Das Entfernen struktureller Singularitäten mittels Pantelides Algorithmus Diese Vorlesung stellt ein Verfahren vor, welches dazu verwendet werden kann, strukturelle Singularitäten in systematischer und algorith-mischer Weise aus einem Modell zu entfernen. Das Verfahren wird Pantelides Algorithm genannt. Beim Algorithmus von Pantelides handelt es sich um ein symbolisches Indexreduktionsverfahren. 3. November, 2004

Übersicht Structurelle Singularitäten und der Strukturdigraph Pantelides Algorithmus 3. November, 2004

Strukturelle Singularitäten: Ein Beispiel I Wir stellen ein Modell unter Ver-wendung der Ströme, Spannungen und Potentiale auf. Die Maschen-gleichungen werden daher ignoriert. Wir haben 7 Netzwerkkomponenten plus die Erde, somit 2 7 + 1 = 15 Gleichungen. Dazu kommen vier Knoten, die zu 3 zusätzlichen Gleichungen führen. Somit erwar-ten wir 18 Gleichungen in 18 Unbe-kannten. I 1 2 3 i C L1 L2 R v Die Spannungen werden bei passiven Komponenten in die gleiche Richtung positiv normiert wie die Ströme. Bei aktiven Komponenten (Quellen) ist es umgekehrt. 3. November, 2004

Strukturelle Singularitäten: Ein Beispiel II 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 I1 I2 I3 uR iR uL1 diL1 /dt uL2 diL2 /dt iC duC /dt v0 v1 v2 v3 u1 u2 u3 Strukturelle Singularitäten: Ein Beispiel II 1: I1 = f1(t) 2: I2 = f2(t) 3: I3 = f3(t) 4: uR = R · iR 5: uL1 = L1 · diL1 /dt 6: uL2 = L2 · diL2 /dt 7: iC = C · duC /dt 8: v0 = 0 9: u1 = v0 – v1 10: u2 = v3 – v2 11: u3 = v0 – v1 12: uR = v3 – v0 13: uL1 = v2 – v0 14: uL2 = v1 – v3 15: uC = v1 – v2 16: iC = iL1 + I2 17: iR = iL2 + I2 18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0  3. November, 2004

Strukturelle Singularitäten: Ein Beispiel III 01 Strukturelle Singularitäten: Ein Beispiel III 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 I1 I2 I3 uR iR uL1 diL1 /dt uL2 diL2 /dt iC duC /dt v0 v1 v2 v3 u1 u2 u3 02 03 1: I1 = f1(t) 2: I2 = f2(t) 3: I3 = f3(t) 4: uR = R · iR 5: uL1 = L1 · diL1 /dt 6: uL2 = L2 · diL2 /dt 7: iC = C · duC /dt 8: v0 = 0 9: u1 = v0 – v1 10: u2 = v3 – v2 11: u3 = v0 – v1 12: uR = v3 – v0 13: uL1 = v2 – v0 14: uL2 = v1 – v3 15: uC = v1 – v2 16: iC = iL1 + I2 17: iR = iL2 + I2 18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0 13 04 14  15 16 17 18 3. November, 2004

Strukturelle Singularitäten: Ein Beispiel IV 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 I1 I2 I3 uR iR uL1 diL1 /dt uL2 diL2 /dt iC duC /dt v0 v1 v2 v3 u1 u2 u3 Strukturelle Singularitäten: Ein Beispiel IV 1: I1 = f1(t) 2: I2 = f2(t) 3: I3 = f3(t) 4: uR = R · iR 5: uL1 = L1 · diL1 /dt 6: uL2 = L2 · diL2 /dt 7: iC = C · duC /dt 8: v0 = 0 9: u1 = v0 – v1 10: u2 = v3 – v2 11: u3 = v0 – v1 12: uR = v3 – v0 13: uL1 = v2 – v0 14: uL2 = v1 – v3 15: uC = v1 – v2 16: iC = iL1 + I2 17: iR = iL2 + I2 18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0  Beschränkungsgleichung Alle Verbindungen sind blau 3. November, 2004

