Exponentielles Wachstum

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Bakterien und exponentielles Wachstum Quellen: www.bakterien.org und http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Bacillus_subtilis.jpg gefunden am 03.01.2006 Modellierung von Wachstumsprozessen

Bakterien und exponentielles Wachstum Wir betrachten eine Bakterienkultur. Ihr Wachstum (das aufgrund von Zellteilung zustande kommt) sei durch folgende drei Eigenschaften charakterisiert: In gleich langen Zeitintervallen vergrößert sich die Zahl der Bakterien um denselben Faktor. Zu Beginn besteht die Kultur aus 1000 Bakterien. Während jeder Stunde verdoppelt sich die Zahl der Bakterien. Zwei Dinge haben alle Mikroorganismen gemeinsam. Sie vermehren sich durch Zellteilung und sind optimal an ihre natürlichen Lebensbedingungen angepasst. Für jede Art gibt es eine optimale Temperatur, bei der die Zeit bis zu ihrer nächsten Zellteilung am kürzesten ist. Abweichungen von dieser Optimaltemperatur führen zu einer Verlangsamung des Wachstums oder zum Tod. Wie kann man ein Modell für das Wachstum von Bakterien aufstellen? Die folgenden drei Annahmen ermöglichen das Aufstellen eines Modells für idealisiertes Wachstum von Bakterien : - Die Anzahl der Bakterien erhöht sich in gleich langen Zeitintervallen um den gleichen Faktor. - Die Bakterienkultur besteht zu Beginn aus einer bekannten Anzahl von Individuen. - Man kennt die Zeit in der sich die Anzahl der Bakterien verdoppelt. Da jedes Wachstum eines Lebewesens, durch das Nahrungsangebot und die Größe des Lebensraums begrenzt ist, kann nichts ewig wachsen. Dieses Modell kann also nur dazu eingesetzt werden, das Wachstum von Bakterienkulturen in der frühen idealen Wachstumsphase zu charakterisieren. Die erste Eigenschaft ist die entscheidende, denn sie charakterisiert die Natur des Prozesses: Im vorliegenden Beispiel liegt ihr die Annahme zu Grunde, jedes Bakterium produziere mit gleichbleibender Rate Nachkommen, unabhängig von der Größe der Kultur und der seit Beginn verstrichenen Zeit. Wichtig in der obigen Formulierung ist das Wort "Faktor": Es kommt nicht etwa eine fixe Anzahl Bakterien pro Zeiteinheit dazu, sondern eine Zahl, die proportional zur bereits bestehenden Größe der Kultur ist. Je mehr Bakterien bereits vorhanden sind, umso mehr kommen dazu Die Zahl der Bakterien ist in Wahrheit diskret, d.h. sie wird sich nicht in kontinuierlicher Weise erhöhen, sondern sprunghaft, zu bestimmten Zeiten: So kann es geschehen, dass sich während eines Zeitraums von einer Sekunde gar nichts tut, in der darauffolgenden Sekunde aber ein neues Bakterium hinzukommt. (Zusätzlich könnte man einwenden, dass gar nicht klar ist, ab wann wir von einem "neuen Bakterium" sprechen, denn jede Teilung benötigt ihre Zeit). Bei großen Kulturen ist es aber legitim, diese Probleme zu ignorieren und sowohl die "Zahl der Bakterien" als auch die verstrichene Zeit als kontinuierliche Größen zu behandeln und durch reelle Zahlen zu beschreiben. Exponentielles Wachstum kann nicht bis in alle Ewigkeit weitergehen. Irgendwann stößt es an Grenzen, die den Prozess verlangsamen, und die gleichzeitig die Grenzen des Modells bestimmen

Wachstum von Bakterienkulturen In gleich langen Zeitintervallen vergrößert sich die Zahl der Bakterien um denselben Faktor. Zu Beginn besteht die Kultur aus 1000 Bakterien. Während jeder Stunde verdoppelt sich die Zahl der Bakterien. Wie viele Bakterienkulturen gibt es nach 1, 2, 4 und nach 6 Stunden? TOP: Wie viele Bakterienkulturen gibt es nach 12 Stunden, wie viele nach t Stunden?

