Konvektive Massenflüsse III In dieser Vorlesung wollen wir uns nochmals mit den konvektiven Massenflüssen befassen, da uns immer noch ein umfassendes Bild der Physik solcher Vorgänge fehlt. Wir wollen damit beginnen, uns den kapazitiven Feldern nochmals zuzuwenden. Wir werden uns sodann mit der inneren Energie der Materie befassen. Schliesslich werden wir diese Erkenntnisse auf allgemeine Transportphänomene ausdehnen, bei welchen Massen-flüsse einen integralen Bestandteil der Energieflüsse ausmachen. 12. Januar, 2005

Übersicht Kapazitive Felder Die innere Energie der Materie Der Bus-bond und die Bus-verknüpfung Wärmeleitung Volumenarbeit Das allgemeine Austauschelement Mehrphasensysteme Verdunstung und Kondensation Mischungsthermodynamik Multielementsysteme 12. Januar, 2005

Kapazitive Felder III  Betrachten wir kurz die folgende elektrische Schaltung: C1 C2 C3 i1 i2 i3 i1-i3 i2+i3 u1 u2 1 C1 C2 C3 i1 i2 i3 i1-i3 i2+ i3 u1 u2 u1-u2 i1 – i3 = C1 · du1 /dt i2 + i3 = C3 · du2 /dt i3 = C2 · (du1 /dt – du2 /dt )  i1 = ( C1 + C2 ) · du1 /dt – C2 · du2 /dt i2 = – C2 · du1 /dt + ( C2 + C3 ) · du2 /dt 12. Januar, 2005

Kapazitive Felder IV    i1 = ( C1 + C2 ) · du1 /dt – C2 · du2 /dt Symmetrische Kapazitätsmatrix i1 = ( C1 + C2 ) · du1 /dt – C2 · du2 /dt i2 = – C2 · du1 /dt + ( C2 + C3 ) · du2 /dt i1 i2 = ( C1 + C2 ) – C2 – C2 ( C2 + C3 ) · du1 /dt du2 /dt  i1 i2 = ( C2 + C3 ) C2 C2 ( C1 + C2 ) · du1 /dt du2 /dt C1 C2 + C1 C3 + C2 C3  1 C1 C2 C3 i1 i2 i3 i1-i3 i2+ i3 u1 u2 u1-u2  CF 12. Januar, 2005

Volumen- und Entropiespeicher Sehen wir uns nochmals die Situation der letzten Vorlesung an. 1 C I Cth SF S/V Es war kein Zufall, dass ich die beiden Kapazitäten so nahe beieinander ge-zeichnet habe. In Wirklichkeit handelt es sich um zwei Ports desselben kapazitiven Feldes. Schliesslich sind ja Wärme und Volumen nur zwei verschiedene Eigenschaften derselben Materie. 12. Januar, 2005

Die innere Energie der Materie I Wie wir bereits gesehen haben, gibt es drei verschiedene Speichergrössen der Materie: Diese drei Speichergrössen sind verschiedene Speicher-eigenschaften desselben Mediums. Somit handelt es sich um ein Speicherfeld. Dieses Speicherfeld ist kapazitiver Natur. Das kapazitive Feld speichert die innere Energie der Materie. Masse Volumen Wärme 12. Januar, 2005

Innere Energie II Die Änderung der inneren Energie in einem System, d.h. der Gesamtleistungsfluss in das kapazitive Feld hinein, kann wie folgt geschrieben werden: Dies ist die Gibbs’sche Gleichung. Chemisches Potential U = T · S - p · V + S mi · Ni i · Molarer Massenfluss Fluss der inneren Energie Volumenfluss Wärmefluss Massenfluss 12. Januar, 2005

Innere Energie III Die innere Energie ist proportional zur Gesamtmasse n. Durch Normierung mit n können wir alle extensiven Variablen intensiv machen. Somit: u = U n s = S v = V ni = Ni i d dt (n·u) = T · (n·s) - p · (n·v) + S mi · (n· ni )  i d dt (n·u) - T · (n·s) + p · (n·v) - S mi · (n· ni ) = 0 12. Januar, 2005