Das Färben des Strukturdigraphen Der Algorithmus zum Färben des Strukturdigraphen ist völlig äquivalent zum bisher angewandten Verfahren der Kausalisierung von Gleichungen. Eine Implementierung des Verfahrens unter Verwendung eines Computerprogramms wird vermutlich den Digraphen vorziehen, da dieser direkt auf Datenstrukturen gängiger Programmiersprachen abgebildet werden kann. Für das menschliche Auge ist das Färben der Gleichungen vermutlich lesbarer. Darum wird in der Vorlesung in Zukunft dem Färben der Gleichungen wieder ein Vorzug eingeräumt. Das vertikale Sortieren kann gleichzeitig durch Umnummerieren der Gleichungen erfolgen. 3. November, 2004

Der Algorithmus von Pantelides I Wenn eine Beschränkungsgleichung gefunden wurde, muss diese abgeleitet werden. Beim Algorithmus von Pantelides wird die abgeleitete Beschränkungsgleichung dem Gleichungssystem zugefügt. Somit hat das Gleichungssystem nun eine überzählige Gleichung. Um die Anzahl von Gleichungen und Unbekannten wieder auszugleichen, wird ein mit der Beschränkungsgleichung verbundener Integrator eliminiert. 3. November, 2004

Der Algorithmus von Pantelides II dx dt x  unbekannt bekannt, da Zustandsvariable dx dt x  unbekannt  dx x unbekannt  Eine zusätzliche Unbekannte wurde durch die Elimination des Integrators geschaffen. x und dx sind nun algebraische Variablen, für die Gleichungen gefunden werden müssen. 3. November, 2004

Der Algorithmus von Pantelides III Beim Ableiten der Beschränkungsgleichung kann es geschehen, dass zusätzliche neue Variablen erzeugt werden, z.B. v  dv, wobei v eine algebraische Variable ist. Nachdem v bereits blau war (sonst wäre es ja keine Beschränkungsgleichung), existiert eine andere Gleichung, die v ermittelt. Diese Gleichung muss nun ebenfalls abgeleitet werden. Das Ableiten zusätzlicher Gleichungen hört erst dann auf, wenn keine neuen Variablen mehr erzeugt werden. 3. November, 2004

Der Pantelides Algorithmus: Ein Beispiel I eliminierter Integrator neu eingeführte Variabeln 1: I1 = f1(t) 2: I2 = f2(t) 3: I3 = f3(t) 4: uR = R · iR 5: uL1 = L1 · diL1 /dt 6: uL2 = L2 · diL2 /dt 7: iC = C · duC /dt 8: v0 = 0 9: u1 = v0 – v1 10: u2 = v3 – v2 11: u3 = v0 – v1 12: uR = v3 – v0 13: uL1 = v2 – v0 14: uL2 = v1 – v3 15: uC = v1 – v2 dI1 + diC + diL2 + dI3 = 0 16: iC = iL1 + I2 17: iR = iL2 + I2 18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0 3. November, 2004

Der Pantelides Algorithmus: Ein Beispiel II 1: I1 = f1(t) 2: I2 = f2(t) 3: I3 = f3(t) 4: uR = R · iR 5: uL1 = L1 · diL1 /dt 6: uL2 = L2 · diL2 /dt 7: iC = C · duC /dt 8: v0 = 0 9: u1 = v0 – v1 10: u2 = v3 – v2 11: u3 = v0 – v1 12: uR = v3 – v0 13: uL1 = v2 – v0 14: uL2 = v1 – v3 15: uC = v1 – v2 16: iC = iL1 + I2 17: iR = iL2 + I2 18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0 19: dI1 + diC + diL2 + dI3 = 0 1: I1 = f1(t) 2: I2 = f2(t) 3: I3 = f3(t) 4: uR = R · iR 5: uL1 = L1 · diL1 /dt 6: uL2 = L2 · diL2 7: iC = C · duC /dt 8: v0 = 0 9: u1 = v0 – v1 10: u2 = v3 – v2 11: u3 = v0 – v1 12: uR = v3 – v0 13: uL1 = v2 – v0 14: uL2 = v1 – v3 15: uC = v1 – v2  16: iC = iL1 + I2 17: iR = iL2 + I2 18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0 19: dI1 + diC + diL2 + dI3 = 0 3. November, 2004

