Entwurf superstabiler Regelkreise Hauser Helmut Betreuer Prof. A.Hofer Institut für Regelungstechnik

Ausgangspunkt - L1-Theorie G(z) LTI , BIBO-stabil w(k) e(k) Forderungen Zusammenhänge |w(k)|  1 für alle k ||e(k)||  möglichst klein

Grundidee der Diplomarbeit Vorteile der L1-Theorie Der Reglerentwurf findet direkt im Zeitbereich statt Eine Robuste Regelung und Stellgrößenbeschränkung können berücksichtigt werden Nachteile der L1-Theorie Die Reglerordnung kann sehr hoch werden von Anfangsbedingungen gleich Null wird ausgegangen Neuer Ansatz um Nachteile zu beseitigen und Vorteile zu übernehmen

Alte und neue Definition L1-Theorie Eine Strecke hat l1 -Performance kleiner als l1 genau dann, wenn für die Zustandsgrößen zum Zeitpunkt Null x(0)=0 und für die Eingangsfolge |w(k)| 1 gilt, und der Betrag der Ausgangsfolge e(k) für alle Zeitpunkte k  0 unter der Schranke l1 bleibt. Equalized Performance Eine Strecke besitzt genau dann eine Equalized Performance kleiner als , wenn für die ersten n Werte der Ausgangsfolge |e(i)|   gilt, und für die Eingangsfolge |w(j)|  1, j=0,1,... gilt, und die Ausgangsfolge auch weiterhin unter der Grenze  bleibt |e(k)|   für k  n

Berechnung der Equalized Performance μ Eingang w(k) LTI Ausgang e(k) Zugehöriges ARMA Modell Abschätzungen: bzw.

Berechnung der Equalized Performance μ Definition der 1-Norm Equalized Performance

Idee für den Reglerentwurf: Superstabilität Superstabiles Polynom: Superstabiles Systeme: Wenn Nennerpolynom superstabil ist ! Idee für den Reglerentwurf: superstabilisieren  minimieren

Reglerentwurf Strecke Regler e(k) y(k) u(k) w(k)

Reglerentwurf 1.) Ziel des Reglers: Auswirkung der Störung w(k) auf Ausgang e(k) optimal unterdrücken. 2.) Übertragungsfunktion von w(k) e(k) Abhängigkeit der Koeffizienten des geschlossenen Kreises von den Reglerkoeffizienten 3.) Problem läßt sich mich LP lösen   wird außerhalb von LP durch Intervallhalbierung optimiert

Verbale Problemformulierung: Mathematische Problemformulierung Reglerentwurf Verbale Problemformulierung: Wir suchen diejenigen Reglerkoeffizienten pi und qi , die unsere Übertragungsfunktion von w(k)  e(k) superstabilisieren, und dabei die optimale Equalized Performance  liefern. Mathematische Problemformulierung

Beispiel  System 3. Ordnung Mit L1-Theorie: Gesamt ergibt es FIR mit 18 Ordnung Equalized Performance davon:  = 3,01 -50% Ordnung +2% höheres  Resultate mit neuem Ansatz: Regler-Ordnung 2 3 4 5 6 7 8  5.001 3.801 3.422 3.248 3.153 3.098 3.064

Pol- und Nullstellenlage des geschlossene Kreises Reglerordnung = 8

Stellgrößenbeschränkung Idee: Equalized Performance stellt eine Obergrenze für die Absolutwerte der Ausgangsfolge dar. Übertragungsfunktion Gu mit Ausgang Stellgröße zusätzliche Gleichungen Ungleichungen Zusätzliche Beschränkung für die Reglerkoeffizienten  Erforderliche Ordnungen werden höher sein

Beispiel mit u(k) Beschränkung Beispiel der Form: R(z) y(k) u(k) d‘(k) d(k) P(z) F(z) Forderung: |u(k)|  80 !!

Vergleich: u(k) beschränkt und unbeschränkt u = unbeschränkt Regler- Ordnung 1 2 3 4 5 6  x 0.04901 0.04208 0.03712 0.03488 0.03350 |u|  80 Regler- Ordnung 7 8 9 10 11 12  x 0.05231 0.04840 0.04719

Resultate Mit neuem Ansatz L1-Theorie  Wenn Ordnung = 11 vorgegeben wird  mit  = 0.04839902 L1-Theorie  liefert Regler der Ordnung = 11  mit  = 0.04839902 Pole Nullstellen

Zusammenfassung - SISO Liefert gute Ergebnisse im Störentwurf Ordnung kann vorgegeben werden Anfangszustände ungleich Null möglich Lösung mit LP möglich Vergleich mit L1-Theorie – niedere Ordnungen Stellgrößenbeschränkung Robustheitsforderungen

Erweiterung auf MIMO Abschätzungen Definition: ||A|| = q Maximal 1 Induktion

Superstabilität - MIMO |u(k)| = 0 |u(k)|  1 Bedingung: Equalized Performance

Reglerentwurf Statische Regler Dynamische Regler

Reglerentwurf Statische Regler Strecke D2 D1 u(k) d(k) y(k) K

Reglerentwurf Analoge Idee wie im SISO-Fall Wir suchen diejenige Reglermatrix K, welche die Ungleichung ||A+BKC||<1 erfüllt, und gleichzeitig die optimale Equalized Performance  liefert. Für LP wird benötigt: Gleichungen, die Abhängigkeiten widerspiegeln Ungleichungen

Beispiel Papiermaschine

Ergebnisse 0.2 0 0 0.1 0 0 0 0 0 0 0.99016091508199 Equalized Performance  20.32709359303108

Lage der Eigenwerte O vorher X nachher

Zusammenfassung - MIMO Wenige Systeme superstabilisierbar (auch mit Zustandsregelung) Oft bis knapp über der Grenze von 1 Große Systeme weiter weg von Superstabilität Regler mit Koeffizienten = Null  zusätzliche Beschränkung notwendig  Stark eingeschränkt in seiner Anwendbarkeit