Anfang Präsentation 10. November, 2004 Effiziente Lösung von Gleichungssystemen In dieser Vorlesung wird die effiziente gemischt symbolisch/numerische Lösung algebraisch gekoppelter Gleichungssysteme behandelt. Gleichungssysteme, die aus der Physik stammen, sind eigentlich (mit Ausnahme sehr kleiner Systeme der Dimensionen 2 2 oder 3 3) immer spärlich besetzt. Diese Tatsache kann ausgenützt werden. Es werden zwei symbolische Verfahren: das Aufschneiden von Gleichungssystemen und die Relaxation von Gleichungssystemen, vorgestellt, die beide zum Ziel haben, die Nullen aus der Strukturinzidenzmatrix hinauszupressen.

Anfang Präsentation 10. November, 2004 Übersicht Schneidealgorithmus Relaxationsalgorithmus

Anfang Präsentation 10. November, 2004 Das Aufschneiden von Gleichungssystemen I Dieses Verfahren wurde bereits mehrfach angewandt. Es wird hier nun noch etwas formaler behandelt und dem Alternativverfahren der Relaxation von Gleichungssystemen gegenüber- gestellt. Wie bereits erwähnt, ist das systematische Auffinden der minimalen Anzahl von Schnittgrössen ein Problem von exponentieller Komplexität. Somit muss man sich damit begnügen, heuristische Verfahren anzuwenden, die effiziente suboptimale Lösungen ermitteln können.

Anfang Präsentation 10. November, 2004 Das Aufschneiden: Ein Beispiel I 1: u = f(t) 2: u – u 1 – u 2 = 0 3: u 1 – L 1 · di 1 /dt = 0 4: u 2 – L 2 · di 2 /dt = 0 5: i – i 1 = 0 6: i 1 – i 2 = 0 Beschränkungsgleichung 1: u = f(t) 2: u – u 1 – u 2 = 0 3: u 1 – L 1 · di 1 /dt = 0 4: u 2 – L 2 · di 2 /dt = 0 5: i – i 1 = 0 6: i 1 – i 2 = 0 7: di 1 /dt - di 2 /dt = 0 1: u = f(t) 2: u – u 1 – u 2 = 0 3: u 1 – L 1 · di 1 = 0 4: u 2 – L 2 · di 2 /dt = 0 5: i – i 1 = 0 6: i 1 – i 2 = 0 7: di 1 - di 2 /dt = 0 Integrator wird eliminiert di 1 /dt

Anfang Präsentation 10. November, 2004 Das Aufschneiden: Ein Beispiel II 1: u = f(t) 2: u – u 1 – u 2 = 0 3: u 1 – L 1 · di 1 = 0 4: u 2 – L 2 · di 2 /dt = 0 5: i – i 1 = 0 6: i 1 – i 2 = 0 7: di 1 - di 2 /dt = 0 1: u = f(t) 2: u – u 1 – u 2 = 0 3: u 1 – L 1 · di 1 = 0 4: u 2 – L 2 · di 2 /dt = 0 5: i – i 1 = 0 6: i 1 – i 2 = 0 7: di 1 - di 2 /dt = 0 Algebraisch gekoppeltes Gleichungssystem in vier Unbekannten 1: u – u 1 – u 2 = 0 2: u 1 – L 1 · di 1 = 0 3: u 2 – L 2 · di 2 /dt = 0 4: di 1 – di 2 /dt = 0 Wahl u1u1 1: u – u 1 – u 2 = 0 2: u 1 – L 1 · di 1 = 0 3: u 2 – L 2 · di 2 /dt = 0 4: di 1 – di 2 /dt = 0 1: u 1 = u – u 2 2: di 1 = u 1 / L 1 3: u 2 = L 2 · di 2 /dt 4: di 2 /dt = di 1