Exponentielles Wachstum Bakterienkulturen x bezeichnet die Stunden, f(x) die Anzahl der Bakterienkulturen x f(x) f(0) = 1000 +1 1 f(1) = 2000 2 f(2) = 4000 3 f(3) = 8000 4 f(4) =16000 5 f(5) =32000 6 f(6) =64000

Exponentielles Wachstum Bakterienkulturen x bezeichnet die Stunden, f(x) die Anzahl der Bakterienkulturen x f(x) f(0) = 1000 +1 1 f(1) = 2000 2 f(2) = 4000 3 f(3) = 8000 4 f(4) =16000 5 f(5) =32000 6 f(6) =64000

Mathematischer Hintergrund „Vokabeln“ Eine Potenz ist ein Term der Form bc Bedeutung: b wird c-mal mit sich selbst multipliziert. Beispiel: 35 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 Spezialfall: 30 = 1 b wird Basis genannt. c wird Exponent genannt. Potenz-Rechenregeln s. Formelsammlung Weil wir den Exponenten verändern, schreiben wir im Folgenden bx.

Exponentielles Wachstum Bakterienkulturen x bezeichnet die Stunden, f(x) die Anzahl der Bakterienkulturen x f(x) f(0) = 1000 +1 1 f(1) = 2000 2 f(2) = 4000 3 f(3) = 8000 4 f(4) =16000 5 f(5) =32000 6 f(6) =64000

Exponentielles Wachstum Bakterienkulturen x bezeichnet die Stunden, f(x) die Anzahl der Bakterienkulturen x f(x) = f(0) = 1000 = 1000∙20 +1 1 f(1) = 2000 = 1000∙21 2 f(2) = 4000 = 1000∙22 3 f(3) = 8000 = 1000∙23 4 f(4) =16000 = 1000∙24 5 f(5) =32000 = 1000∙25 6 f(6) =64000 = 1000∙26

Exponentielles Wachstum Bakterienkulturen x bezeichnet die Stunden, f(x) die Anzahl der Bakterienkulturen x f(x) = 1000∙2x f(0) = 1000 = 1000∙20 +1 1 f(1) = 2000 = 1000∙21 2 f(2) = 4000 = 1000∙22 3 f(3) = 8000 = 1000∙23 4 f(4) =16000 = 1000∙24 5 f(5) =32000 = 1000∙25 6 f(6) =64000 = 1000∙26

Vergleich von linearem Wachstum und exponentiellem Wachstum

Lineares Wachstum: f(x) = 0,5x + 2 +1 x 1 2 3 4 5 6 f(x) 2,5 3,5 4,5 + 0,5 Z. B.: Gewicht einer Stange in Abhängigkeit von ihrer Länge. Herstellung von Regentonnen in Abhängigkeit von der Zeit. (x Zeit in Minuten, y Anzahl der hergestellten Regentonnen) Quelle: Schmid, A./ Weidig, I. (1996). Lambacher Schweizer 10. Stuttgart: Klett, S.60

Exponentielles Wachstum f(x) = 2x x f(x) f(0)=20=1 +1 1 f(1)=21=2 2 f(2)=22=2∙2=4 3 f(3)=23=2∙2∙2=8 4 f(4)=24=2∙2∙2∙2=16 5 f(5)=25=2∙2∙2∙2∙2=32 6 f(6)=26=2∙2∙2∙2∙2∙2=64 Wie häufig kann man ein Zeitungsblatt (z.B. Die Zeit) in der Mitte falten? 2^8 = 256 2^9 = 512  jetzt hätte die Zeitung ungefähr die Dicke eines Telefonbuches. 2^10 = 1024  spätestens hier wird es echt schwierig Wie häufig muss man ein Zeitungsblatt (0,2 mm) falten, um die Entfernung Erde – Mond (mittlere Entfernung 384.467 km, Quelle: www.planetenkunde.de/p012/p01208/p0120802001.htm) zu überbrücken? 384.467km sind 384.467.000.000 mm Wenn ich eine Zeitung fünfmal falte, ist sie 1mm dick. Also ist gesucht 2^x = 5*384.467.000.000 = 1.922.335.000.000 2^41 = 2.199.023.256.000 also ist das gesucht x = 41. 2x

Lineares Wachstum: f(x) = 0,5x +2 1 2 3 4 5 6 f(x) 2,5 3,5 4,5 + 0,5 Exponentielles Wachstum: f(x) = 2x x 1 2 3 4 5 6 f(x) 8 16 32 64 ∙ 2

Exponentielles Wachstum - Exponentialfunktion Natur des Bakterienwachstums: In gleich langen Zeitintervallen vergrößert sich die Zahl der Bakterien um denselben Faktor. Unsere Frage war: Wie verändert sich die Anzahl der Bakterien in Abhängigkeit von der Zeit? Oder rein mathematisch: Wie verändert sich der Wert der Potenz, wenn man den Exponenten verändert? Die Funktion, die diese Veränderung beschreibt, wird deshalb Exponentialfunktion genannt. f(x)=bx b ist die Basis und x der veränderliche Exponent.

