Kinematik.

Kinematik

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Inhalt [v] Einheiten v als Vektor v im Diagramm Mittleres v Beschleunigung Erdbeschleunigung 𝒗  𝒗 a g Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello

Geschwindigkeit [v] 𝒗 v= 𝑠 𝑡 v=𝑥 𝑘𝑚 ℎ allgemein  𝒗 Lichtgeschwindigkeit Das Licht legt in 1 s km zurück. Die Entfernung Erde-Sonne beträgt ca. 150 Millionen km. Welche Zeit benötigt das Licht von der Sonne zur Erde? a g t = 8 min 20 s Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Geschwindigkeit [v] v=𝑥 𝑘𝑚 ℎ allgemein v= 𝑠 𝑡 𝒗 „gleichförmige“ Bewegung  v = const. „beschleunigte“ Bewegung  v  const.  𝒗 v= 𝑠 𝑡 kleine  v= 𝑑𝑠 𝑑𝑡 a „“ steht für diskrete Unterschiede, Beispiel: p = mbar – 1,008 mbar g „d“ steht für kaum noch wahrnehmbare Unterschiede, Beispiel: Tendenz der Luftdruckänderung im Laufe der Zeit dp/dt Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Geschwindigkeit 𝒗 𝒗 a g  [v] Beispiel:Schwingung s(t) = Asin()
ableiten v(t) = Acos()  Zum Zeitpunkt t zurück gelegter Weg Zum Zeitpunkt t erreichte Geschwindigkeit 𝒗 a g Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Einheiten [v] Einheiten Wie rechnet man 100 km/h in m/s um? Wie rechnet man 100 m/s in km/h um? 𝒗  𝒗 a g Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

v als Vektor [v] Floß Ein Holzfäller geht mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s über sein Floß, und damit senkrecht zur Bewegung des Floßes relativ zum Ufer. Das Floß bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 2,5 m/s relativ zum Ufer flussabwärts. Wie groß ist die Geschwindigkeit des Holzfällers relativ zum Flussufer? 𝒗  𝒗 a g v = 2,69 m/s bei  = 21,8° Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

v als Vektor [v] Flugzeug im Wind vR 𝒗 Ein Flugzeug, das (laut GPS) mit 660 km/h in Richtung NW fliegt, befindet sich in einem Wind, der mit 93 km/h in nördliche Richtung weht.  vW 𝒗 a Die Längsachse des Flugzeugs ist dabei auf 141,315° eingestellt. Ermitteln Sie den Betrag der Geschwindigkeit, den das Flugzeug bei Windstille hätte. g vF v = 597,9 km/h bei 141,3° Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

v im Diagramm Im Rahmen einer Verkehrsunfallanalyse stellt der Unfall-Rekonstrukteur die Annäherungen aller beteiligten Fahrzeuge und Personen in einem Weg-Zeit-Diagramm dar. [v] 𝒗 Im s-t-Diagramm hat der Anstieg des Graphen die Bedeutung der Geschwindigkeit an der betreffenden Stelle.  𝒗 a g Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

v im Diagramm [v] Wie könnte das Weg-Zeit-Diagramm einer Straßenbahn aussehen? 𝒗  𝒗 a g orangene Kurve Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

v im Diagramm [v] Kollision 𝒗 Ein Radfahrer startet am Ort A um 10:00 Uhr und fährt gleichförmig mit 20 km/h zum 40 km entfernten Ort B. Ein Mopedfahrer startet um 10:45 Uhr in A und fährt gleichförmig mit 40 km/h nach B. Die beiden kollidieren versehentlich miteinander. Zu welcher Uhrzeit kollidieren die beiden? An welchem Teil der Strecke kollidieren sie?  𝒗 a g Ergebnisse: um 11:30 Uhr s = 30 km Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Mittleres v [v] Berechnung Die mittlere Geschwindigkeit berechnet man, indem man die gesamte Fahrtstrecke durch die gesamte Reisedauer teilt: 𝒗  𝒗 𝑣 = 𝑥3−𝑥1 𝑡3−𝑡1 = 𝑥𝑔𝑒𝑠 𝑡𝑔𝑒𝑠 a g Bei Hin- und Rück-Fahrten wird der Abstand also doppelt gezählt, und durch die gesamte Fahrzeit geteilt. A B t1 t2 s Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Mittleres v [v] Santiago 𝒗 Ein Wanderer läuft von Köln nach Santiago de Compostela (Pilgerziel in Nord-Spanien). Die Entfernung beträgt km, die Wander-Dauer liegt bei 110 Tagen. Dort angekommen, nimmt er den Flug zurück, für den er nur 2 Stunden benötigt. Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit?  𝒗 a g 2,27 km/h Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Mittleres v [v] Dampflok 𝒗 Eine Dampflok für Touristen benötigt vom Tal hoch zum 13 km entfernten Pass 25 Minuten, bewältigt die Strecke zurück jedoch in nur 11 Minuten. Wie hoch ist ihre Geschwindigkeit bergauf? Geschwindigkeit bergab? mittlere Geschwindigkeit?  𝒗 a 31,2 km/h g 70,9 km/h 43,33 km/h Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Beschleunigung Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello

Beschleunigung 𝒗 a= 𝑣 𝑡  𝒗 a g Was ist eine Beschleunigung?
[v] Was ist eine Beschleunigung? Sie beschreibt, wie groß die Änderung von v pro Sekunde ist: Beispiel: Ein Motorrad beschleunigt von 0 auf 100 in 13,3 s. Wie groß ist die Änderung v in m/s ? Wie groß ist die Änderung von v pro Sekunde? Wie groß ist die Beschleunigung? 𝒗 a= 𝑣 𝑡  𝒗 a 27,78 m/s g 2,089 m/s 2,089 m/s² Tipp: „Beschleunigung“ durch „Geschwindigkeits-Änderung“ ersetzen Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Beschleunigung Gleichmäßig beschleunigte Bewegung Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello

Beschleunigung [v] LKW 𝒗 Ein LKW beschleunigt von 0 auf 100 km/h in 25 s. Wie groß ist der Geschwindigkeitszuwachs pro Sekunde? seine Beschleunigung?  𝒗 1 m/s a g 1 m/s² Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Beschleunigung [v] Differenzieren Integrieren 𝒗  𝑠 = 1 2 𝑎 𝑡 2 +𝑣0𝑡+𝑠0 𝑑𝑡 𝑠 = Strecke 𝑑 𝑑𝑡 𝒗 𝑣= 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 𝑠 a 𝑣 =𝑎𝑡+𝑣0 𝑑 𝑑𝑡 𝑑𝑡 g 𝑎= 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑎 = Beschleunigung 𝑣 = 2∙𝑎∙𝑠+ 𝑣 0 2 „Zeitlose Formel“ Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Beschleunigung Ferrari Ein Ferrari wird in 2s auf einer Strecke von 12 m bei gleichmäßigem Bremsen zum Stillstand gebracht. Welche Anfangsgeschwindigkeit besaß er? Welche Verzögerung wird dabei von den Bremsen erzeugt? Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello

Beschleunigung [v] Wie groß sind die Beschleunigungen in den Diagrammen? 𝒗  𝒗 a g Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Beschleunigung [v] Diagramm zeichnen Wie sieht zu folgendem v-t-Diagramm das s-t-Diagramm aus? 𝒗  𝒗 0s - 4s: n.o. geöffnete Parabel, 4s - 6s: steigende Gerade, 6s - 9s: n.u. geöffnete Parabel, ab 9s: waagerechte Gerade a g Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Kinematik [v] Ein Körper bewegt sich gleichförmig, wenn er in jeder Sekunde den gleichen Weg zurück legt, für jede Strecke derselben Länge dieselbe Zeit braucht, für seine Bewegung gilt: s  t 𝒗  Welche Grafik gibt die Bewegung eines Autos, das mit einer konstanten Geschwindig-keit von 180 km/h fährt, wieder? 𝒗 a g Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Erd-beschleunigung Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello

Erdbeschleunigung 𝑎 g 𝑚 𝑠 𝑣 v Freier Fall von Kugeln Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello

Erdbeschleunigung Ein Fallschirmspringer, der aus einem Flugzeug in Bauchlage Richtung Erde springt, würde im Freien Fall nach 300 Metern eine Höchstgeschwindigkeit von ca km/h erreichen. Eine Änderung von Bauchlage in Kopfsprung erhöht die Fallgeschwindigkeit: man erreicht nach 600 Metern ca. 300 km/h. Baumgartner stieg am 14. Oktober 2012 mit einem Heliumballon in einer Druckkapsel in die Stratosphäre auf eine Höhe von 39 km. Er erreichte mit 1357,6 km/h die bisher größte im freien Fall erreichte Geschwindigkeit Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello

Erdbeschleunigung Freier Fall Die Mafia in New York mordet nicht. Sie ist höchstens Ursache mancher „Unfälle“. So „fiel“ kürzlich ein möglicher Zeuge von einem 120 m hohen Gebäude. Um welchen Betrag erhöhte sich dabei seine Geschwindigkeit in einer Sekunde? Welche Geschwindigkeit hatte er nach 2s ? Mit welcher Geschwindigkeit sollte er starten, damit er schon nach 2s unten aufschlägt? um 9,81 m/s 19,62 m/s mit 50,2 m/s Translation, Kinematik Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Erdbeschleunigung [v] Der freie Fall ist eine gleichmäßig beschleunigte / gleichförmige Bewegung. Seine Beschleunigung heißt Fall- /Erd-/ universelle Beschleunigung und wird mit bezeichnet. 𝒗 g  𝒗 An derselben Stelle der Erde haben verschiedene Körper dieselbe Fallbeschleunigung. Die Fallbeschleunigung ist aber an den verschiedenen Breitengraden verschieden und zwar am Äquator am kleinsten, an den Polen am größten. Warum? a g Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Freier Fall auf dem Mond
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Erdbeschleunigung [v] Körper fallen (ohne Luftwiderstand) dann nicht gleich schnell zu Boden, wenn Sie gleich groß u. verschieden schwer sind verschieden groß, aber gleich schwer sind Sie fallen immer gleich schnell. Die Kugeln, die nacheinander fallen gelassen werden, formen eine Kurve. Wie heißt eine solche Kurve? Parabel Warum bilden die fallenden Kugeln keine Gerade? Weil mit der Fallzeit auch die Geschwindigkeit jeder Kugel wächst. Welche Kurve ergäbe sich, wenn man nur eine Kugel fallen ließe und ihre Bewegung in einem s-t-Diagramm aufzeichnete? Eine Parabel: s = ½ gt² + … 𝒗  𝒗 a g Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Übungs-Aufgaben Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

v als Vektor Flughafen in N-Richtung Ein Flugzeug soll einen Flughafen im km entfernten Norden anfliegen. Die Reisegeschwindigkeit des Flugzeugs über Grund bei Windstille beträgt 800 km/h. Während des Fluges herrscht ein konstanter Wind von 50 km/h aus Richtung NW. Wie groß wäre die Ost- abweichung vom Zielort nach der regulären Flugzeit - ohne Kurskorrektur? Nach Ablauf der regulären Flugzeit nimmt der Pilot eine Kursänderung vor. Er steuert das Ziel direkt an. Mit welcher Verspätung wird der Zielflughafen erreicht? 88,39 km 10 Min. Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello

Mittleres v Zug mit Teilstrecken a) 20 km, 30 km Ein Zug fährt eine 50 km lange Strecke in 45 Min. Dabei wird eine Teilstrecke mit der konstanten Geschwindigkeit von 80 km/h, die Reststrecke mit 60 km/h durchfahren. Wie groß sind die Teilstrecken? Wie groß ist die Zeit für die erste Teilstrecke? Wie sehen die zugehörigen s-t- und v-t-Diagramme aus? b) 15 Min. Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello

v im Diagramm Geheimes Treffen a) um 9:24 Uhr Um 8 Uhr startet ein Aston Martin DB5 die Fahrt von Antwerpen zum 250 km entfernten Bonn. Der Fahrer fährt mit der konstanten Geschwindigkeit 110 km/h. Von Bonn aus startet 20 Min. später eine Harley-Davidson mit der konstanten Geschwindigkeit 90 km/h. Zu welcher Uhrzeit treffen sie sich? Auf welchem Teil der Strecke? b) 154 km von Antwerpen Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello

Beschleunigung [v] Läufer 𝒗 Die besten Läufer legen 100m in 10s zurück. Angenommen, ein solcher Läufer würde gleichmäßig über die 100m beschleunigen. Wie groß wäre dann die Beschleunigung? Welche maximale Geschwindigkeit erreicht ein Läufer, wenn er den Lauf zunächst auf einer Strecke von 6 m gleichmäßig mit 5 m/s² beschleu-nigt, und dann den Rest der Strecke mit der erreichten Ge-schwindigkeit zum Ziel läuft?  𝒗 a 2 m/s² g 7,746 m/s Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello Prof. Dr. Remo Ianniello

Beschleunigung Startbahn Sie planen einen Flughafen für kleine Flug zeuge. Ein Flugzeugtyp, der diesen Flugplatz möglicherweie benutzen wird, muss vor dem Abheben eine Geschwindigkeit von mindestens 27,8 m/s (100 km/h) erreichen und kann mit 2 m/s² beschleunigen. Kann das Flugzeug die richtige Geschwindigkeit zum Abheben erreichen, wenn die Startbahn 150 m lang ist? Wenn nicht, wie lang muss die Startbahn mindestens sein? nein, ve = 24,5 m/s 193,2 m Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello Prof. Dr. Remo Ianniello