Der Pantelides Algorithmus: Ein Beispiel III 20: dI1 = df1(t)/dt 21: dI3 = df3(t)/dt 22: diC = diL1 /dt + dI2 1: I1 = f1(t) 2: I2 = f2(t) 3: I3 = f3(t) 4: uR = R · iR 5: uL1 = L1 · diL1 /dt 6: uL2 = L2 · diL2 7: iC = C · duC /dt 8: v0 = 0 9: u1 = v0 – v1 10: u2 = v3 – v2 11: u3 = v0 – v1 12: uR = v3 – v0 13: uL1 = v2 – v0 14: uL2 = v1 – v3 15: uC = v1 – v2 23: dI2 = df2(t)/dt uL1 = L1 · diL1 /dt neu eingeführte Variable 16: iC = iL1 + I2 17: iR = iL2 + I2 18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0 19: dI1 + diC + diL2 + dI3 = 0 3. November, 2004

Der Pantelides Algorithmus: Ein Beispiel IV 9: u1 = v0 – v1 10: u2 = v3 – v2 11: u3 = v0 – v1 12: uR = v3 – v0 13: uL1 = v2 – v0 14: uL2 = v1 – v3 15: uC = v1 – v2 16: iC = iL1 + I2 17: iR = iL2 + I2 18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0 19: dI1 + diC + diL2 + dI3 = 0 1: I1 = f1(t) 2: I2 = f2(t) 3: I3 = f3(t) 4: uR = R · iR 5: uL1 = L1 · diL1 /dt 6: uL2 = L2 · diL2 7: iC = C · duC /dt 8: v0 = 0 20: dI1 = df1(t)/dt 21: dI3 = df3(t)/dt 22: diC = diL1 /dt + dI2 23: dI2 = df2(t)/dt 3. November, 2004

Der Pantelides Algorithmus: Ein Beispiel V 9: u1 = v0 – v1 10: u2 = v3 – v2 11: u3 = v0 – v1 12: uR = v3 – v0 13: uL1 = v2 – v0 14: uL2 = v1 – v3 15: uC = v1 – v2 16: iC = iL1 + I2 17: iR = iL2 + I2 18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0 19: dI1 + diC + diL2 + dI3 = 0 1: I1 = f1(t) 2: I2 = f2(t) 3: I3 = f3(t) 4: uR = R · iR 5: uL1 = L1 · diL1 /dt 6: uL2 = L2 · diL2 7: iC = C · duC /dt 8: v0 = 0 20: dI1 = df1(t)/dt 21: dI3 = df3(t)/dt 22: diC = diL1 /dt + dI2 23: dI2 = df2(t)/dt 3. November, 2004

Der Pantelides Algorithmus: Ein Beispiel VI 9: u1 = v0 – v1 10: u2 = v3 – v2 11: u3 = v0 – v1 12: uR = v3 – v0 13: uL1 = v2 – v0 14: uL2 = v1 – v3 15: uC = v1 – v2 16: iC = iL1 + I2 17: iR = iL2 + I2 18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0 19: dI1 + diC + diL2 + dI3 = 0 1: I1 = f1(t) 2: I2 = f2(t) 3: I3 = f3(t) 4: uR = R · iR 5: uL1 = L1 · diL1 /dt 6: uL2 = L2 · diL2 7: iC = C · duC /dt 8: v0 = 0 20: dI1 = df1(t)/dt 21: dI3 = df3(t)/dt 22: diC = diL1 /dt + dI2 23: dI2 = df2(t)/dt 3. November, 2004

