... mit uns können Sie rechnen!

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1 ... mit uns können Sie rechnen!
KURZPROGRAMM Basic-modul ... mit uns können Sie rechnen! Gernot Mühlbacher Rechnen mit Bruchzahlen Multiplikation, Division Wollen Sie auch werben? Die Kurzprogramme kannst du kostenlos herunterladen: © Gernot Mühlbacher Ohne schriftliche Einwilligung des Autors sind Kopien jeglicher Art bzw. das Einstellen in ein Netzwerk nicht erlaubt. Für meine Enkel Moritz, Matthis, Greta und Zoe

2 Einen ausgiebigen Übungsteil findest du im master-module
Was Du zu diesem animierten Kurzprogramm (basic-modul) wissen solltest: INFO bekannt? ... gleich starten: Den Kurzprogrammen zum Bruchrechnen liegt das umfangreiche msaster-modul „Bruchrechnen I“ zugrunde: >Bruchrechnen I.ppsx< umfang-reich Dieser große Themenbereich ist zur sinnvollen Nutzung nicht für alle Tablet-Rechner gut geeignet. Er besteht aus: 15 animierten Folien (ohne Titelblatt, Stichwort-verzeichnis und allgemein gehaltenen Beiblättern) Arbeitsblättern (AB) für diese Folien (zum Ausdruck) 15 entwickelten Folien (EF) (zum Ausdruck und Sammeln) Durch Aufteilung entstanden drei Kurzprogramme (basic-modules): Einen ausgiebigen Übungsteil findest du im master-module Bruchrechnen II.ppsx Bruchzahlen.ppsx 1 2 Add./Subtr, v.B..ppsx 3 Mult./Div. v.B..ppsx Das nachfolgende vierte Kurzprogramm (basic-module) fußt auf den master-modules > Größen I und II <: 4 Dezimalbrüche.ppsx Zwar sind sowohl master-modules als auch basic-modules auf PC/Laptop und Tablet-Rechnern technisch lauffähig ... ... aber nicht immer flott! Die umfangreichen master-modules und auch die basic-modules kannst Du herunterladen auf der Website ‚ (Verzeichnis‘Downloades‘

3 I Der Bruch als Teil eines Ganzen
Auf dem Weg zur nächsten Regel Ein weiteres Beispiel: (zugegeben: nicht ganz leicht zu verstehen) Als Preis waren drei Lakritzenstangen ausgesetzt. Wettrechnen: Julia gewinnt gegen Peter. Von einer Tafel Schokolade sind noch vier Fünftel übrig. (4/5) 10 cm Ein Fünftel ist gegessen! Vorher wurde vereinbart: 3/5 1/5 1/5 Sieger: Gewinnt drei Fünftel von allen drei Stangen. Verlierer: Gewinnt nur zwei Fünftel von allen drei Stangen. Drei Viertel von vier Fünfteln. 1/5 1/5 1/5 Rest 4/5 1/5 1/5 Wie verteilt die Lehrerin die drei Stangen? 1/5 1/5 Ina Vorschlag: Die Lehrerin schneidet jede einzelne Stange in fünf Teile. Dann lässt sie Julia je 3 Teile und Peter je 2 Teile abwechselnd nehmen. Andere Idee: Die Lehrerin rechnet kurz, nimmt das Lineal zur Hand und misst. Mit einem Schnitt teilt sie die drei Stangen auf einmal. gegessen Bruder 1/5 „Drei Viertel vom Rest bekomme ich!“ Ina sagt zu ihrem jüngeren Bruder: I Der Bruch als Teil eines Ganzen (Folie 4) II Der Bruch als Teil mehrerer Ganzen (Folie 5) Grübel! Grübel! 1/5 1/5 1/5 „Drei Viertel von vier Fünfteln? “ Kern des Problems 9/5 Julia 2 cm Jetzt Arbeitsblatt ! Kannst du das Ergebnis im Bild abzählen? Wie viele Teilchen haben sie jeweils am Schluss?  Arbeitsblatt! 1/5 4 cm 6/5 Peter Wenn du das Ergebnis jetzt wissen willst,.. KLICK ! Inas Anteil entspricht drei Fünftel (3/5) der ehemals ganzen Tafel. Zur Kontrolle: KLICK ! Julia: Peter: Julia: 9/5 neun Fünftel Peter: 6/5 sechs Fünftel Alles klar! … mit Hilfe der Bilder. Geht das auch rechnerisch? So wird es noch deutlicher. KLICK! Kann man das auch ausrechnen?

