in den Unbekannten A und Q formuliert. Es ist nötig, einen Zusammenhang zwischen Wassertiefe, Abfluss und durchflossenem Querschnitt aufzustellen. Dies geschieht über Conveyance-Tabellen, die zu Beginn einer Simulation erstellt werden. Extras

13 Dateneingabe bei 1D Flachwasser
1D Flachwasserprogramme gehen von Querschnittsdaten aus. D.h. dass die Geländetopografie über eine Folge von abgewickelten Querprofilen, die senkrecht auf der Flussachse stehen, definiert wird. Je nach Programm sind innerhalb eines Querprofils Variationen z.B. des k-Wertes möglich (Umrechnung mit emp. Ansätzen auf mittleren k-Wert). Probleme ergeben sich, falls die hydraulischen Verhältnisse innterhalb eines Querprofils sehr unterschiedlich sind (Vorländer, Bermen, Überflutungsgebiete) Extras

14 Überflutungsflächen Für die 1D Simulation von Überflutungsflächen gibt es verschiedene Möglichkeiten: Simulation mit einem Querprofil (der gesamte QS ist durchflossen, es ist muss möglich sein, die Strömung über einen mittleren k-Wert zu erfassen. Simulation mit einem durchflossenen Querschnitt und nicht durchflossenen Retentionsflächen (Speicher). Simulation zwei Abflussästen: Einem Hauptgerinneabfluss und einem Nebenast, der die Überflutungsflächen nachbildet. Extras

15 Rauhigkeitsbeiwerte bei 1D Rechnungen
Bei 1D Rechnungen müssen alle Verluste in den Rauhigkeits-beiwert gepackt werden. Es gibt keine Strömungsablösungen oder Rezirkulationen. Der k-Wert ist deshalb nicht nur aufgrund der Korngrössen zu bestimmen, sondern aufgrund einer “Gesamtschau”. Bei vorliegen von Pegel-/Abflussmessungen ist eine Eichung der Rauhigkeit sinnvoll! Erfahrungen zeigen, dass die Rauhigkeit bei niederen Abflüssen höher einzusetzen ist als im Hochwasserfall. Obige Effekte fallen bei Niederwasser stärker ins Gewicht. Extras

16 RB bei 1D Rechnungen Als Oberstromrandbedingung empfiehlt sich, den Abfluss vorzugeben. Als Unterstromrandbedingung kommen verschiedene Möglichkeiten in Frage: Wasserspiegel Beziehung zwischen Abfluss/Wasserspiegel (Überfall) Wasserspiegel-, Energieliniengefälle (Normalabfluss) Möglichkeit 1 stellt eine sehr steife Randbedingung dar. Störungen können die Rechnungen sehr lange beeinflussen. Möglichkeit 2 stellt eine sehr stabile RB dar. Falls plausible Angaben fehlten ist Möglichkeit 3 die einzige Alternative. Extras

17 Wo eignen sich 1D Rechnungen
Für vorwiegend eindimensionale Flusstopografien. Bei fehlen von mehrdimensionalen Geländemodellen. Für Systeme von Flüssen bzw. Stauketten. Für Alarmmodelle (schnelle Rechenzeiten). Für lange Flusstrecken (mehrere Duzend Kilometer). Für gekoppelte Rechnungen mit Geschiebetransport. Extras

18 Wo eignen sich 1D Rechnungen nicht
Für vorwiegend mehrdimensionale Flusstopografien. Für die Modellierung von Überflutungsflächen. Für die Betrachtung lokaler Details. Für die Schadstoffausbreitung (Dispersion?) Extras

19 ENDE Extras