Die Schwingung Unter einer (mechanischen) Schwingung eines Körpers versteht man eine unter der Einwirkung einer Rückstellkraft um eine Gleichgewichtslage.

Die Schwingung Unter einer (mechanischen) Schwingung eines Körpers versteht man eine unter der Einwirkung einer Rückstellkraft um eine Gleichgewichtslage des Körpers verlaufende Bewegung, bei der sich die Auslenkung des Körpers aus der Ruhelage zeitlich periodisch wiederholen. Unter einer harmonischen Schwingung versteht man eine Schwingung, bei der die Rückstellkraft der Auslenkung proportional und stets zur Gleichgewichtslage gerichtet ist. Wenn man einen Massenpunkt, der eine gleichmäßige Kreisbewegung ausführt, durch paralleles Licht auf eine Ebene senkrecht zur Kreisbahn projiziert, so führt der Schatten eine harmonische Schwingung aus.

Die Schwingung Die Schwingungsgleichung einer harmonischen Schwingung
Differenzialgleichung Ein Lösungsansatz wäre: x(t) = Ao sin ( t) Bildet man die 2. Ableitung von x(t) und setzt diese in die Differenzialgleichung ein, so erhält man: x‘‘(t) = - Ao 2 sin ( t)

Die Schwingung Die Schwingungsgleichung einer harmonischen Schwingung
Differenzialgleichung Dividiert man durch Ao sin ( t), so ergibt sich Die Lösung ist: Die Amplitude Ao ergibt sich aus den Anfangsbedingungen

Die Schwingung Die Schwingungsgleichung einer harmonischen Schwingung

Die Schwingung Aufgaben
Zeichnen Sie das Zeit-Weg-Diagramm eines Federpendels mit D= 0,5 N/m, m = 0,2 kg und Ao = 4 cm und tragen Sie maß-stäblich die Geschwindigkeits- und Beschleunigungsfunktion ein. Die Auslenkung eines Federpendels beträgt 2 s nach dem Nulldurchgang x(t) = 4 cm. Die Amplitude ist 6 cm. Bestimmen Sie die Frequenz f und die Periodendauer T. Zu welchen Zeiten nach dem Nulldurchgang erreicht die Auslenkung eines Federpendels mit der Amplitude 5 cm und f = 0,4 Hz die Werte a) x1 = 8 mm, b) x2 = 2 cm, c) x = 4 cm?

Die Schwingung Aufgaben
Zeichnen Sie das Zeit-Weg-Diagramm eines Federpendels mit D= 0,5 N/m, m = 0,2 kg und Ao = 4 cm und tragen Sie maß-stäblich die Ge-schwindigkeits- und Beschleunigungs-funktion ein.

Die Schwingung x(t) = Ao e –kt Sin ( t)
Jede freie Schwingung ist gedämpft, da sie Energie an die Umgebung abgibt. Verringerung der Amplitude: 1.Der Quotient An+1/An zweier aufeinander folgender Amplituden ist konstant. 2.Die Zeit, in der die Amplitude jeweils auf die Hälfte ihres willkürlich gewählten Anfangswert sinkt, ist ebenfalls konstant. Man nennt sie die Halbwertszeit der Schwingung. Eine gedämpfte Schwingung wird durch die Gleichung x(t) = Ao e –kt Sin ( t) beschrieben, wobei k die Dämpfungskonstante ist.

Die elektromagnetische Schwingung
Ein elektromagnetischer Schwingkreis besteht aus einem Kondensator und einer Spule. Durch Induktionsvorgänge finden ständig Lade- und Entladevorgänge statt und es entsteht eine gedämpfte Schwingung. Spannung und Stromstärke ändern sich periodisch und sind um eine Viertelperiode phasenverschoben

Zeitlicher Verlauf von Spannung und Stromstärke

Im elektromagnetischen Schwingkreis wandeln sich elektrische Energie und magnetische Feldenergie periodisch ineinander um

Zeitlicher Verlauf von Spannung und Stromstärke

Vergleich zwischen mechanischer und elektromagnetischer Schwingung

Die Thomsonsche Schwingungsgleichung Zeitlicher Verlauf einer elektromagnetischen Schwingung Ladung: Q(t) = Qo Cos ( t) mit Spannung am Kondensator: U(t) = Uo Cos ( t) mit Uo = Qo/C Stromstärke: I(t) = - Io Sin ( t) mit

Die Thomsonsche Schwingungs-gleichung

Die Energieverteilung

Die Meißnersche Rückkopplungsschaltung

Die Dreipunktschaltung

Die Differentialgleichung der gedämpften elektromagnetischen Schwingung Darin bedeutet der Term R Q‘(t) = UR(t) die Teilspan-nung am Widerstand R. Dieser zusätzliche Term be-schreibt die Dämpfung, denn im Widerstand R wird ein Teil der Energie dem Schwingungsvorgang entzogen.

Die Differentialgleichung der gedämpften elektromagnetischen Schwingung Lösung der Differentialgleichung mit Die Kreisfrequenz  hängt wie bei der unge-dämpften Schwingung nur von L, C und R ab.

Die gedämpfte Schwingung

Die gedämpfte Schwingung Schwache Dämpfung Schwingfall Aperiodischer Grenzfall Starke Dämpfung Kriechfall

Die gedämpfte Schwingung – schwache Dämpfung x0 = 1;  = 4;  = 0.5

Die gedämpfte Schwingung – der Kriechfall Nach einem kurzen Anstieg fällt die Amplitude mit einer durch die Dämpfung  be-stimmten Zeitkonstanten ab. x0=2; =2*; =25

Die gedämpfte Schwingung – der aperiodische Grenzfall Die Funktion verläuft ähnlich wie im Kriechfall, geht jedoch in der kürzestmöglichen Zeit gegen Null. x0=15; =2*; = 2*

Die aperiodische Dämpfung Feder Stoßdämpfer Aperiodische Dämpfung beim Stoßdämpfer im Auto

Die gedämpfte Schwingung

Vergleich: Mechanische und elektromagnetische Schwingung

Überlagerung von Schwingungen Phasenunterschied: Gleiche Amplitude und Frequenz

Überlagerung von Schwingungen Phasenunterschied:0  Gleiche Amplitude und Frequenz

Überlagerung von Schwingungen Phasenunterschied:beliebig Unterschiedliche Amplitude und Frequenz