Innere Energie IV i d dt (n·u) - T · (n·s) + p · (n·v) - S mi · (n· ni ) = 0  i du dt - T · + p · - S mi · n · [ ds dv dni ] = 0 + dn · u - T · s + p · v - S mi · ni Diese Gleichung muss gelten unabhängig von der Menge n, somit: Hier nun endlich die Erklärung, warum mit „merkwürdigen“ Ab-leitungen gerechnet werden durfte. i du dt - T · + p · - S mi · ds dv dni = 0 Fluss der inneren Energie = 0 u - T · s + p · v - S mi · ni i Innere Energie 12. Januar, 2005

Innere Energie V   · · Dies ist die Gibbs-Duhem Gleichung. U = T · S - p · V + S mi ·Ni i  U = T · S - p · V + S mi · Ni + T · S - p · V + S mi · Ni i · = T · S - p · V + S mi · Ni  T · S - p · V + S mi · Ni = 0 · Dies ist die Gibbs-Duhem Gleichung. 12. Januar, 2005

Das kapazitive Feld der Materie C S V C S · T · GY p · q p · T · S V CF GY GY mi · ni mi · ni C mi ni 12. Januar, 2005

Vereinfachung Für den Fall, dass keine chemischen Reaktionen stattfinden, ist es möglich, die molaren Massenflüsse durch gewöhn-liche Massenflüsse zu ersetzen. In diesem Fall wird das chemische Potential durch das Gibbs’sche Potential ersetzt. 12. Januar, 2005

Bus-Bond und Bus-0-Verknüpfung Die drei äusseren Beine des CF-Elements können zusammen-gebunden werden. p q T S g M . CF C 3 Ø CF 12. Januar, 2005

Nochmals Wärmeleitung CF 1 DT D 2 T S . mGS Ø 1x 2x 3 CF 1 2 3 HE 12. Januar, 2005

Die Volumenarbeit 1 Ø PVE q 1 2 GS T Ø 3 CF D S 1x . 2x Druck wird ausgeglichen. Es wird hier angenommen, dass die Trägheit vernachlässigt werden darf (relativ kleine Massen und/oder Geschwin-digkeiten), und dass beim Ausgleich Reibung im Spiel ist. Das Modell ist sinnvoll, wenn der Ausgleich lokal erfolgt, d.h. wenn das Medium nicht sehr stark bewegt wird. CF 1 2 3 PVE 12. Januar, 2005

Allgemeines Austauschelement I p q 1 GS 2 mGS T S . g M Sw Die drei Flüsse sind über die RS-Elemente miteinander gekop-pelt. Schaltelement in Bond-graphennotation. Dieses wurde noch nicht vor-gestellt. 12. Januar, 2005

Allgemeines Austauschelement II Beim allgemeinen Austauschvorgang werden gleichzeitig die Temperaturen, die Drücke und die Gibbs’schen Potentiale ausgeglichen. Es handelt sich dabei um ein Widerstandsfeld. Ø 3 RF CF 1 2 r , S 12. Januar, 2005

Ø Mehrphasensysteme CF Wir müssen nun auch Phänomene wie Verdunstung und Kondensation berücksichtigen. CF gas 3 Ø HE, PVE, Verdunstung (und Kondensation) fl 12. Januar, 2005

Verdunstung (Verdampfung) Der Massen- und Energieaustausch zwischen kapazitiven Materiespeichern (CF-Elementen), die verschiedene Phasen repräsentieren, wird durch spezielle Widerstands-felder (RF-Elemente) bewerkstelligt. Die Massenflüsse werden als Funktion des Drucks und des entsprechenden Sättigungsdrucks berechnet. Die Volumenflüsse werden als Produkt der Masseflüsse mit dem Sättigungsvolumen bei der gegebenen Temperatur berechnet. Die Entropieflüsse werden überlagert mit der Verdunstungsenthalpie (bei der Verdunstung wird dem thermischen Bereich Wärme entzogen  latente Wärme). 12. Januar, 2005

