Kapitel 17 Dynamische Modelle: Konzepte

Argumente für dynamische Modelle (a) Ökonomische Aktivitäten sind oft durch die Vergangenheit bestimmt; z.B.: Konsum von Energie hängt von Investitionen der Vergangenheit in energieverbrauchende Anlagen und Geräte ab (b) Akteure der ökonomischen Prozesse reagieren oft verzögert; z.B. wegen der Dauer von Entscheidungs- und Beschaffungspro-zessen (c) Erwartungen: z.B.: Konsum hängt nicht nur von aktuellen Einkommen, auch von der Einkommenserwartung ab; Modellierung der Erwartung basiert auf Entwicklung in der Vergangenheit Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Elemente dynamischer Modelle Lagstrukturen, d.s. Linearkombinationen aktueller und vergangener Werte der Variablen Modelle für Erwartungen: basieren auf Lagstrukturen; z.B. adaptive Erwartung, partielle Anpassung Das ADL-Modell: ein einfaches, aber allgemein anwendbares Modell, das aus einem autoregressiven Teil und aus einer endlichen Lagstruktur der unabhängigen Variablen besteht Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Beispiel: Nachfragefunktionen Nachfrage nach dauerhaften Konsumgütern: Die Nachfrage Q hängt vom Preis P und vom Einkommen Y der aktuellen und zweier vergangener Perioden ab: Qt = a + b0Yt + b1Yt-1 + b2Yt-2 + g Pt + ut Nachfrage nach Energie: Sie wird beschrieben durch Qt = a + bPt + g Kt + ut mit P: Preis für Energie, K: energie-relevanter Kapitalbestand Kt = q0 + q1Pt-1 + q2Pt-2 + … + dYt + vt mit Y: Einkommen; Einsetzen gibt Qt = a + a1Yt + b0Pt + b1Pt-1 + b2Pt-1 + … + et mit et = ut + g vt, b0 = b, bi = gqi, i = 1, 2, … Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Das DL(s)-Modell Die allgemeine Form eines dynamischen Modells mit verzögerter Wirkung einer exogenen Variablen kann geschrieben werden als Yt = a + b0Xt + b1Xt-1 + … + bsXt-s + ut s: maximales Lag oder Ordnung der Lagstruktur; kann unbeschränkt sein Endliche Lagstruktur: Ordnung s hat endlichen Wert Themen zu Lagstrukturen das Schätzen der Modellparameter die Interpretation der Koeffizienten EViews: n=100; series y1 = nrnd; y2 = y2(-1)+y1 Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Beispiel: Konsumfunktionen Datensatz DatS04: Konsum und Einkommen für Österreich (1976:1 bis 1995:2) In logarithmierten Differenzen: (a) Ĉ = 0.009 + 0.621Y mit t(Y) = 2.288, R2 = 0.335 (b) Ĉ = 0.006 + 0.504Y – 0.026Y-1 + 0.274Y-2 mit t(Y) = 3.79, t(Y-1) = -0.18, t(Y-2) = 2.11, R2 = 0.370 Effekt des Einkommens auf Konsum? Kurzfristiger Effekt: Wirkung in der aktuellen Periode (DC = 0.504 je DY = 1) Gesamteffekt: Summe der Koeffizienten (DC = 0.752 je DY = 1) Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Multiplikatoren Beschreiben den Effekt von Änderungen in der/den erklärenden Variablen auf die abhängige Variable Modell Yt = a + b0Xt + b1Xt-1 + … + bsXt-s + ut Kurzfristiger Multiplikator (short run oder impact multiplier): Effekt einer Änderung von X um DX = 1 auf Y in der gleichen Periode (DY = b0) Langfristige Multiplikator (long run multiplier): der über alle Zukunft kumulierte Effekt von DX = 1 (DY = b0 + … + bs) Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Gleichgewichts-Effekt Wenn nach einer Änderung DX innerhalb einer endlichen Zeit ein Gleichgewichts-Zustand eintritt: langfristiger Multiplikator wird als Gleichgewichts-Effekt (equilibrium multiplier) bezeichnet Im Modell Yt = a + b0Xt + b1Xt-1 + … + bsXt-s + ut wird in s