Überlagerung von Schwingungen - die Schwebung Phasenunterschied:0  Gleiche Amplitude, geringer Frequenzunterschied

Schwingungen und Wellen
Gekoppelte Schwingungssysteme Zwei schwingungsfähige Systeme, die einander beeinflussen und dabei Energie austauschen, bezeichnet man als gekop-pelte Schwingungssysteme. Simulation

Die Welle Eine Welle entsteht, wenn eine Reihe gekoppelter schwingungsfähi-ger Systeme nacheinander gleichartige Schwingungen ausführt. Der Wellenträger weist zu einem bestimmten Zeitpunkt (Momentaufnahme) eine räumlich periodische Vertei-lung der schwingungsfähigen Systeme aus. Jedes schwingungsfähige System führt eine zeitlich periodische Bewegung aus

Die Transversalwelle Eine Welle, bei der die einzelnen Teilchen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle schwingen, bezeichnet man als Quer- oder Transversalwelle. Die Longitudinalwelle Eine Welle, bei der die einzelnen Teilchen in Richtung zur Ausbreitungsrichtung der Welle schwingen, bezeichnet man als Längs- oder Longitudinalwelle. Verschiedene Wellenarten

Wichtige Begriffe Wellenberg Als Wellenlänge, Sym-bol λ, wird der kleinste Abstand zweier Punkte gleicher Phase einer Welle bezeichnet. Dabei haben zwei Punkte die gleiche Phase, wenn sie sich in gleicher Weise begegnen, d. h. wenn sie im zeitlichen Ablauf die gleiche Auslenkung (Amplitude) und die gleiche Bewegungs-richtung haben. Wellental

Die lineare Welle Eine fortschreitende lineare Welle entsteht, wenn einer Kette von Oszillatoren periodisch Ener-gie zugeführt wird und die miteinander gekoppelten Oszillatoren nacheinander gleichartige erzwungene Schwingungen ausführen. Die Schwingungszustän-de des die Schwingung auslösenden Oszillators bewegen sich über die Kette hinweg. Wenn die Oszillatoren harmonische Schwingungen ausführen, so entsteht eine harmonische lineare Welle. Eine Welle ist ein zeitlich und räumlich periodischer Vorgang. Die zeitliche Periode ist die Schwingungsdauer T, die räumliche Periode die Wellenlänge .

Die elektromagnetische Welle Eine harmonische Welle ist ein räumlich und zeitlich periodischer Vorgang: Für die Ausbreitungsgeschwindigkeit gilt: c = f Die Gleichung der linearen harmonischen Welle lautet Sie stellt die Oszillatorauslenkung in Abhängigkeit von Zeit und Ort dar.

Die elektromagnetische Welle Für den Zeitpunkt t1 = T/2 erhalten wir: d.h. die räumliche Verteilung aller Teilchenauslenkungen

Die elektromagnetische Welle Für den festen Ort x3 = /4 erhalten wir: d.h. den zeitlichen Verlauf der Schwingung von P3

Das Huygensche Prinzip Jeder Punkt einer Wellenfläche kann als Ausgangspunkt einer neuen Wellen (einer sog. Elementarwelle) betrachtet werden.

Überlagerung von Wellen Prinzip der ungestörten Überlagerung von Wellen Treffen an einer Stelle eines Wellenträgers mehrere Wellen aufeinander, so addieren sich dort die Auslenkungen (=Elongationen) der Schwingungen. Nach dem Zusammentreffen laufen die Wellen ungestört weiter. Die ungestörte Überlagerung mehrerer Wellen von gleicher Frequenz (und damit gleicher Wellenlänge) am selben Ort bezeichnet man als Interferenz.

Überlagerung von Wellen Simulation

Überlagerung von Wellen Für Punkte maximaler Erregung ist der Gangun-terschied der interferie-renden Wellen d = k . Die Phasendifferenz der Schwin-gungen beträgt k2 Für Punkte minimaler Erregung ist der Gangunterschied der interferierenden Wellen d = ((2k-1)/2) . Die Phasendifferenz beträgt (2k-1), k = 1,2.. Simulation

Überlagerung von Wellen Lösung der Aufgabe

Die elektromagnetische Welle Vom Sendedipol gehen Wellen elektrischer und magneti-scher Felder aus. Die beiden Felder stehen senkrecht zu-einander. Das Ganze nennt man eine elektromagnetische Welle. Wandernde elektrische und mag-netische Felder erzeugen sich wechselseitig. Die Feldvektoren E und B sind in Phase. Sie stehen senkrecht aufeinander und stehen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung

Die elektromagnetische Welle Der schwingende Dipol sendet eine elektromagnetische, linear polarisierte Querwelle aus. Deren E- und B - Felder schwingen in zueinander senkrechten Ebenen. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit beträgt:

Der Hertzsche Dipol

Der Hertzsche Dipol Ein gerader Leiter kann als elektrischer Oszillator schwingen. An seinen En-den befinden sich Bäuche der Ladungsdichte und Knoten der Stromstärke. Für die 1. Eigenschwin-gung gilt: l = /2 Für die k-te Eigen-schwingung gilt: l = k* /2

Schwingungszustände des Hertzschen Dipols 1. Eigenschwingung 2. Eigenschwingung

Der Hertzsche Dipol Stehende elektrische Welle am Dipol: Zwischen Spannung und Strom sowie entsprechend zwischen elektrischen und magnetischen Feldvektor herrscht die Phasenverschiebung /2 Die fortschreitende elektromagnetische Welle, die sich vom Dipol ablöst: Keine Phasenverschiebung zwischen elektrischem und magnetischem Feldvektor.

Die Maxwellschen Grundgleichungen 1. Maxwellsches Gesetz Jedes zeitlich veränderliche elektrische Feld bedingt ein magnetisches Wirbelfeld, dessen Feldlinien die elektrischen Feldlinien umschlingen.

Die Maxwellschen Grundgleichungen 2. Maxwellsches Gesetz Jedes zeitlich veränderliche Magnetfeld bedingt ein elektrisches Wirbelfeld, dessen Feldlinien die magnetischen Feldlinien umschlingen.