Anfang Präsentation 10. November, 2004 Das Aufschneiden: Ein Beispiel III 1: u 1 = u – u 2 2: di 1 = u 1 / L 1 3: u 2 = L 2 · di 2 /dt 4: di 2 /dt = di 1 u 1 = u – u 2 = u – L 2 · di 2 /dt = u – L 2 · di 1 = u – (L 2 / L 1 ) · u 1 [ 1 + (L 2 / L 1 ) ] · u 1 = u u1 =u1 = L1L1 L 1 + L 2 · u· u 1: u = f(t) 3: u 1 – L 1 · di 1 = 0 4: u 2 – L 2 · di 2 /dt = 0 5: i – i 1 = 0 6: i 1 – i 2 = 0 7: di 1 - di 2 /dt = 0 2: u 1 = L1L1 L 1 + L 2 · u· u

Anfang Präsentation 10. November, 2004 Frage: Wie komplex werden die symbolischen Ausdrücke für die Schnittvariablen? Das Aufschneiden: Ein Beispiel IV 1: u = f(t) 3: u 1 – L 1 · di 1 = 0 4: u 2 – L 2 · di 2 /dt = 0 5: i – i 1 = 0 6: i 1 – i 2 = 0 7: di 1 - di 2 /dt = 0 2: u 1 = L1L1 L 1 + L 2 · u· u 1: u = f(t) 3: u 1 – L 1 · di 1 = 0 4: u 2 – L 2 · di 2 /dt = 0 5: i – i 1 = 0 6: i 1 – i 2 = 0 7: di 1 - di 2 /dt = 0 2: u 1 = L1L1 L 1 + L 2 · u· u 1: u = f(t) 3: di 1 = u 1 / L 1 4: di 2 /dt = di 1 5: u 2 = L 2 · di 2 /dt 6: i 1 = i 2 7: i = i 1 2: u 1 = L1L1 L 1 + L 2 · u· u

Anfang Präsentation 10. November, 2004 Das Aufschneiden von Gleichungssystemen II Beim Aufschneiden eines Gleichungssystems werden algebraische Ausdrücke für die Schnittvariablen ermittelt. Dies entspricht der symbolischen Anwendung der Cramerschen Regel. A·x = b x = A -1 ·b A -1 = A |A| (A ) ij = (-1) (i+j) · |A j,i | ;

Anfang Präsentation 10. November, 2004 Das Aufschneiden: Ein Beispiel V L L u1u2u1u2 = u000u000 di 1 di 2 /dt u1 =u1 = L L L L · u = L1L1 L 1 + L 2 · u· u

Anfang Präsentation 10. November, 2004 Das Aufschneiden von Gleichungssystemen III Die Cramersche Regel ist im Aufwand polynomial, wächst aber mit der vierten Potenz der Grösse des Gleichungssystems. Somit ist die symbolische Ermittlung eines Ausdrucks für die Schnittvariablen nur bei relativ kleinen Systemen sinnvoll. Bei grösseren Gleichungssystemen ist das Aufschneiden immer noch attraktiv, die Schnittvariablen müssen dann aber dennoch numerisch ermittelt werden.

Anfang Präsentation 10. November, 2004 Die Relaxation von Gleichungssystemen I Beim Relaxationsverfahren handelt es sich um eine symbolische Version des Austauschverfahrens von Gauss ohne Pivotierung. Das Verfahren lässt sich nur auf lineare Gleichungssysteme anwenden. Alle Diagonalelemente der Systemmatrix müssen 0 sein. Die Anzahl nicht verschwindender Elemente oberhalb der Diagonale soll minimalisiert werden. Leider ist das Minimalisieren der nichtverschwindenden Elemente oberhalb der Diagonale wiederum ein Problem von exponentieller Komplexität. Es müssen darum Heuristiken angewandt werden, um die Anzahl nichtverschwindender Elemente oberhalb der Diagonalen möglichst klein zu halten.

Anfang Präsentation 10. November, 2004 Die Relaxation: Ein Beispiel I 1: u – u 1 – u 2 = 0 2: u 1 – L 1 · di 1 = 0 3: u 2 – L 2 · di 2 /dt = 0 4: di 1 – di 2 /dt = 0 u 1 + u 2 = u u 1 - L 1 · di 1 = 0 di 2 /dt - di 1 = 0 u 2 - L 2 · di 2 /dt = L L u1u2u1u2 = u000u000 di 1 di 2 /dt Die nichtverschwindenden Elemente oberhalb der Diagonale entsprechen konzeptuell den Schnitt- variablen der Aufschnei- demethode.