Der Pantelides Algorithmus: Ein Beispiel VII 9: u1 = v0 – v1 10: u2 = v3 – v2 11: u3 = v0 – v1 12: uR = v3 – v0 13: uL1 = v2 – v0 14: uL2 = v1 – v3 15: uC = v1 – v2 16: iC = iL1 + I2 17: iR = iL2 + I2 18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0 19: dI1 + diC + diL2 + dI3 = 0 1: I1 = f1(t) 2: I2 = f2(t) 3: I3 = f3(t) 4: uR = R · iR 5: uL1 = L1 · diL1 /dt 6: uL2 = L2 · diL2 7: iC = C · duC /dt 8: v0 = 0 20: dI1 = df1(t)/dt 21: dI3 = df3(t)/dt 22: diC = diL1 /dt + dI2 23: dI2 = df2(t)/dt 3. November, 2004

Der Pantelides Algorithmus: Ein Beispiel VIII 9: u1 = v0 – v1 10: u2 = v3 – v2 11: u3 = v0 – v1 12: uR = v3 – v0 13: uL1 = v2 – v0 14: uL2 = v1 – v3 15: uC = v1 – v2 16: iC = iL1 + I2 17: iR = iL2 + I2 18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0 19: dI1 + diC + diL2 + dI3 = 0 1: I1 = f1(t) 2: I2 = f2(t) 3: I3 = f3(t) 4: uR = R · iR 5: uL1 = L1 · diL1 /dt 6: uL2 = L2 · diL2 7: iC = C · duC /dt 8: v0 = 0 20: dI1 = df1(t)/dt 21: dI3 = df3(t)/dt 22: diC = diL1 /dt + dI2 23: dI2 = df2(t)/dt Es findet sich ein algebraisch gekoppeltes System mit 7 Gleichungen in 7 Unbekannten. diL2 Wahl 3. November, 2004

Der Pantelides Algorithmus: Ein Beispiel IX 9: u1 = v0 – v1 10: u2 = v3 – v2 11: u3 = v0 – v1 12: uR = v3 – v0 13: uL1 = v2 – v0 14: uL2 = v1 – v3 15: uC = v1 – v2 16: iC = iL1 + I2 17: iR = iL2 + I2 18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0 19: dI1 + diC + diL2 + dI3 = 0 1: I1 = f1(t) 2: I2 = f2(t) 3: I3 = f3(t) 4: uR = R · iR 5: uL1 = L1 · diL1 /dt 6: uL2 = L2 · diL2 7: iC = C · duC /dt 8: v0 = 0 20: dI1 = df1(t)/dt 21: dI3 = df3(t)/dt 22: diC = diL1 /dt + dI2 23: dI2 = df2(t)/dt 3. November, 2004

Zusammenfassung I Zunächst findet man einen vollständigen Satz a-kausaler Algebrodifferentialgleichungen. Auf diesen Satz wendet man den Färbealgorithmus von Tarjan an. Falls sich eine Gleichung findet, die völlig blau gefärbt ist, ist das System strukturell singulär. Das strukturell singuläre System wird mittels Anwendung des Algorithmus von Pantelides regulär gemacht. Es mag nötig sein, den Pantelides Algorithmus mehrfach anzuwenden. 3. November, 2004

Zusammenfassung II Auf das nunmehr reguläre Algebrodifferentialgleichungs-system wendet man wiederum den Färbealgorithmus von Tarjan an. Falls der Algorithmus ins Stocken kommt, hat man es mit einem algebraisch gekoppelten System zu tun. Nach der Anwendung des Pantelides Algorithmus zur Indexreduktion eines strukturell singulären Systems treten algebraische Schleifen häufig auf. Dieses System muss nun zunächst weiterverarbeitet werden. Das Aufschneideverfahren, welches bereits vorgestellt wurde, ist ein mögliches Verfahren, um mit solchen algebraisch gekoppelten Systemen umzugehen. 3. November, 2004

Referenzen Cellier, F.E. and H. Elmqvist (1993), “Automated formula manipulation supports object-oriented continuous-system modeling,” IEEE Control Systems, 13(2), pp. 28-38. Pantelides, C.C. (1988), “The consistent initialization of differential-algebraic systems,” SIAM Journal Scientific Statistical Computation, 9(2), pp. 213-231. 3. November, 2004