Die elektromagnetische Welle - Simulation Simulation

Der Hertzsche Dipol - Simulation Simulation einer elektromagn. Welle

Der Hertzsche Dipol - Das Fernfeld

Der Hertzsche Dipol

Beugung am Doppelspalt

d sei der Gangunterschied der beiden Wellen, die E1 bzw. E2 verlassen Es gibt jetzt zwei Sonderfälle: 1. Der Gangunterschied beträgt ein Vielfaches einer Wellenlänge, d.h. d = k  mit k = 1,2,3…. Dann verstärken sich die Wellen maximal, man spricht von konstruktiver Interferenz. 2. Der Gangunterschied beträgt 1/2, 3/2 , 5/2,…. Dann löschen sich die Wellen komplett aus, Man spricht von destruktiver Interferenz.

Man erhält also: Bezieht man jetzt noch den Winkel  mit ein, so ergibt sich: wenn g der Abstand der beiden Spaltmitten ist Und damit

Beugung am Gitter 2 Spalte 3 Spalte 4 Spalte 5 Spalte

Beugung am Gitter

Beugung am Gitter 2 Spalte 3 Spalte 7 Spalte 15 Spalte

Beugung am Gitter

Verschiedene Spektren
Helium

Beugung am Einzelspalt
Liegt P auf der Hauptachse, so ergibt sich das Hauptmaximum. Alle N Wellen haben bis P den Gangunterschied d = 0. Sie verstärken sich gegenseitig.

Links und rechts vom Hauptmaxi-mum folgen symmetrisch zur Mitte die Minima 1. Ordnung. Hier lö-schen sich die N Wellen gegensei-tig aus. Zur Erklärung nehmen wir N = 12 an. Als erstes erreicht der Gangunter-schied zwischen Welle 1 und Welle 12 den zur Auslöschung nötigen Wert /2. Dann ist er aber für alle anderen Wellen kleiner, so dass sich keine vollständige Auslöschung ergibt.

Ein Minimum tritt auf, wenn sich alle 12 Wellen paarweise auslöschen. Der kleinste Winkel hierfür liegt vor, wenn der Gangunterschied zwischen den Wellen 1 und 7 /2 beträgt. Es gilt: sin 1 = d /(b/2) = /b

Für noch größere Winkel  löschen sich z.B. die Wellen 1 und 5, 2 und 6, …, 4 und 8 aus. Dabei bleiben die Wellen 9 und 12 übrig. Weitere Minima entstehen erst wieder bei geeigneter paarweiser Aufteilung aller 12 Wellen. Dies tritt wieder ein, wenn sich die Wellen 1 und 4 auslöschen. Dann kann man den Spalt mit zwei Gruppen sich auslöschender Paare überdecken.

Weitere Minima entstehen erst wieder bei geeigneter paarweiser Aufteilung aller 12 Wellen. Dies tritt wieder ein, wenn sich die Wellen 1 und 4 auslöschen. Dann kann man den Spalt mit zwei Gruppen sich auslöschender Paare überdecken. Die erste Gruppe umfasst die Paare (1,4), (2,5), (3,6), die zweite die Paare (7,10) bis (9,12). Jede der Gruppen überdeckt im Spalt einen Streifen der Breite b/2. Es gilt: sin 2 = ( /2) /(b/4) =2*( /b)

Bei der Beugung am Spalt treten Inten-sitätsminima auf. Für die Richtung des k-ten Minimums gilt:

Bei Öffnungen, deren Breite groß gegen-über der Wellenlänge ist, kann man die Beugung vernachlässigen. In diesem Fall ist die geometrische Optik als Grenzfall der Wellenoptik eine gute Näherung. Für die Lage der Maxima höherer Ordnung gilt:

Interferenz durch Reflexion
Die CD als Reflexionsgitter Der Aufbau einer CD

Die CD als Reflexionsgitter Die Länge der Spirale Vereinfachend wird angenommen, dass es sich um konzentrische Kreise handelt. Der Fehler, den man dadurch macht, dürfte eher klein sein. Man berechnet dann alle Umfänge der Kreise und addiert diese. Mit Hilfe von Mathematica ist dies lediglich ein Befehl. Man erhält: Länge = 4989,48 m

Die CD als Reflexionsgitter Berechnen Sie die Geschwindigkeit, mit der die Datenspur am Lesekopf vorbeiläuft. Bei t = 70 min ergibt sich eine Geschwindigkeit von:

Lichtbrechung Brechungsgesetz:
Das Verhältnis vom Sinus des Einfallswinkels  zum Sinus des Brechungswinkels  ist nur abhängig von den beiden Medien, zwischen denen der Übergang stattfindet, und unabhängig vom Einfalls- und Brechungswinkel. Die Größen n1 und n2 heißen (absoluter) Brechungsindex, n12 heißt relativer Brechungsindex

Lichtbrechung Brechung erklärt das Wellenmodell mit dem Huygens´schen Prinzip und den unterschiedlichen Ge-schwindigkeiten der Wellen in verschiedenen Stoffen. Für den Zusammenhang zwischen Einfalls-winkel, Brechungswinkel und den entsprechenden Geschwindigkeiten c1 und c2 gilt:

Lichtbrechung Der Brechungsindex n gibt an, um wie viel langsamer sich Licht in einem Stoff (cn) als im Vakuum (c) ausbreitet:

Lichtbrechung Für die Ausbreitungsgeschwin-digkeit elektromagnetischer Wellen liefert die Maxwell´sche Theorie Im Vakuum ist r = r = 1, also:

Polarisation

Polarisation Mit Polfilter Ohne Polfilter

Vergütung von Linsen

Aufgaben Klett Seite 15 Beispiel

Aufgaben Klett Seite 15 Beispiel Auslenkung Geschwindigkeit
Beschleunigung

Aufgaben Das Hemmpendel
Führt das Hemmpendel eine harmonische Schwingung aus? Das Hemmungspendel führt wohl eine Schwingung aus, diese ist jedoch nicht harmo-nisch. Zum einen ist die maxi-male Auslenkung auf der linken Seite nicht gleich der maximalen Auslenkung auf der rechten Sei-te. Zum anderen sind auch die Zeitdauern der beiden Halb-schwingungen nicht gleich lang.

Ein Fadenpendel hat die Schwingungsdauer 2,0 s. Der Pen-delkörper dieses Fadenpendels hat die Masse m = 1,0 kg. Der Faden hält eine maximale Spannkraft von Fm = 15 N aus. a) Berechnen Sie die Pendellänge dieses Fadenpendels. b) Wie groß ist die maximale zulässige Geschwindigkeit beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage, ohne dass der Faden reißt?

c) Nun wird h = 50 cm unterhalb des Aufgängepunktes ein Stift eingeführt, an dem der Pendelfaden anschlägt und abknickt (Hemmungspendel). Berechnen Sie die Schwingungsdauer dieses Hemmungspendels. d) Berechnen Sie den Winkel .