Perioden der Gleichgewichts-Zustand erreicht Bei einer unendlichen Lagstruktur wird die Anpassung nie vollendet Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Durchschnittliche Lag-Zeit Anteil der Anpassung: zur Charakterisierung des Anpassungsprozesses am Ende der aktuellen Periode: b0/(b0 + … + bs) = w1 am Ende der Periode t +1: (b0 + b1)/(b0 + … + bs) = w1 + w2 usw. mit Gewichten wi = bi/(b0 + … + bs) , i = 1, …, s Mediane Lag-Zeit: Dauer bis zur Anpassung von 50%; minimales s* mit w1 + … ws* ≥ 0.5 Durchschnittliche Lag-Zeit: Sis i wi Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Konsumfunktion, Forts. Ĉ = 0.006 + 0.504Y – 0.026Y-1 + 0.274Y-2 Effekt des Einkommens (DY = 1) auf Konsum? Kurzfristiger Effekt: 0.504 Gesamteffekt: 0.504 – 0.026 + 0.274 = 0.752 Gleichgewichts-Effekt ist gleich dem Gesamteffekt: 0.752 Mediane Lag-Zeit: die kumulierten Summen der Gewichte betragen 0.671, 0.636, 1.000; 50% der Anpassung werden überschritten in s* = 0 Durchschnittliche Lag-Zeit: 0.694 Quartale, d.s. etwa 2.3 Monate Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Lagstrukturen: Schätz-Probleme Probleme bei OLS-Anpassung einer Lagstruktur (Ordnung s): „Verlust von Beobachtungen“: es stehen nur n - s Beobachtungen zur Verfügung; unendliche Lagstruktur! Multikollinearität Ordnung s (meist) nicht bekannt Konsequenzen der ersten beiden Probleme: große Standardfehler der geschätzten Koeffizienten geringe Mächtigkeit der Tests zu den Koeffizienten Themen: Verfahren zur Wahl der Ordnung s Modellierung von Lagstrukturen, z.B. als polynomiale Struktur Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Konsumfunktion, Forts. Ĉ = 0.006 + 0.504Y – 0.026Y-1 + 0.274Y-2 Kriterien: p(Y-2) = 0.039, adj.R2 = 0.342, AIC = -5.204 Übersicht für Modelle mit s ≥ 7: s AIC p-Wert adj.R2 1 -5.179 0.333 0.316 2 -5.204 0.039 0.342 3 -5.190 0.231 0.344 4 -5.303 0.271 0.370 5 -5.264 0.476 0.364 6 -5.241 0.536 0.356 7 -5.205 0.884 Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Verfahren zur Wahl von s Auswahl unter Modellen mit s = 0, 1, …, S durch Verwendung des AIC (oder eines anderen Informationskriteriums) Wahl des maximalen Lags S Schätzen der Koeffizienten aller möglichen Modelle für s = 1, …, S Bestimmen des AIC(s), des adjustierten Bestimmtheitsmaßes oder eines anderen Kriteriums Wahl der Ordnung als jenes s, für das das AIC(s) minimal ist, das adjustierte Bestimmtheitsmaß maximal ist, etc. Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Polynomiale Lagstruktur auch Almon‘sches Lag genannt DL(s)-Modell Yt = a + b0Xt + b1Xt-1 + … + bsXt-s + ut = a + B(L)Xt + ut mit B(L) = b0 + b1L + … + bsLs, L: Lagoperator (LXt = Xt-1, LrXt = Xt-r, L0Xt = Xt) Polynomiales Lag: bi, i = 1,…, s, ist ein Polynom der Ordnung r : bi = g0 + g1i + … + gri r Mit r < s sind weniger Koeffizienten zu schätzen als im ursprünglichen Modell Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Beispiel: s=3, r=2 Diese Spezifikation liefert b0 = g0 b1 = g0 + g1 + g2 b2 = g0 + 2g1 + 4g2 b3 = g0 + 3g1 + 9g2 oder b = Tg mit der 3x4-Matrix T Einsetzen liefert Yt = g0 (Xt + … + Xt-3) + g1 (Xt-1 + … + 3Xt-3) + g2 (Xt-1 + … + 9Xt-3) + ut oder y = XTg + u = Wg + u; die erste Spalte von W enthält die Summen Xt + … + Xt-3, etc. Aus den Schätzern ci (für die gi) ergeben sich die bi entsprechend obigen Gleichungen Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Konsumfunktion, Forts. Ĉ = 0.005 + 0.539Y – 0.065Y-1 + 0.168Y-2 + 0.158Y-3 Kriterien: adj.R2 = 0.344, AIC = -5.190 Ĉ = 0.005 + 0.097 pdl1(Y,3,2) – 0.239 pdl2(Y,3,2) + 0.149 pdl3(Y,3,2) Kriterien: adj.R2 = 0.335, AIC = -5.190 Koeffizienten und in Klammer ihre t-Statistiken: b0 = 0.484 (3.72) b1 = 0.097 (1.04) b2 = 0.006 (0.07) b3 = 0.213 (1.70) oder Ĉ = 0.005 + 0.484Y + 0.097Y-1 + 0.006Y-2 + 0.213Y-3 Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Koyck‘sche Lagstruktur Spezifiziert die Koeffizienten des DL(s)-Modells Yt = a + b0Xt + b1Xt-1 + … + bsXt-s + … + ut als unendliche, geometrische Folge (geometrische Lagstruktur): bi = b(1-l)li Für 0 < l < 1 ergibt die Summe aller bi den Wert b! Beiträge zu DY bei einer Änderung von DX = 1: b(1-l) in t (kurzfristiger Multiplikator), b(1-l)l in t+1, etc; Beiträge werden je Periode um Faktor l kleiner; Gleichgewichts-Effekt: b durchschnittliche Lag-Zeit: l/(1-l) Stabilitätsbedingung: Die Bedingung 0 < l < 1 nennt man Stabilitätsbedingung: l ≥ 1 bedeutet explosiv wachsende bi bzw. explosiv wachsende Beiträge zu DY bei einer Änderung von DX l 0.1 0.3 0.5 0.7 l/(1-l) 0.10 0.43 1.00 2.33 Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Koyck‘sche Lagstruktur, Forts. DL (distributed lag)- oder MA (moving average)-Form des Modells Yt = a + b(1-l) SiliXt-i + ut AR (autoregressive)-Form Yt = a(1-l) + lYt-1 + b(1-l) Xt + vt mit vt = ut – lut-1 Koyck-Transformation: Umformung der DL-Form in die AR-Form durch Subtrahieren der l-fachen Gleichung für t-1 Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Konsumfunktion, Forts. Modell mit geringstem AIC: Ĉ = 0.003 + 0.595Y – 0.016Y-1 + 0.107Y-2 + 0.003Y-3 + 0.148Y-3 Kriterien: adj.R2 = 0.370, AIC = -5.303, DW = 1.41 Koyck‘s Lag in AR-Form Ĉ = 0.004 + 0.286 C-1 + 0.556Y Kriterien: adj.R2 = 0.388, AIC = -5.290, DW = 1.91 Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Schätzprobleme Probleme beim Schätzen von l und b: DL-Form: Historische Werte X0, X-1, X-2,… sind unbekannt! Näherungsweise äquivalentes Modell ist Yt = b(1-l)(Xt + lXt-1 + … + lt-1X1 + b*lt + ut mit b* = b(1-l)(X0 + lX-1 + … ) als drittem Parameter Nichtlineares Schätzproblem! AR-Form: Verzögerte, endogene Variable als Regressor Korrelierte Störgrößen Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Modelle in Erwartungen Erwartungen spielen in ökonomischen Prozesse wichtige Rolle Beispiele: Konsum hängt nicht nur vom aktuellen Einkommen, sondern auch von der Erwartung künftiger Einkommen ab Investitionen hängen von erwarteten Gewinnen ab Zinsen hängen von der Einschätzung der Entwicklung des Kapitalmarktes ab etc. Erwartungen sind nicht beobachtbar unter Annahmen über den Mechanismus der Erwartungsbildung modellierbar Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Modelle für Erwartung In der Theorie sind folgende Modelle gebräuchlich Naives Modell der Erwartung: Der (für die nächste Periode) erwartete Wert ist gleich dem aktuellen Wert Modell der adaptiven Erwartung Modell der partiellen Anpassung Letztere beiden Modelle basieren auf der Koyck‘schen Lagstruktur Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Modell der adaptiven Erwartung Beschreibt den aktuellen Wert Yt als Funktion des in der kommenden Periode erwarteten Wertes Xet+1 Yt = a + bXet+1 + ut Beispiel: Investitionen (Y) sind Funktion des Gewinns X Modelle für Xet+1: Naives Modell: Xet+1 = Xt Realistischer ist eine gewichtete Summe der in der