4 Multiplikation mit Bruchzahlen
Rein rechnerisch führt eine solche Sprachwendung immer zu einer Multiplikation mit Bruchzahlen. Multiplikation mit Bruchzahlen Die vorangegangenen Beispiele hatten etwas Gemeinsames: Immer ging es um den Bruchteil von einem Ausgangswert. Du wendest auf den Ausgangswert zuerst den Durch-Operator (Nenner) an Ausgangswert 3 • Multiplikator ... der Mal-Operator (Zähler) gibt dann an, wie viele Teile du davon nimmst. 5 Unsere Beispiele von vorher: Rechen-aufgabe: Ausgangs-wert: Multipli-kator: Sprache: Die Lösung 3/5 war auf der vorigen Folie durch Nachdenken ganz schön schwer zu erreichen! übersetzen in eine Die Lösungen gelingen durch Anwenden der Rechenregel leicht. „Drei Fünftel von drei“ 3 • 3/5 = ganze Zahl • Bruchzahl „Zwei Fünftel von drei“ 3 • 2/5 = ganze Zahl • Bruchzahl „Drei Viertel von vier Fünfteln“ 4/5 • 3/4 = Bruchzahl • Bruchzahl Für das Rechnen im Alltag hat die Fähigkeit, Sprache in eine Rechenaufgabe zu übersetzen, eine große Bedeutung! Ebenso der Rückweg: Rechenaufgabe  Sprache Das praktische Rechnen: Eine ganze Zahl kannst du jederzeit als Bruch denken: Erinnerst du dich an das Problem mit dem Verteilen des 4/5 -Restes der Schokolade? Kürzen! Dies gilt auch, falls du die Faktoren vertauscht hättest. Die Regel gilt auch, wenn mehr als zwei Bruchzahlen mit einander multipliziert werden sollen. 3/8 • 2/7 • 1/3 • 6/21 = 1/98 Prüfe nach! Für den Fall, dass eine ganze Zahl als Faktor auftritt, vereinfacht man deshalb meist die Regel ( Folie 16) Kurz: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner Achtung! Verwechsle nicht mit Erweitern! 3 15

5 Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner
Sonderfall: … und wenn ich mit einer ganzen Zahl multiplizieren soll? Der allgemeine Fall: (ist dir bereits bekannt) Wenn du irgendwann unsicher sein solltest, dann denke daran, dass man jede ganze Zahl auch als Bruchzahl schreiben kann: Kürzen! :2 Das Kürzen könnte schon früher geschehen! 4 1 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 Kürzen! :2 1/8 1/8 1/8 1/8 Auch hier hättest du schon früher kürzen können! Welcher frühere Zeitpunkt wäre möglich? KLICK! Dies gilt auch bei vertauschten Faktoren! 4 1 Besser ist es, gleich zu kürzen! Aus Produkten darfst du jeweils einzelne Teilfaktoren kürzen. Aus Strichrechnungen jedoch nicht! Hier geht es nach der Regel „Bruch mal Bruch“: Zähler mit der ganzen Zahl multiplizieren, Nenner belassen! Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner

6 indem man die erste Bruchzahl belässt und
Division Die rechnerische Lösung führt über die Fragestellung: „Wie oft sind 150 ml in 750 ml enthalten?“ Bruch durch Bruch In einer Liter-Flasche sind 750 ml feines Olivenöl. Ein Gastwirt will kleine Karaffen mit je 150 ml auf die Tische verteilen. Wie viele solche Karaffen kann er abfüllen? … und diese Frage führt rechnerisch immer zu einer Division: Das kannst du ja im Kopf rechnen!  Arbeitsblatt (AB) Dann KLICK! 750 ml : 150 ml = 5 Wir können die Ölmengen auch als Bruchteile des ganzen Liters (1000 ml) angeben. Arbeitsblatt! Dann KLICK! Schreibe jetzt diese Rechnung als eine typische Bruchrechenaufgabe!  AB Kern unseres Problems! : Bruchzahl Bruchzahl Wir kennen das richtige Ergebnis: die Zahl 5. Wie errechnen wir sie jetzt? Aus dem • 3-Operator wird ein :3-Operator. Wir erinnern uns: Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation. Also kehren wir die Operatoren beim 2. Bruch (Divisor) mal um: Aus dem :20-Operator wird ein •20-Operator. 1 5 1 Aus dem Dividieren wird so rückwärts ein Multiplizieren: (Regel bekannt: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner) = 5 Problem behoben. Zwei Bruchzahlen dividiert man, indem man die erste Bruchzahl belässt und mit dem Kehrwert (Kehrbruch) der zweiten Bruchzahl multipliziert. Ganze Zahlen kannst du jederzeit als Bruchzahlen schreiben (oder zumindest denken). Also gilt die Regel auch hier: Wie reagierst du, wenn statt einer der Bruchzahlen eine ganze Zahl auftritt?  AB 9 2