Wachstum – Funktionaler Zusammenhang Die Frage nach der Art des Wachsens führte zur Frage, welche Art von Funktion das Wachstum adäquat beschreiben kann. „Die Anzahl der Bakterien wächst exponentiell.“ Oder: „Der funktionale Zusammenhang zwischen der Zeit und der Anzahl der Bakterien ist exponentiell.“ (Zur Erinnerung: Der funktionale Zusammenhang zwischen der Länge eines Holzstabes und seinem Gewicht ist linear. Der funktionale Zusammenhang zwischen der Länge der Seite eines Quadrates und der Fläche ist quadratisch.)

Exponentielles Wachstum - Exponentialfunktion f(x)=bx b ist die Basis und x der veränderliche Exponent. In unserem Beispiel gab es zum Zeitpunkt 0 (x = 0) bereits 1000 Bakterien. Deshalb hatte unsere Funktion einen Faktor: f(x) = 1000 ∙ 2x Allgemein: f(x) = a ∙ bx a ist der „Startwert“ für x = 0 (im Beispiel 1000), b ist der Wachstumsfaktor (im Beispiel verdoppeln) a, b und x sind reell, b > 0, b ≠ 1

Zurück zu unseren Bakterien: Wie viele Bakterien gibt es nach einer halben Stunde? f(1) = 1000 ∙ 21 bezeichnet die Anzahl der Bakterien nach einer Stunde. Um diese Frage zu beantworten, benötigen wir die Eigenschaft 1 unseres Systems: "In gleich langen Zeitintervallen vergrößert sich die Zahl der Bakterien um den gleichen Faktor". Damit lässt sich das Problem lösen: Nach einer halben Stunde haben sich die Bakterien um einen Faktor vermehrt, den wir im Moment nicht kennen und mit q bezeichnen. 1/2 Stunde nach Beginn gibt es also 1000 q Bakterien. In der darauffolgenden halben Stunde vermehren sie sich - gemäß Eigenschaft 1 - ebenfalls um den Faktor q, d.h. es gibt nun 1000 q2 Bakterien. Andererseits ist insgesamt ist 1 Stunde vergangen, und wir wissen aufgrund von Eigenschaft 3, dass sich die Zahl der Bakterien verdoppelt hat. Es muss also q2 = 2 gelten, woraus q = Ö2 = 1.414213562... folgt. Die Antwort auf die Frage ist also, dass es nach einer halben Stunde (ungefähr) 1414 Bakterien gibt. Der exakte, von unserem Modell vorausgesagte Wert ist 1000 Ö2. Nun beobachten wir, dass das auch als 1000 × 21/2 geschrieben werden kann, denn 21/2 ist gerade die Quadratwurzel aus 2. Das bedeutet aber, dass Formel (4) auch für t = 1/2 gilt ! Als Potenz sind auch Brüche zulässig! Also bezeichnet f( ½ ) = 1000 ∙ 2 ½ ≈ 1414 die Anzahl der Bakterien nach einer halben Stunde. Quelle: www.mathe-online.at/mathint/log/i.html (03.01.06)