Vergangenheit realisierten Gewinne Xet+1 = b0Xt + b1Xt-1 + … Vorschlag von Cagan (1956): geometrisch abnehmende Gewichte mit 0 < l < 1 bi = (1-l)li EViews: n=100; series u = nrnd; y1 = y1(-1)+u; y2 = 0.1+y2(-1)+u; y3 = 0.2+0.7*y3(-1)+u; Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Adaptive Erwartung, Forts. Aus Xet+1 = b0Xt + b1Xt-1 + … ergibt sich mittels Koyck-Transformation Xet+1 = l Xet + (1 - l) Xt oder Xet+1 - Xet = (1 - l)(Xt - Xet) Interpretation: Änderung der Erwartung zwischen t und t+1 ist proportional dem „Fehler“ in der Erwartung, d.i. die Abweichung zwischen der aktuellen Erwartung und dem tatsächlich realisierten Wert Ausmaß der Änderung (Anpassung): 100(1 - l)% des „Fehlers“ l: Anpassungs-Parameter EViews: n=100; series u = nrnd; y1 = y1(-1)+u; y2 = 0.1+y2(-1)+u; y3 = 0.2+0.7*y3(-1)+u; Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Adaptive Erwartung, Forts. Modell der adaptiven Erwartung (adaptive expectations model) Yt = a(1 – l) + lYt-1 + b(1 – l)Xt + vt mit vt = ut – lut-1 Ist die AR-Form zur DL-Form Yt = a + b(1 – l)Xt + b(1 – l)lXt-1 + … + ut Beispiel: Investitionen (I) sind Funktion des erwarteten Gewinns Pet+1 und des Zinssatzes (r) It = a + bPet+1 + grt + ut Modell für erwarteten Gewinn unterstellt adaptive Erwartung Pet+1 = Pet + (1 – l)Pt mit Anpassungs-Parameter l (0 < l < 1); AR-Form It = a(1 – l) + lIt-1 + b(1 – l)Pt + grt – lgrt-1 + vt der Investitionsfunktion mit vt = ut – lut-1 EViews: n=100; series u = nrnd; y1 = y1(-1)+u; y2 = 0.1+y2(-1)+u; y3 = 0.2+0.7*y3(-1)+u; Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Konsumfunktion, Forts. Konsum als Funktion des erwarteten Einkommens: Ct = a + bYet+1 + ut mit erwartetem Einkommen aus adaptiver Erwartung Yet+1 = Yet + (1 – l)Yt Einsetzen liefert die AR-Form Ct = a(1 – l) + lCt-1 + b(1 – l)Yt + vt mit vt = ut – lut-1 Angepasstes Modell: Ĉ = 0.004 + 0.286C-1 + 0.556Y Kriterien: adj.R2 = 0.388, AIC = -5.29, DW = 1.91 Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Modell der partiellen Anpassung Beschreibt den Prozess der Anpassung einer Größe an einen gewünschten Wert Beispiel: Der gewünschte (geplante) Lagerstand Kp als Funktion des Erlöses S Kpt = a + bSt + ut tatsächlicher Lagerstand der Vorperiode weicht vom gewünschten Lagerstand um Kpt – Kt-1 ab Strategie: Anpassung von Kt an Kpt um 100d %: Kt – Kt-1 = d(Kpt – Kt-1) d: Anpassungs-Parameter (0 < d < 1) EViews: n=100; series u = nrnd; y1 = y1(-1)+u; y2 = 0.1+y2(-1)+u; y3 = 0.2+0.7*y3(-1)+u; Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Partielle Anpassung, Forts. Modell der partiellen Anpassung (partial adjustment model): Beschreibt das Verhalten von Ypt als Funktion eines Regressors X Ypt = a + bXt + ut Partielles Anpassen des realisierten Y nach Yt – Yt-1 = d(Ypt – Yt-1) d: Anpassungs-Parameter (0 < d < 1) Realisiertes Y als gewichtetes Mittel zwischen geplantem Yp und realisiertem Y Yt = dYpt + (1 – d)Yt-1 AR-Form des Modells der partiellen Anpassung Yt = ad + (1 – d)Yt-1 + bdXt + dut EViews: n=100; series u = nrnd; y1 = y1(-1)+u; y2 = 0.1+y2(-1)+u; y3 = 0.2+0.7*y3(-1)+u; Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie AR-Formen Die AR-Formen der Koyck‘schen Lagstruktur des Modells der adaptiven Erwartung des Modells der partiellen Anpassung haben die gleiche Form sie unterscheiden sich in den Störgrößen: sie sind Weißes Rauschen im Fall des Modells der partiellen Anpassung sie