Anfang Präsentation 10. November, 2004 Die Relaxation: Ein Beispiel II Gausssches Eliminationsverfahren: L L u1u2u1u2 = u000u000 di 1 di 2 /dt - L L 2 c101c101. di 1 di 2 /dt = c200c200 u2u2 c 1 = -1 c 2 = -u

Anfang Präsentation 10. November, 2004 Die Relaxation: Ein Beispiel III - L L 2 c101c101. di 1 di 2 /dt = c200c200 u2u2 - L 2 c31c31. di 2 /dt u 2 = c40c40 c 3 = c 1 / L 1 c 4 = c 2 / L 1 - L 2 c31c31. di 2 /dt u 2 = c40c40 c5c5. u2u2 = c6c6 c 5 = 1 - L 2 · c 3 c 6 = - L 2 · c 4

Anfang Präsentation 10. November, 2004 Die Relaxation: Ein Beispiel IV Gausssches Eliminationsverfahren: c5c5. u2u2 = c6c6 u 2 = c 6 / c 5 - L 2 c31c31. di 2 /dt u 2 = c40c40 di 2 /dt = (c 4 – c 3 ·u 2 ) / (- 1) - L L 2 c101c101. di 1 di 2 /dt = c200c200 u2u2 di 1 = (c 2 – c 1 ·u 2 ) / (-L 1 )

Anfang Präsentation 10. November, 2004 Die Relaxation: Ein Beispiel V L L u1u2u1u2 = u000u000 di 1 di 2 /dt u 1 = u – u 2 Jetzt sind alle benötigten Gleichungen gefunden. Sie müssen nur noch zusammengestellt werden.

Anfang Präsentation 10. November, 2004 Die Relaxation: Ein Beispiel VI 1: u – u 1 – u 2 = 0 2: u 1 – L 1 · di 1 = 0 3: u 2 – L 2 · di 2 /dt = 0 4: di 1 – di 2 /dt = 0 c 1 = -1 c 2 = -u c 3 = c 1 / L 1 c 4 = c 2 / L 1 c 5 = 1 - L 2 · c 3 c 6 = - L 2 · c 4 u 2 = c 6 / c 5 di 2 /dt = (c 4 – c 3 ·u 2 ) / (- 1) di 1 = (c 2 – c 1 ·u 2 ) / (-L 1 ) u 1 = u – u 2 u = f(t) c 1 = -1 c 2 = -u c 3 = c 1 / L 1 c 4 = c 2 / L 1 c 5 = 1 - L 2 · c 3 c 6 = - L 2 · c 4 u 2 = c 6 / c 5 di 2 /dt = (c 4 – c 3 ·u 2 ) / (- 1) di 1 = (c 2 – c 1 ·u 2 ) / (-L 1 ) u 1 = u – u 2 i 1 = i 2 i = i 1

Anfang Präsentation 10. November, 2004 Die Relaxation von Gleichungssystemen II Das Relaxationsverfahren kann symbolisch auf etwas grössere Systeme angewandt werden als das Schneide- verfahren, da der Aufwand weniger schnell ansteigt. Bei manchen Anwendungen liefert das Relaxations- verfahren sehr elegante Lösungen. Das Relaxationsverfahren lässt sich aber nur auf lineare Systeme anwenden, und im Zusammenhang mit der numerischen Iteration nach Newton ist das Schneide- verfahren meistens vorzuziehen.

Anfang Präsentation 10. November, 2004 Referenzen Elmqvist H. and M. Otter (1994), Methods for tearing systems of equations in object-oriented modeling, Proc. European Simulation Multiconference, Barcelona, Spain, pp Methods for tearing systems of equations in object-oriented modeling Otter M., H. Elmqvist, and F.E. Cellier (1995),Relaxing: A symbolic sparse matrix method exploiting the model structure in generating efficient simulation code, Proc. Symp. Modelling, Analysis, and Simulation, CESA'96, IMACS MultiConference on Computational Engineering in Systems Applications, Lille, France, vol.1, pp.1-12.Relaxing: A symbolic sparse matrix method exploiting the model structure in generating efficient simulation code