Aufgaben Wellen 1.Aufgabe: Während 12 Schwingungen innerhalb von 3 Sekunden ablaufen, breitet sich eine Störung um 3,6 m aus. Berechnen Sie Wellenlänge, Frequenz und Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle. 2.Aufgabe: Gleiche Pendel sind in einer Reihe im Abstand von 0,4 m aufgestellt. Sie werden nacheinander im zeitlichen Abstand von 0,5 s angestoßen, so dass das 1. und 5., das 2. und 6. usw. Pendel phasengleich schwingen. Mit welcher Geschwindigkeit, Wellenlänge und Frequenz läuft die Welle über die Pendelkette?

Aufgaben Wellen 3.Aufgabe: Eine harmonische Schwingung mit y(t) = ymax sin  t breite sich vom Nullpunkt als transversale Störung längs der x-Achse mit der Geschwindigkeit v = 7,5 mm/s aus. Es sei weiter ymax = 1 cm und  = /2 Hz. a)Berechnen Sie die Periodendauer T, die Frequenz f und die Wellenlänge . b)Wie heißt die Wellengleichung? c)Zeichnen Sie maßstäblich das Momentanbild der Störung nach t1 = 4 s, t2 = 6 s und t3 = 9s. d)Wie heißen die Schwingungsgleichungen für die Oszillatoren, die an den Orten x1 = 5,25 cm bzw. x2 = 7,5 cm von der Störung erfasst werden

Aufgaben Wellen 4.Aufgabe: Eine Querwelle schreite mit der Geschwindigkeit v = 2,5 m/s längs der +x-Achse fort. Der Erreger (x = 0) starte zur Zeit t = 0 s seine Sinusschwingung mit f = 50 Hz und der Amplitude 2,0 cm. a)Zeichnen Sie die Welle zu den Zeiten t1 = 0,050 s und t2 = 0,055 s b)Zeichnen Sie das Diagramm der Teilchenschwingung am Ort x = 3,75 cm. c)Welcher grundlegender Unterschied besteht zwischen den Kurven bei a) und b)?

Aufgaben Wellen Lösung 4.Aufgabe a) b)
Die Bilder in a) stellen Momentauf-nahmen der Wellen dar. (x-y-System). Das Bild in b) stellt den zeitlichen Verlauf der Schwingung eines Oszillators dar (t-y-System)

Aufgaben Wellen 5.Aufgabe
Eine sinusförmige Welle bewegt sich in die positive x-Richtung. Schreiben Sie mit den Informationen der beiden Graphen die Wellengleichung auf.

Aufgaben Wellen Lösung 5.Aufgabe Die Wellengleichung lautet
Aus einem der beiden Graphen entnimmt man: smax = 0,01 m Aus dem rechten Graphen entnimmt man:  = 0,04 m Aus dem linken Graphen entnimmt man: T = 0,02 s. Die Wellengleichung für diese Aufgabe lautet dann

Aufgaben Wellen Dorn Seite 178 A. 2
Ein Dipol der Länge l = 1 m wird zu elektromagnetischen Schwingungen der Frequenz f = 150 MHz angeregt. Aus der Helligkeit eines Lämpchens in seiner Mitte schließt man auf eine Stromstärke von Ieff = 100 mA. a) Wie groß ist die Stromstärke im Dipol an den Stellen, die 25 cm bzw. 12,5 cm von seinem Ende entfernt sind? b) Die Anregungsfrequenz wird auf 300 MHz erhöht. Wie groß ist die Stromstärke in der Mitte des Dipols?

Aufgaben Wellen Aufgabenzettel Welle1 Aufgabe 3
3.Aufgabe: Im Nullpunkt eines Koordinatensystems findet vom Zeitpunkt to = 0 s an eine Schwingung statt, die dem Gesetz s(t) = 0,08 m sin ( t s-1 ) genügt. Diese Schwingung erzeugt eine Transversalwelle, die sich ungedämpft in Richtung der positiven x-Achse mit der Geschwindigkeit c = 0,2 m/s ausbreitet. a) Wie groß sind die Schwingungsdauer T und die Frequenz f der Schwingung, wie groß ist die Wellenlänge der Welle? b) Wie lautet die Gleichung dieser Welle? c) Zeichnen Sie die Welle zu den Zeiten t1 = 2 s, t2 = 3 s, t3 = 4,5 s, t4 = 7,5 s. d) Wie lauten die Gleichungen für die Schwingungen, die in den Punkten mit den Koordinaten x1 = 30 cm, x2 = 80 cm und x3 = 100 cm stattfinden? Anleitung: Verwenden Sie die trigonometrische Beziehung: sin ( - ) = sin  cos  - cos  sin 

Aufgaben Wellen Aufgabenzettel Welle1 Aufgabe 3 Lösung
a) T = 2 s;  = 0.40 m b) d) x1 = 30 cm d) x2 = 80 cm d) x3 = 100 cm

Aufgaben Wellen Aufgabenzettel Welle1 Aufgabe 3 Lösung

Aufgaben Licht als Welle Aufgabenzettel Spalt_Gitter1 Aufgabe 1
1.Aufgabe: Grünes Licht ( = 546 nm) trifft auf einen Doppel-spalt. Auf einem 2,00 m entfernten Schirm entfallen 8 dunkle Streifen auf 2,0 cm. Zeigen Sie, dass der Abstand zwischen benachbarten dunklen Streifen konstant ist. Wie groß ist der Abstand der Spaltmitten? Wie ändert sich der Streifenabstand, wenn man den Abstand der Spaltmitten verkleinert?

Aufgaben Licht als Welle
Aufgabenzettel Spalt_Gitter1 Aufgabe 1 - Lösung Die Näherung für kleine Winkel ist anwendbar. a)Dunkle Streifen bedeuten Minima, helle Maxima. Für die Maxima erhält man: b)Mit k = 8 und ak = 2,0 cm erhält man: c) Der Streifenabstand wächst umgekehrt proportional zum Spaltenabstand

2.Aufgabe: Ebene Schallwelle von f = 15 kHz treffen auf einen Doppelspalt mit der Spaltbreite b = 2,0 cm und dem Abstand der Spaltmitten g = 8,0 cm. Unter welchem Winkel k sind Maxima zu erwarten, und wie viele treten höchstens auf?