sind korreliert in den beiden anderen Fällen Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Das ADL-Modell Die allgemeine Form, das ADL(p,s)-Modell, lautet Yt = a + j1Yt-1 + … + jpYt-p + b0Xt + … + bsXt-s + ut es besteht aus einer Lagstruktur der Ordnung p der abhängigen Variablen einer Lagstruktur der Ordnung s der erklärenden Variablen Darstellung mittels Lag-Operator L: A(L)Yt = a + b(L)Xt + ut mit A(L) = 1 – j1L – … – jpLp und b(L) = b0 + b1L + … + bsLs Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie ADL(1,1)-Modell ADL(1,1)-Modell: Yt = a + jYt-1 + b0Xt + b1Xt-1 + ut Spezialfälle sind: Statisches Modell: j = b1 = 0 DL(1)-Modell: j = 0 AR(1)-Modell: b0 = b1 = 0 Verallgemeinerungen ergeben sich, wenn korrelierte Störgrößen zugelassen werden Die meisten dynamischen Modelle gehören zur Klasse der ADL(1,1)-Modelle Hackl, Einführung in die Ökonometrie

ADL(1,1)-Modelle: Beispiele AR-Form [Yt = lYt-1 + b(1 – l)Xt + vt] des Modells mit Koyck‘scher Lagstruktur, d.i. Yt = b(1–l)SiliXt-i + ut, ist ein ADL(1,0)-Modell mit korrelierten Störgrößen AR-Form des Modells der adaptiven Erwartung Yt = a(1 – l) + lYt-1 + b(1 – l)Xt + vt ist ein ADL(1,0)-Modell mit korrelierten Störgrößen AR-Form des Modells der partiellen Anpassung Yt = ad + (1 – d)Yt-1 + bdXt + dut ist ein ADL(1,0)-Modell mit unkorrelierten Störgrößen Das Modell Yt = Xtb + ut mit korrelierten Störgrößen ut = jut-1+et kann geschrieben werden als Yt = jYt-1 + b + bjXt-1 + et; es ist ein ADL(1,1)-Modell, wenn b1 = b0j Hackl, Einführung in die Ökonometrie

ADL(1,0)-Modell: Stabilität Yt = a + jYt-1 + bXt + ut Effekt einer Änderung von X um DX = 1 Gleichgewichts-Zustand: Voraussetzung für Summierbarkeit der Beiträge (die Erreichbarkeit des Gleichgewichts-Zustandes): |j| < 1; Stationaritäts-Bedingung Der Gleichgewichts-Zustand wird nur asymptotisch erreicht Vergleiche das DL(s)-Modell: der Gleichgewichts-Zustand wird nach s Perioden erreicht Periode DY t b t-1 jb t-2 j2b … Summe b/(1-j) Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Stabilität des ADL(1,1)-Modells Welchen Wert Y* erreicht Y im Gleichgewichts-Zustand (X wird auf fixem Niveau X* gehalten)? Y* = a + jY* + b0X* + b1X* liefert Y* = a/(1-j) + (b0+ b1)/(1-j)X* Effekt einer Änderung von X um DX = 1: (b0+ b1)/(1-j) Voraussetzung für die Erreichbarkeit des Gleichgewichts-Zustandes: |j| < 1 (Stationaritäts-Bedingung) d.h., der dem Modell entsprechende AR(1)-Prozess Yt = a + jYt-1 + ut muss stationär sein Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Stabilität im ADL(p,s)-Modells F(L)Yt = a + b(L)Xt + ut mit F(L) = 1 - j1L - … - jpLp b(L) = 1 + b1L + … + bsLs Gleichgewichts-Effekt: (b0+ … + bs)/(1 - j1 - … - jp) Voraussetzung für die Erreichbarkeit des Gleichgewichts-Zustandes: Siji < 1 (notwendig, aber nicht hinreichend) Für Wurzeln aus F(z) = 1 - j1z - … - jpzp = (1 - l1z)… (1 - lpz) = 0, also l1, …, lp, muss gelten: |zi| = | li-1 | > 1, i = 1, …, p Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Gleichgewicht und Fehlerkorrektur ADL(1,1)-Modell für Gleichgewichts-Zustand: m1: Gleichgewichts-Effekt (siehe oben) Fehlerkorrektur-Form: DYt = – (1 – j)(Yt-1 – m0 – m1Xt-1) + b0DXt + ut mit DYt = Yt – Yt-1 und analogem DXt Interpretation: Änderungen DY sind Effekt von Änderungen DX Ausgleich der Abweichung vom Gleichgewichts-Zustand, d.i. der Gleichgewichts-Fehler Y – m0 – m1X = e Hackl, Einführung in die Ökonometrie