Newton Verfahren.

Präsentation zum Thema: "Newton Verfahren."—  Präsentation transkript:

1 Newton Verfahren

2 Das Newton Verfahren Näherungsverfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen Anwendbar bei stetig differenzierbaren Funktionen Benannt nach Sir Isaac Newton 1669 Iteration

3 Theoretische Vorgehensweise
Die zu lösende Gleichung in die Form f(x)=0 bringen Näherungen der Nullstellen der Gleichung finden: Ausgangsstelle xn wählen Tangente bei xn bilden Nullstelle xn+1 der Tangente bestimmen Nullstelle xn+1 als neue Ausgangsstelle xn wählen  xn nähert sich der Nullstelle der Gleichung an  Iterationschritt

4 Theoretische Vorgehensweise

5 Theoretische Vorgehensweise

6 Theoretische Vorgehensweise

7 Theoretische Vorgehensweise

8 Theoretische Vorgehensweise

9 Theoretische Vorgehensweise

10 Theoretische Vorgehensweise

11 Theoretische Vorgehensweise

12 Theoretische Vorgehensweise

13 Theoretische Vorgehensweise

14 Theoretische Vorgehensweise

15 Theoretische Vorgehensweise

16 Theoretische Vorgehensweise

17 Theoretische Vorgehensweise

18 Theoretische Vorgehensweise

19 Theoretische Vorgehensweise

20 Theoretische Vorgehensweise

21 Theoretische Vorgehensweise

22 Bestimmung der Nst. der Tangente
Tangente bei xn , also im Punkt P( xn | f(xn) ): t: y = m x + b  t: y = f‘(xn) • x + b P( xn | f(xn) ) einsetzen: f(xn) = f‘(xn) xn + b  b = f(xn) – f‘(xn) • xn  t: y = f‘(xn) • x + f(xn) – f‘(xn) • xn  t: y = f(xn) + f‘(xn) • (x - xn) Tangente bei xn

23 Bestimmung der Nst. der Tangente
Nullstelle der Tangente: Nst. wird als xn+1 bezeichnet: t(xn+1) = 0 = f(xn) + f‘(xn) • (xn+1 - xn)  - f(xn) = f‘(xn) • (xn+1 - xn)  - f(xn) / f‘(xn) = xn+1 - xn  xn - f(xn) / f‘(xn) = xn+1  xn+1 = xn - f(xn)/f‘(xn) Nst. der Tangente

24 Konvergenz (= etwa Ännäherung)
Newton Verfahren ist lokal konvergent Konvergenz von xn zu einer Nullstelle ist nur garantiert, wenn der Startwert schon „ausreichend nahe“ der Nullstelle gewählt wurde xn kann sich nach dem ersten Iterationsschritt auch weiter entfernen und sich dann erst der Nullstelle annähern xn kann während der Iteration immer wieder hin und her, also von der einen auf die andere Seite der Nullstelle, springen Problematisch: Fällt xn auf eine Extremstelle, so hat die Tangente keine Nullstelle und die Gleichung xn+1 = xn - f(xn)/f‘(xn) ist dementsprechend nicht lösbar, da f‘(xn) = 0 wäre und im Nenner steht