Aufgabenzettel Spalt_Gitter1 Aufgabe 2 - Lösung 2. Aufgabe Durch Interferenz entstehen Maxima für Daraus ergibt sich für sin 1 = 0,288, d.h. 1 = 16,7o. Weitere Maxima ergeben sich für 2 = 35,1o und 3 = 59,6o. Maxima höherer Ordnung sind nicht möglich, da schon sin 4 > 1 ist.

3.Aufgabe: Ein Gitter mit 1000 Spalten pro cm wird von Laserlicht durchstrahlt. In 4 m Abstand vom Gitter sind die Hauptmaxima 1. Ordnung 25,4 cm voneinander entfernt. Berechnen Sie die Wellenlänge. Es gilt

4. Aufgabe: Auf ein Gitter mit g = 4*10-5 m fällt weißes Glühlicht ( 400 nm <=  <= 800 nm). a) Errechnen Sie die Winkelbereiche für die Maxima 1., 2. und 3. Ordnung. b) Welches ist der kleinste Winkel, für den eine Überlagerung verschiedener Ordnung auftritt? c) Wie weit sind die Spektren 1. Ordnung auf einem 3 m entfernten Schirm auseinandergezogen? d) Welche Breite ergibt sich bei c), wenn der Versuch unter Wasser durchgeführt wird? e) Ein Spektrum enthält als kürzeste Wellenlänge  = 450 nm. Welchen Wellenlängenbereich darf es nur umfassen, wenn sich die 5. Ordnung nicht mit benachbarten Ordnungen überlagern soll?

Aufgabenzettel Spalt_Gitter1 Aufgabe 4 - Lösung 4. Aufgabe: a)1.Ordnung: 0,57o    1,15o 2.Ordnung: 1,15o    2,29o 3.Ordnung: 1,72o    3,44o b)  = 1,72o c) Die Spektren 1. Ordnung liegen vom Zentrum gemessen im Bereich 3 cm  s  6 cm nw = ¾  L/ nw, ,25 cm  s  4,5 cm d) Für die größte Wellenlänge * gilt: Sin 5(* )  Sin 6( )  5 *  6   * = 6/5  = 540 nm

Aufgaben Licht als Welle – das Gitter Dorn – Seite 189 A. 1
Ein Gitter hat 500 Linien pro mm. Der Schirmabstand beträgt 1,50 m. Welchen Abstand hat für  = 780 nm die Spektrallnie 1. Ordnung von der Linie 2. Ordnung? Die beiden Spektrallinien 1. Ordnung von Na-Licht ( = 780 nm) haben auf einem 1,00 m entfernten Schirm den Abstand 11,8 cm. Wie groß ist g? Ein Gitter mit 5000 Strichen pro cm wird mit parallelem weißem Glühlicht beleuchtet. Der Schirm hat die Form eines Halbzylinders, in dessen Mittelachse das Gitter steht. a)Bis zu welcher Ordnung kann das sichtbare Spektrum beobachtet werden? b)Welche Wellenlänge ergibt sich aus sin k = 1 = k /g in der höchsten Ordnung?

Aufgaben Licht als Welle – das Gitter Dorn – Seite 189 A. 1
Ein Gitter hat 500 Linien pro mm. Der Schirmabstand beträgt 1,50 m. Welchen Abstand hat für  = 780 nm die Spektrallnie 1. Ordnung von der Linie 2. Ordnung? Folgendes Gleichungssystem ist zu lösen Mit den Werten g = 1/ m, a = 1,50 m,  = 780 nm, einmal mit k = 1, das andere Mal mit k = 2. Die Differenz bildet dann den Abstand der beiden Maxima. Man erhält: k=1-> d1=0,635307,  = 22,9545o k=2-> d2=1,86967,  = 51,2606o Damit: d2 – d1 = 1,23436

Aufgaben Licht als Welle – das Gitter
Gitter2.doc 4.Aufgabe: Die gelbe Linie im Quecksilberspektrum hat die Wellenlänge = 578 nm. Im Spektrum 3.Ordnung fällt sie fast genau mit der blauen Quecksilberlinie 4.Ordnung zusammen. a) Berechnen Sie die Wellenlänge dieser blauen Linie. b) Wie viele Spalte pro mm darf das Gitter höchstens haben, damit die Ablenkung dieser Linie gegen das Maximum 0.Ordnung nicht mehr als 45o beträgt?

Aufgaben Licht als Welle – das Gitter Lösung
Gitter2.doc Lösung a) Die Winkel für die Ablenkung bei gelb und blau ist gleich, daher auch der sinus. blau = 0,75  578 nm = 433,5 nm b) Folgende Gleichung muss gelöst werden: Es ergibt sich: g = 2,45225*10-6 m, das sind Spalte pro m oder 407 Spalte pro mm.

Aufgaben Licht als Welle – das Gitter
Gitter2.doc 5.Aufgabe: Das Glühlicht einer Bogenlampe soll mit einem Gitter zerlegt werden. a) Skizzieren Sie eine Versuchsanordnung, die geeignet ist, mit Glühlicht ein auswertbares Interferenzbild zu erzeugen. Das Gitter ist ein Rowlandgitter mit 570 Strichen/mm. Auf einem Schirm im Abstand 2,50 m haben die beiden Enden des Spektrums 1. Ordnung vom Maximum 0. Ordnung den Abstand 57 cm bzw. 122 cm. b) Geben Sie an, welcher der beiden Abstände zum roten bzw. violetten Ende des Spektrums gehört. c) Berechnen Sie die Wellenlänge des Lichtes am roten bzw. violetten Ende des Spektrums.

