Ausgleich nach der Methode der kleinsten Quadrate

Präsentation zum Thema: "Ausgleich nach der Methode der kleinsten Quadrate"—  Präsentation transkript:

1 Ausgleich nach der Methode der kleinsten Quadrate
/ SES.125 Parameterschätzung Ausgleich nach der Methode der kleinsten Quadrate Torsten Mayer-Gürr

2 Wiederholte Streckenmessung mit einem Tachymeter
Beispiel: Mittelwert Wiederholte Streckenmessung mit einem Tachymeter Messungen (Beobachtungen) Beobachtungen (Messwerte) Unbekannte Strecke Residuen (Messrauschen)

3 Änderung des mittleren Meeresspiegels

4 Ausgleichende Gerade Beobachtungsgleichungen: Residuen (Messrauschen)
Höhe [mm] Beobachtungen Modell: Geradengleichung Zeit [Tage] m=2 unbekannte Parameter: a, b

5 Schweremessungen Absolutgravimeter Freier Fall Gemessen: zum Zeitpunkt
Gesucht: Physikalisches Modell: m=3 unbekannte Parameter n=11 Messungen

6 Schweremessungen Absolutgravimeter Freier Fall
Beobachtungsgleichungen:

7 Ausgleich eines Höhennetzes

8 Ausgleich eines Höhennetzes
Beobachtet: Nivellierte Höhenunterschiede Gesucht: Höhen der Festpunkte

9 Ausgleich eines Höhennetzes
Beobachtungsgleichungen

10 Gauß-Markoff Modell

11 Gauß-Markoff Modell Beobachtungsgleichungen (n x 1) Vektor
mit Beobachtungen (n x m) Designmatrix mit bekannten Koeffizienten (m x 1) Vektor mit unbekannten Parametern (n x 1) Vektor mit Residuen n 1

12 Satellitengeodäsie GPS Antenne Beobachtete Bahn eines Satelliten
Positionsbestimmung alle 30 Sekunden über 10 Jahre: => 30 Millionen Beobachtungen

13 Satellitengeodäsie Positionsbestimmung alle 30 Sekunden über 10 Jahre:
=> 30 Millionen Beobachtungen Verknüpfung durch Gauß-Markoff Modell Beschreibung des Schwerefeldes der Erde bis zu unbekannte Parameter

14 Gauß-Markoff Modell Beobachtungsgleichungen (n x 1) Vektor
mit Beobachtungen (n x 1) Vektor mit Residuen (n x m) Designmatrix mit bekannten Koeffizienten (m x 1) Vektor mit unbekannten Parametern 1 1 1 n n n

15 Gauß-Markoff Modell Beobachtungsgleichungen (n x 1) Vektor
mit Beobachtungen (n x 1) Vektor mit Residuen (n x m) Designmatrix mit bekannten Koeffizienten (m x 1) Vektor mit unbekannten Parametern Gauss: Methode der kleinsten Quadrate Wähle die Parameter x so, dass die Quadratsumme der Residuen möglichst klein wird.

16 Tafel: Minimierung der Quadratsumme der Residuen

17 Gauß-Markoff Modell Quadratsumme der Residuen
Quadratsumme soll minimal werden. Notwendige Bedingung Schätzung der Parameter m Gleichungen mit m Unbekannten

18 Tafel: Ist die Quadratsumme wirklich minimal?

19 Tafel: Beispiele

20 Freie Stationierung

21 Freie Stationierung Beobachtungen: Gemessene Strecken
Gesucht: Koordinaten des Standpunkts Wie lauten die Beobachtungsgleichungen?

22 Tafel: Nicht-lineare Beobachtungsgleichungen

23 Tafel: Gewichtete Beobachtungen