Eine weitere Frage f(x) = 1000 ∙ 2x Jetzt sind wir in der Lage, einfache Aufgaben der folgenden Art zu lösen: Wie groß ist die Anzahl der Bakterien nach einer Stunde und 15 Minuten? diskret und stetig Um diese Frage zu beantworten, benötigen wir die Eigenschaft 1 unseres Systems: "In gleich langen Zeitintervallen vergrößert sich die Zahl der Bakterien um den gleichen Faktor". Damit lässt sich das Problem lösen: Nach einer halben Stunde haben sich die Bakterien um einen Faktor vermehrt, den wir im Moment nicht kennen und mit q bezeichnen. 1/2 Stunde nach Beginn gibt es also 1000 q Bakterien. In der darauf folgenden halben Stunde vermehren sie sich - gemäß Eigenschaft 1 - ebenfalls um den Faktor q, d.h. es gibt nun 1000 q2 Bakterien. Andererseits ist insgesamt ist 1 Stunde vergangen, und wir wissen aufgrund von Eigenschaft 3, dass sich die Zahl der Bakterien verdoppelt hat. Es muss also q2 = 2 gelten, woraus q = Ö2 = 1.414213562... folgt. Die Antwort auf die Frage ist also, dass es nach einer halben Stunde (ungefähr) 1414 Bakterien gibt. Der exakte, von unserem Modell vorausgesagte Wert ist 1000 Ö2. Nun beobachten wir, dass das auch als 1000 × 21/2 geschrieben werden kann, denn 21/2 ist gerade die Quadratwurzel aus 2. Das bedeutet aber, dass Formel (4) auch für t = 1/2 gilt ! Lösung: Eine Stunde und 15 Minuten ist 1,25 Stunden. Wir setzen t = 1,25 ein und erhalten 2378,41423..., also sind nach 1,25 Stunden etwa 2378 Bakterien vorhanden. Quelle: www.mathe-online.at/mathint/log/i.html (03.01.06)

Erweiterung der Exponentialfunktion f(x) = 1000 ∙ 2x Man kann zeigen, dass als Exponent nicht nur rationale Zahlen (also Brüche), sondern alle reellen Zahlen gewählt werden können. diskret und stetig Um diese Frage zu beantworten, benötigen wir die Eigenschaft 1 unseres Systems: "In gleich langen Zeitintervallen vergrößert sich die Zahl der Bakterien um den gleichen Faktor". Damit lässt sich das Problem lösen: Nach einer halben Stunde haben sich die Bakterien um einen Faktor vermehrt, den wir im Moment nicht kennen und mit q bezeichnen. 1/2 Stunde nach Beginn gibt es also 1000 q Bakterien. In der darauf folgenden halben Stunde vermehren sie sich - gemäß Eigenschaft 1 - ebenfalls um den Faktor q, d.h. es gibt nun 1000 q2 Bakterien. Andererseits ist insgesamt ist 1 Stunde vergangen, und wir wissen aufgrund von Eigenschaft 3, dass sich die Zahl der Bakterien verdoppelt hat. Es muss also q2 = 2 gelten, woraus q = Ö2 = 1.414213562... folgt. Die Antwort auf die Frage ist also, dass es nach einer halben Stunde (ungefähr) 1414 Bakterien gibt. Der exakte, von unserem Modell vorausgesagte Wert ist 1000 Ö2. Nun beobachten wir, dass das auch als 1000 × 21/2 geschrieben werden kann, denn 21/2 ist gerade die Quadratwurzel aus 2. Das bedeutet aber, dass Formel (4) auch für t = 1/2 gilt ! Der Definitionsbereich einer Exponentialfunktion f(x) = bx ist also die Menge der reellen Zahlen. Quelle: www.mathe-online.at/mathint/log/i.html (03.01.06)

Rückblick Potenz, Basis, Exponent ax Exponentialfunktion: f(x) = a ∙ bx, , wobei a, b, x reell, b > 0, b ≠ 1 Aufstellen einer Exponentialfunktion (Modellbildung auf Grundlage eines realen Problems) Schritte der Modellbildung: V – Ü – R – Z - A Beschreiben des Wachstums von Bakterienkulturen Erweiterung der Exponentialfunktion: Als Exponenten sind alle reellen Zahlen möglich.

Drei Fragen Was ist eine Potenz, was ist eine Exponentialfunktion? Worin bestehen Unterschiede zwischen linearem und exponentiellem Wachstum? Wie errechne ich Bestandszahlen mit Hilfe einer Exponentialfunktion (z. B. Anzahl von Bakterien)?

Internetlinks http://www.mathe-online.at/mathint/log/i.html#Bakterien Selbstlernmaterial von Thomas Unkelbach unter http://www.thomas-unkelbach.de/

Hausaufgabe BASICs Arbeitsblatt liegt am Ausgang aus. Göde Klöppner, Christian Westphal, Christoph Hagel 2006