Gitter2.doc Lösung b) Es muss der Winkel berechnet werden und zwar mit Hilfe der folgenden Gleichung: Der Winkel für: rot ->  = 23, Violett ->  = 13,10 Dies Ergebnis hätte man auch ohne Rechnung erhalten können (rot wird stärker gebeugt als violett)

Gitter2.doc Lösung c) Die Winkel für die entsprechenden Wellenlängen erhält man aus der Beziehung: Für rot bzw. violett erhält man: rot -> 26,010 und violett -> 12,840 Mit Hilfe der Gleichung können jetzt die entsprechenden Wellenlängen ausgerechnet werden. Rot: 769,41 nm und Violett: 389,99 nm

Aufgaben Licht als Welle – Interferenz an der CD
Aufgabe: Auf einer CD ( compact disc) ist die Information auf einer spiralförmigen Spur gespeichert. Die Abb. 1 zeigt schematisch den stark vergrößerten Teil einer CD-Oberfläche im Querschnitt:

Die Erhebungen zwischen benachbarten Spuren reflektieren Licht und können damit als Erregerzentren von Elementarwellen, die miteinander interferieren, aufgefasst werden. Die Oberfläche der CD ist demnach ein Reflexionsgitter mit der Gitterkonstanten b.

Wird eine CD, wie in Abb. 2 dargestellt, senkrecht mit Laserlicht der Wellenlänge λ = 633 nm bestrahlt, so beobachtet man auf einem im Abstand a = 30,0 cm parallel stehenden Schirm (Radius 50 cm) helle, zum Strahl symmetrisch liegende Punkte.

a)Erklären Sie unter Zuhilfenahme einer aussagekräftigen Skizze das Zustandekommen dieser Punkte. b)Der Abstand der beiden innersten Punkte auf dem Schirm beträgt 25,8 cm. Berechnen Sie daraus den Abstand b benachbarter CD-Rillen. [zur Kontrolle: b = 1,60 μm] c)Ermitteln Sie, wie viele Punkte man auf dem Schirm beobachten kann. d)Nun wird die CD mit einem feinen Strahl weißen Lichtes beleuchtet. Entscheiden Sie rechnerisch, ob das sichtbare Spektrum zweiter Ordnung auf dem Schirm noch vollständig abgebildet wird.

Die Erhebungen zwischen benachbarten Spuren reflektieren Licht und können damit als Erregerzentren von Elementarwellen, die miteinander interferieren, aufgefasst werden. Die Oberfläche der CD ist demnach ein Reflexionsgitter mit der Gitterkonstanten b.

Aufgaben Licht als Welle – Interferenz an der CD Lösung
a) Unter dem Winkel α ergibt sich ein Intensitätsmaximum, falls Aus der Zeichnung ersieht man, dass gilt: Analog ergeben sich die bezüglich des Einfallslotes achsensymmetrisch liegenden Maxima.

b) Die innersten Punkte sind die symmetrisch liegenden Maxima 1. Ordnung (k = 1). d = 25,8 cm : 2 = 12,9 cm

c) Für d muss gelten: d < 50 cm Ein Punkt ist noch zu beobachten, wenn: α < α max Also treffen die Maxima zweiter Ordnung auch noch auf den Schirm, so dass insgesamt vier Punkte auf dem Schirm zu beobachten sind (2 x Maximum 1. Ordnung; 2 x Maximum 2. Ordnung). Für den roten Rand des Maxi-mums 2. Ordnung ergibt sich näherungsweise: Somit findet keine vollständige Abbildung des Maximums 2. Ordnung des sichtbaren Lichts auf dem Schirm statt.

Aufgaben Auflösungsvermögen des Gitters
Aufgabe: Ein Kollegiat untersucht im Praktikum das Spektrum einer Quecksilberdampflampe mit Hilfe verschiedener optischer Gitter. Im sichtbaren Bereich stellt er auf einem Beobachtungsschirm drei intensive Linien fest, eine gelbe mit der Wellenlänge 578 nm, eine grüne mit 492nm und eine blaue mit 436nm. a)Erklären Sie, weshalb eine Quecksilberdampflampe ein Linienspektrum emittieren kann. Bei Verwendung eines Gitters mit 400 Spalten pro Zentimeter beobachtet der Kollegiat, dass die drei sichtbaren Linien des Spektrums 2. Ordnung nicht mit denen des Spektrums 3. Ordnung b)Zeigen Sie, dass dies unabhängig von der Gitterkonstanten gilt. c)Der Kollegiat ersetzt den Beobachtungsschirm durch seinen weißen Hemdsärmel und bemerkt nun eine neue blau erscheinende Linie, die mit der gelben Linie im Spektrum 2. Ordnung zusammenfällt. Welche Wellenlänge hat die neue Linie, wenn man annimmt, dass diese Linie in 3. Ordnung erscheint? Erklären sie das Auftreten der neuen Linie.

Aufgaben Auflösungsvermögen des Gitters
Laut Formelsammlung besteht die beobachtete gelbe Linie aus zwei nahe beieinander liegenden Einzellinien. Kann der Kollegiat diese beiden Linien im Spektrum 2. Ordnung getrennt beobachten, wenn er das feinste Gitter benützt, das ihm zur Verfügung steht? Dieses Gitter hat die Breite 5,0 mm und die Gitterkonstante 3,5 mm. [Hinweis: Für das Auflösungsvermögen eines optischen Gitters gilt: Dabei bedeuten k die Ordnung des Spektrums, N die Anzahl der beleuchteten Gitterspalte und Δλ den kleinsten beobachtbaren Wellenlängenunterschied.]

Aufgaben Auflösungsvermögen des Gitters Lösung
a)Linienspektren sind dann zu erwarten, wenn die angeregten Atome relativ ungestört sind, d.h. keine Druckverbreiterung, kein Einbau in Festkörper oder Einbau in Verbindungen vorliegt. In der Quecksilber-dampflampe erfolgt die Anregung von freien Quecksilberatomen durch Elektronenstoß. Da die Energiestufen im ungestörten Hg-Atom diskret sind, werden beim Übergang in energetisch günstigere Zustände Photonen mit diskreten Energien ausgesandt. Dies äußert sich in einem Linienspektrum, bei dem nur elektromagnetische Strahlung mit bestimmten Wellenlängen vorkommt. b) Für den Gangunterschied Δ s gilt für das Maximum k-ter Ordnung: Δ s = k · λ oder b· sinα = k· λ. Hieraus sieht man, dass bei einer bestimmten Ordnung das Licht mit größerer Wellenlänge am weitesten abgelenkt wird. Berechnung des Gangunterschiedes benachbarter Strahlen der am weitesten von der optischen Achse entfernten Linie im Spektrum 2. Ordnung: Δ s = 2 · λ gelb => Δ s = 2 · 578 nm = 1,2m m

b) Berechnung des Gangunterschiedes benachbarter Strahlen der am wenigsten von der optischen Achse entfernten Linie im Spektrum 3. Ordnung: Δ s* = 3 · λ blau => Δ s = 3 · 436 nm = 1,3m m Man sieht, dass Δ s < Δ s* ist und somit auch α 2, gelb < α 3, blau. Bei dieser Betrachtung spielte die Gitterkonstante keine Rolle, also kann man allgemein davon ausgehen, dass sich bei Quecksilber die deutlich sichtbaren Spektren 2. und 3. Ordnung nicht überlappen. c) Berechnung der Wellenlänge der neuen Linie: 2 · λ geb = 3 · λ neu => Die neue Linie liegt im ultravioletten Bereich des elektromagnetischen Spektrums. Die "Weißmacher" im Hemd wandeln das nicht sichtbare ultraviolette Licht in sichtbares Licht um (Fluoreszenz).