Kondensation an kalten Oberflächen Hier muss die Grenzschicht berücksichtigt werden. CF fl Gas Oberfläche 3 Ø Rand- schicht Wärmeleitung (HE) Volumenarbeit (PVE) Kondensation und Verdunstung HE PVE RF T S . gas s Grenzschicht 12. Januar, 2005

Mischungsthermodynamik Beim Mischen von Flüssigkeiten oder Gasen entsteht zusätzliche Entropie. Diese Mischungsentropie muss unter den teilnehmenden Komponenten verteilt werden. Die Verteilung ist eine Funktion der Massenanteile. Normalerweise sollten CF-Elemente nichts voneinander wissen. Beim Mischen ist dies unvermeidbar. Die benötigte Information wird ausgetauscht. CF 1 2 MI {M1} {x1} {M2} {x2} 12. Januar, 2005

Mischungsentropie Die Mischungsentropie wird dem Gibbs’schen Potential entzogen. T S . p q 1 g1(T,p) M g1 (T,p) mix RS Dg1 DSid CF 11 12 2 g2(T,p) g2 (T,p) Dg2 21 22 MI x21 x11 M21 M11 HE PVE Es wurde hier ange-nommen, dass die zu mischenden Liquide dieselben Temperaturen und Drücke aufweisen. 12. Januar, 2005

T2 S . p2 q 1 2 g2(T2,p2) M T2mix p2mix g2 (T2,p2) M2 mix CF 21 22 MI HE PVE RS Dg2 DS2 mRS Dp2 DT2 S2 T1 p1 g1 (T1,p1) T1mix p1mix g1 (T1,p1) M1 11 Dg1 DS1 Dp1 DT1 q1 S1 12 Die zu mischenden Liquide können auch unterschiedliche Tem-peraturen oder Drücke aufweisen. 12. Januar, 2005

Konvektion in Multielementsystemen CF 12 13 11 Ø 3 PVE HE 22 23 21 RF horizontaler Austausch (Transport) vertikaler (Mischung) 12. Januar, 2005

Zweielement-, Zweiphasen-, Zweiunterteilungs- konvektives System Gas CF 11 Fl. 21 Ø 3 PVE HE Kondensation/ Verdunstung 12 22 RF E Phasen- grenze MI {x21, DSE21, DVE21} {M21, T21, p 21} 1 2 + Vges {M11, T11, p 11} {M12, T12, p 12} {x12, DSE12, DVE12} {M22, T22, p 22} {x22, DSE22, DVE22} 12. Januar, 2005

Konzentrationenaustausch Es mag sein, dass verschiedene Unterteilungen nicht völlig homogen sind. Dann müssen auch Konzentrationen aus-getauscht werden. CFi 3 Ø HE PVE CE CFi+1 ... 12. Januar, 2005

Referenzen I Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling, Springer-Verlag, New York, Chapter 9. Greifeneder, J. and F.E. Cellier (2001), “Modeling convective flows using bond graphs,” Proc. ICBGM’01, Intl. Conference on Bond Graph Modeling and Simulation, Phoenix, Arizona, pp. 276 – 284. 12. Januar, 2005

Referenzen II Greifeneder, J. and F.E. Cellier (2001), “Modeling multi-phase systems using bond graphs,” Proc. ICBGM’01, Intl. Conference on Bond Graph Modeling and Simulation, Phoenix, Arizona, pp. 285 – 291. Greifeneder, J. and F.E. Cellier (2001), “Modeling multi-element systems using bond graphs,” Proc. ESS’01, European Simulation Symposium, Marseille, France, pp. 758 – 766. 12. Januar, 2005