7 Die vier Bruchrechenregeln musst du zu jeder Zeit parat haben:
Additieren Gleichnamige Bruchzahlen addiert man, indem man die Zähler addiert und den gemeinsamen Nenner belässt. zuerst gleichnamig machen!“ Denke aber daran: „Immer Subtrahieren Gleichnamige Bruchzahlen subtrahiert man, indem man die Zähler subtrahiert und den gemeinsamen Nenner belässt. Multiplizieren Zwei (oder mehrere) Bruchzahlen multipliziert man, indem man alle Zähler und dann alle Nenner mit einander multipliziert. Also: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner Dividieren Zwei Bruchzahlen dividiert man, indem man die erste Bruchzahl belässt und mit dem Kehrwert (Kehrbruch) der zweiten Bruchzahl multipliziert. Also: „Immer zuerst den Kehrbruch der zweiten Bruchzahl (= Divisor) bilden!“ Umfangreiche Übungsaufgaben findest du im eLearning-Modul „Bruchrechnen II“. Hier ist jetzt eine intensive Übungsphase unerlässlich.

8 Lernen ist mehr als Verstehen!
BRUCHRECHNEN II Was erwartet uns? Mit den vier wichtigen Bruchrechenregeln wollen wir uns jetzt intensiv beschäftigen! Wenn du verstanden hast, dass die Regeln zu Recht gelten, dann kannst du noch lange nicht sicher mit ihnen umgehen. Wir wollen deshalb … Der Lernvorgang ist erst dann beendet, … Beispiele rechnen. … typische Fallen vermeiden. … auf häufig auftretende Rechenfehler hinweisen. wenn du nach dem ersten Verstehen auch später noch sicher und flüssig mit dem neu Gelernten umgehen kannst! … typische Denkfehler vermeiden. … Ergebnisse im Voraus abschätzen, damit wir am Ende der Aufgabe erkennen können, ob wir auch richtig gerechnet haben. … Lösungswege vergleichen. 2 Wähle dazu das eLearning-modul „Bruchrechnen II“ Diese Phase der Übung und Vertiefung ist besonders wichtig!

9 Verändertes Verhalten
© 2014 Gernot Mühlbacher Wie soll ich mir einen Lernvorgang vorstellen? All dein Wissen und alle Erfahrungen, die du bisher gemacht hast, sind in deinem Gehirn gespeichert. Ohne Abspeichern läuft nichts! So entsteht dein ‚Bewusstsein‘. Es ist das Ergebnis vorangegangener Lernschritte. Lernen beginnt ja schon mit der Geburt! Lernen ist (nur) dann ein erfolgreicher Vorgang, wenn es zu einer (möglichst bleibenden) Änderung deines Verhaltens führt. Beispiel: Beim Fangen eines Balles öffnest du deine Hände und beugst die Ellenbogen. Dieses Verhalten erlernst du zum Beispiel durch Hinweise und häufiges Üben im Training des Handballvereins. Vergleiche die Aussagen im Text mit der bildlichen Darstellung! auf dem bestehenden Bewusstsein (Wissen, Erfahrung) aufbauend durch Verknüpfung mit neuen Reizen (Informationen) Ein neuer LERNSCHRITT Neue Informationen Umwelt z.B. Unterricht zeigt sich in Form von: neuem Wissen, neuen Erfahrungen, neuen Fertigkeiten, neuen inneren Haltungen / Einstellungen Verändertes Verhalten Ver- knüp- fung und / oder Frage: Was müssen wir tun, um zu einer möglichst bleibenden Verhaltensänderung, also zu erfolgreichem Lernen zu gelangen? Lernen ist mehr als nur Verstehen! Der neu erkannte Sachverhalt (das neu erworbene Wissen) wird immer wieder hinterfragt und bearbeitet und erst durch dieses Wiederholen gefestigt. Wenn diese Vernetzung unterbleibt, dann kann kein weiteres Lernen darauf aufbauen. Der neue Lernschritt ist erst abgeschlossen, wenn das neue Wissen und die neuen Erfahrungen im bisher bestehende Bewusstsein fest eingebunden (gespeichert) sind.