d)Aus der Formelsammlung kann man entnehmen, dass die Wellenlängen des gelben Lichts bei Quecksilber λ gelb,1= 579,1nm und λ gelb,2= 577,0 nm sind. Es gilt also Δλ * = 2,1nm. Maximalzahl der beleuchteten Spalte N: Berechnung des Wellenlängeunterschieds Δλ , der mit dem vorhandenen Gitter noch auflösbar ist: Man sieht, dass der Kollegiat mit seiner Anordnung die beiden gelben Linien trennen könnte.

Aufgaben Farben dünner Schichten – Öl auf Wasser
Dünne Ölschichten auf Wasser schimmern bei Tageslicht in verschiedenen Farben. Zur Erklärung wird Licht betrachtet, das unter dem Winkel a auf eine Ölschicht der Dicke d fällt. Erläutern Sie mit Hilfe der neben-stehenden Zeichnung das Zustan-dekommen der Interferenz bei Reflexion. Geben Sie den optischen Gangun-terschied Δs der parallelen Strah-len 1 und 2 mit den Bezeichnun-gen aus der Zeichnung an. Verwenden Sie dabei, dass Was-ser optische dichter ist als Öl und dass die optische Weglänge gleich dem Produkt aus geometrischer Weglänge und der Brechzahl ist.

Aufgaben Farben dünner Schichten – Öl auf Wasser
Die mathematische Auswertung des in Teilaufgabe 3a verlangten Ansatzes liefert (Herleitung nicht erforderlich). b)Erklären Sie, weshalb die Ölschicht bei Tageslicht farbig schimmert. c)Auf einer Wasserpfütze hat sich Öl mit der Brechzahl n = 1,20 in einer 560 nm dicken Schicht ausgebreitet. Für welche Einfallswinkel wird grünes Licht der Wellenlänge 510 nm unterdrückt?

Aufgaben Farben dünner Schichten – Öl auf Wasser Lösung
a) Der Gangunterschied der beiden Strahlen 1 und 2 ist s: n: Brechzahl von Öl (n > 1) Da beide Strahlen am optisch dichteren Medium reflektiert werden, egalisieren sich die beiden dabei auftretenden Phasensprünge. Auf die Ölschicht trifft weißes Tages-licht (Licht in dem alle "sichtbaren Frequenzen" vorkommen). Durch die Interferenz an der Ölschicht kommt es – abhängig vom Winkel α - für bestimmte Frequenzen zu destruk-tiver Interferenz, d.h. diese Frequen-zen fehlen im reflektierten Licht, so dass sich in Reflexion nicht mehr weißes Licht ergibt.

c) Bedingung für destruktive Interferenz: Berechnung der Winkel, bei denen grünes Licht unterdrückt wird:

c) Für k = 1 ist sinα1 > 1, also keine Auslöschung möglich. Für k = 2 gilt: Für k = 3 gilt: Für k = 4 wird der Radikand negativ!

Aufgaben Farben dünner Schichten Aufgabe:
a) Auf einer Wasserpfütze (nw = 1,33) schwimmt ein dünner Ölfilm (nöl = 1,40). Weißes Licht fällt nahezu senkrecht auf den Ölfilm. Bei der Beobachtung in Reflexion hat man von der Ölschicht einen "gelblichen" Farbeindruck, da blaues Licht (λ = 469nm) durch Interferenz eliminiert wird. Zeichnen Sie die für die Interferenz maßgeblichen Strahlen ein und berechnen Sie die kleinste von Null verschiedene Dicke der Ölschicht, damit der geschilderte Effekt eintritt. Auf einer Wasserpfütze (nw = 1,33) schwimmt ein dünner Ölfilm (nöl = 1,40). Weißes Licht fällt nahezu senkrecht auf den Ölfilm. Bei der Beobachtung in Reflexion hat man von der Ölschicht einen "gelblichen" Farbeindruck, da blaues Licht (λ = 469nm) durch Interferenz eliminiert wird.

Aufgaben Farben dünner Schichten
b)Tatsächlich erscheint die Ölschicht in verschiedenen Farben. Was könnte hierfür der Grund sein? c)Das nebenstehende Bild zeigt eine mit weißem Licht bestrahlte Seifenhaut vor dunklem Hintergrund, die sich schon einige Zeit zwischen einem Drahtrahmen befindet. Erklären Sie die Farbschichtungen im unteren Teil der Seifenhaut qualitativ. Gehen Sie auch darauf ein, warum die Seifenhaut kurz vor dem Abreißen im oberen Teil schwarz erscheint.

Aufgaben Newtonsche Ringe Aufgabe:
Bei nebenstehendem Foto von war der Abstand vom Newtonglas zur Abbildungslinse g = 15 cm, der Abstand Abbildungslinse zur Beobachtungswand b = 3,00 m. Der Krüm-mungsradius der Linse ist R = 3,0 m, der eingefügte Maßstab hat cm-Einteilung. 1.Bestimme die Radien der 2. und 3. roten Ringes auf dem Bild und die zugehörigen Originalradien. 2.Wodurch kommen die farbigen Ringe zustande? 3.Bestimme den effektiven Wegunterschied zweier interferierender Lichtstrahlen im Abstand r vom Kreismittelpunkt. 4.Bestimme daraus die Wellenlänge des roten Lichts.

Aufgaben Linsenvergütung Aufgabe:
Man kann die Lichtreflexion einer Glasoberfläche stark herabsetzen, wenn man die Oberfläche mit einer dünnen ein- oder mehrlagigen Schicht aus transparentem Material von geeignetem Brechungsindex überzieht. Die an den Schichtgrenzen reflektierten Wellen können sich praktisch aufheben. Die Schichten werden im Vakuum aufgedampft.