Beschleunigung Zug durch Baustelle Welche Verspätung erhält ein Zug, der eine Baustelle von 250 m Länge statt mit der normalen Fahrgeschwindikgeit von 54 km/h nur mit 18 km/h passieren darf, wenn er vorher mit der Verzögerung 0,4 m/s² bremst und danach mit der Beschleunigung 0,25 m/s² die normale Geschwindigkeit wieder aufnimmt? Bremsen: t1 = 25 s, s1 = 250 m. Baustelle: t2 = 50 s, s2 = 250 m. Beschleunigung: t3 = 40 s, s3 = 400 m Verspätung: 110 s – 60 s = 155 s Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello Prof. Dr. Remo Ianniello

Beschleunigung Zug im Tunnel Ein Zug mit der Reisegeschwindigkeit von v = 72 km/h verspätet sich um tv = 3 min beim Passieren eines Tunnels, den er mit 18 km/h durchfahren muss. Die Verzögerung bzw. Beschleunigung betragen vor bzw. nach dem Tunnel 0,2 bzw. 0,1 m/s². Wie lang ist der Tunnel? Bremsen: t1 = 75 s, s1 = 937,5 m. Beschleunigung: t3 = 150 s, s3 = 1.875 m Tunnel: t2 = 127,5 s, s2 = 637,5 m. Gesamte Strecke: sges = 3,45 km Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello Prof. Dr. Remo Ianniello

Beschleunigung Bus hält Ein Bus wird in 2s auf einer Strecke von 12 m bei gleichmäßigem Bremsen zum Stillstand gebracht. Welche Anfangsgeschwindigkeit besaß er? Welche Verzögerung wird dabei von den Bremsen erzeugt? 12 m/s 6 m/s² Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello Prof. Dr. Remo Ianniello

Beschleunigung Raketenauto Ein Fahrzeug startet und bewegt sich so, dass der zurück gelegte Weg proportional zur dritten Potenz der Fahrzeit ist. Nach 20 s beträgt der zurück gelegte Weg 400 m. Wie groß sind zu diesem Zeitpunkt die Geschwindigkeit und die Beschleunigung des Fahrzeugs? Geschwindigkeit: v(t=20s) = 60 m/s. Beschleunigung: a(t=20s) = 6 m/s². Der britische Ingenieur Richard Noble wollte einen neuen Geschwindigkeits-Weltrekord aufstellen. "Bloodhound SSC" sollte mit 1600 km/h durch die Wüste brettern. Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello Prof. Dr. Remo Ianniello

Beschleunigung Starker Bahnarbeiter Ein Bahnarbeiter schiebt einen Güterwagen von 5 t mit der Kraft 400 N aus dem Stillstand 20 m weit. Welche Geschwindigkeit hat der Wagen im Moment des Loslassens? Wie weit rollt er noch, wenn die Fahrwiderstandskraft 0,5 % der Gewichtskraft beträgt? a) m/s b) 32,625 m Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello

Beschleunigung Fahrzeug³ Ein Fahrzeug startet und bewegt sich so, dass der zurück gelegte Weg proportional zur dritten Potenz der Fahrzeit ist. Nach 20 s beträgt der zurück gelegte Weg s = 400 m. Wie groß sind zu diesem Zeitpunkt die Geschwindigkeit und die Beschleunigung des Fahrzeugs? a) 60 m/s b) 6 m/s² Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello

gleichmäßig / gleichförmig
Brunnen Sie werfen einen Stein aus h = 1,5 m Höhe und starten dabei über dem Brunnenrand mit einer Anfangsgeschwindigkeit von v0 = 2 m/s nach unten. Sie hören den Stein ins Brunnenwasser platschen und drücken die Stoppuhr. Es sind genau 4s vergangen. Wie tief ist der Brunnen? h = ½ gt² + v0t+s0 und aus h = ct h gleich setzen. p-q-Formel liefert die Zeit. Daraus folgt: h = 54,67 m Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello Prof. Dr. Remo Ianniello

Brunnenrand Ein Stein mit der Masse von 865 g wird in einen Brunnenschacht fallen gelassen. Nach 3,5 s hört man den Aufschlag auf der Wasseroberfläche. Wie tief ist der Wasserspiegel von der Brunnenoberkante entfernt? Ergebnis h = 54,69 m Translation, Kinematik II © Prof. Dr. Remo Ianniello Prof. Dr. Remo Ianniello

Geschwindigkeit einer gleichförmigen Bewegung: 𝑣 =𝑎𝑡+𝑣0 𝑠 = 1 2 𝑎 𝑡 2 +𝑣0𝑡+𝑠0 Beschleunigt zurück gelegter Weg: Erreichte Endgeschwindigkeit: 𝑣 =𝑎𝑡+𝑣0 Erreichte Endgeschwindigkeit (ohne Zeitangabe): 𝑣 = 2∙𝑎∙𝑠+ 𝑣 0 2 Translation, Kinematik © Prof. Dr. Remo Ianniello

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