Aufgaben Linsenvergütung Aufgabe:
Man berechne den Brechungs-index n2 und die Dicke d der Vergütungsschicht, die für senk-rechten Lichtauffall und für l = 500,0 nm Reflexions-freiheit bei Glas mit dem Brechungsindex n3 = 1,5 ergibt.

Aufgaben Licht als Welle

Klausuren 2. Klausur Jahrgangsstufe 12/2 Datum: 08. 06.09
Kurslehrer: H.Sporenberg 1. Aufgabe: Ebene Lichtwellen der Wellenlänge fallen senkrecht auf einen Doppelspalt. Die beiden Spaltöffnungen sind so eng, dass man sie als Zentren von Elementarwellen ansehen kann. Die Entfernung der entsprechenden Spaltkanten sei g = 0,4 mm. In der Entfernung e = 1,8 m befindet sich hinter dem Doppelspalt ein zu ihm paralleler Schirm. a) Unter welchen Winkeln  zur ursprünglichen Ausbreitungs-richtung des Lichtes erscheinen helle bzw. dunkle Streifen auf dem Schirm? Skizzieren Sie die Versuchsanordnung und leiten Sie eine allgemeine Gleichung für  her. b) Zwei benachbarte helle Streifen auf dem Schirm haben für kleine Werte von  die Entfernung d1 = 2,5 mm. Berechnen Sie die Wellenlänge .

Kurslehrer: H.Sporenberg 2. Aufgabe: Im Licht einer Quecksilberhochdrucklampe sind die Wellenlängen 1 = 578 nm (gelb) und 2 = 436 nm (blau) besonders intensitätsstark. Dieses Licht fällt auf ein optisches Strichgitter mit 350 Spalten je 1 cm Gitterbreite. a) Leiten Sie die Beziehung für das Auftreten der Maxima am Gitter her. Geben Sie auch eine Skizze der Versuchsanordnung an. a) Welche Ordnung n hat diejenige gelbe Linie, die mit der blauen Linie der Ordnung (n+1) praktisch zusammenfällt? b) Welcher Beugungswinkel liegt für den unter a) betrachteten Fall vor? Berechnen Sie diesen Beugungswinkel für die gelbe und die blaue Linie zur Kontrolle der Übereinstimmung getrennt. c) Hinter dem Gitter befindet sich in der Entfernung e = 2,25 m ein Schirm, auf dem die gelben und die blauen Linien beobachtet werden können. In welchem Abstand von der Symmetrieachse der Beugungsfigur befindet sich die unter a) betrachtete gelbe bzw. blaue Linie?

Kurslehrer: H.Sporenberg 3. Aufgabe: Auf einen Spalt der Breite 0,4 mm fällt einfarbiges paralleles Licht. Auf der anderen Seite des Spaltes steht im Abstand 3,2 m parallel zur Spaltebene ein Schirm, auf dem Beugungsstreifen beobachtet werden. a) Für die den zentralen hellen Streifen einschließenden dunklen Streifen wird ein Abstand von 8,6 mm gemessen. Berechnen Sie die Wellenlänge und die Frequenz des benutzten Lichtes. b) Der Spalt wird auf 0,2 mm Breite verengt. Berechnen Sie, wie sich dies auf die Breite des zentralen hellen Streifens auswirkt.

Kurslehrer: H.Sporenberg 4. Aufgabe: Das Spektrum einer Helium-Spektrallampe soll mit Hilfe eines Beugungsgitters (100 Spalte pro mm) erzeugt werden. Zur Beobachtung des Spektrums befindet sich in 1,0 m Entfernung ein Schirm. a) Erstellen Sie eine beschriftete Skizze eines geeigneten Versuchsaufbaus. b) Auf dem Schirm ist in 1. Ordnung unter anderem eine gelbe Linie zu sehen, die vom zentralen Maximum 5,9 cm entfernt ist. Berechnen Sie die Wellenlänge dieser Linie. c) Auf dem Schirm treten auf derselben Seite bezüglich des zentralen Maximums die Spektrallinien zweiter Ordnung des roten Lichts (λrot = 667,8 nm) und des violetten Lichts (λviolett = 402,6 nm) auf. Berechnen Sie den gegenseitigen Abstand dieser Linien.

Klausuren 2. Klausur - Lösung 1.Aufgabe: a)
Der Gangunterschied d spielt für die Maxima bzw. Minima die entscheidende Rolle Für die Maxima gilt: Für die Minima gilt:

Klausuren 2. Klausur - Lösung 1. Aufgabe: b)
Für die Wellenlänge ergibt sich:  = 555 nm

Da die beiden Linien übereinander liegen sollen, müssen die Winkel und damit auch der jeweilige Sinus gleich sein.

Klausuren 2. Klausur - Lösung 2. Aufgabe: c)
Man benutzt die in b) aufgestellten Formeln für n = 3. Es ergibt sich für: n (gelb) = 3,479o n+1 (blau) = 3,499o

Klausuren 2. Klausur - Lösung 2. Aufgabe: d)
Die Abstände müssen für gelb (n=3) und blau (n=4) gleich sein. Dieses war bei c) so ausgerechnet worden. Ein kleiner Unterschied ergibt sich jedoch, wie man aus der Winkelberechnung getrennt nach gelb und blau sehen kann. Es ergibt sich für: x3 (gelb) = 0,1368 m x4 (blau) = 0,1376 m

Klausuren 2. Klausur - Lösung 3. Aufgabe: a)
Man benötigt die Gleichung für Interferenz am Einzelspalt. Die Bedingung für destruktive Interferenz (Minima) lautet: Für die Wellenlänge bzw. Frequenz erhält man:  = 537,5 nm f = 1,861015 Hz b) Halbiert man die Spaltbreite bei gleicher Wellenlänge, so verdoppelt sich der Abstand der Minima.

Setzt man die angegebenen Werte ein, so erhält man:  = 588,97 nm c) Für die rote Linie erhält man als Abstand von der Mitte: xk(rot) = 0,1347 m und xk(violett) = 0,08098 m. Die Differenz ist dann: d = 0,05378 m

Die Schwingung Unter einer (mechanischen) Schwingung eines Körpers versteht man eine unter der Einwirkung einer Rückstellkraft um eine Gleichgewichtslage.

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