Sächsisches Staatsministerium für Kultus Wien, 01.03.2006 Bildungsstandards – Ihr Beitrag zur nachhaltigen Entwicklung von Kompetenzen im Mathematikunterricht Dr. Rainer Heinrich Sächsisches Staatsministerium für Kultus Bildungsstandards

Situation in Deutschland Nationale Bildungsstandards Einheitliche Prüfungsanforderungen in der Abiturprüfung (national) Lehrpläne / Rahmenrichtlinien (regional) Prüfungen (regional / zentral oder dezentral)

1. Warum benötigt Deutschland Bildungsstandards?   Vorgeschichtliches: 1997: KMK Beschluss zur Teilnahme Deutschlands an internationalen Vergleichsstudien („Konstanzer Beschluss vom Oktober 1997)  PISA und andere Studien zeigten Defizite auf  Großes Erschrecken!!!  Was nun? Bisher gab es in Deutschland (mit Ausnahme der EPA) nur eine Inputsteuerung des Bildungssystems über Lehrpläne.

    Eine kritische Sicht von außen fehlte in einigen Bundesländern vollständig. Hinzu kommt, dass die Abschlusszeugnisse Zugangsberechtigungen darstellen, also vergleichbar sein sollten. Bisher gab es gleichwertige Mittlere Bildungsabschlüsse ohne Standards.  

Beispiel Skandinavien:   Notwendige regelmäßige systematische Rechenschaftslegung Zentrale Schulleistungsstudien Zentrale Prüfungen  

KMK-Beschluss vom 23./24.05.2002 in Eisenach: Standards für den Primarbereich nach Klasse 4 Hauptschulabschluss nach Klasse 9 Mittleren Schulabschluss nach Klasse 10  

2. Was sollen Bildungsstandards leisten? Legen Kompetenzen fest, die Schüler bis zu einer bestimmten Jahrgangsstufe erworben haben sollen Konzentrieren sich auf die Kernbereiche eines Faches Dienen der Schul- und Unterrichtsentwicklung und der externen und internen Evaluation durch Erzeugen von Vergleichsmaßstäben Aber: Schulische Bildung geht über Standards hinaus (Persönlichkeitsentwicklung, Werteorientierung)

Lehrpläne weisen Lernziele und Inhalte aus und ordnen diese zeitlich an (beschreiben Weg und Ziel). Bildungsstandards weisen die Kompetenzen bis zu einem bestimmten Unterrichtsabschnitt des Schülers aus, sie standardisieren aber nicht den Weg zum Ziel. Für Mathematiker: Es handelt sich sozusagen um kumulierten Kompetenzzustand bis zum Zeitpunkt t

Fächer: Deutsch, Mathematik, Erste Fremdsprache 3. Besonderheiten: Fächer: Deutsch, Mathematik, Erste Fremdsprache beschreiben erwartete Leistungen im Rahmen von Anforderungsbereichen weisen ein mittleres Anforderungsniveau aus werden durch Aufgabenbeispiele veranschaulicht sind abschlussbezogen dienen der Vergleichbarkeit der Abschlüsse bei verschiedenen Schularten und Schulsystemen in Deutschland

Warum sind die nationalen BS Regel- und nicht Mindeststandards? Mindeststandards sollen erst nach einer wissenschaftliche Validierung der BS entwickelt werden, um Über- oder Unterforderungen zu vermeiden.

Kompetenzen: Dispositionen zur Bewältigung bestimmter Anforderungen Lernen nicht als Aufbau von trägem Wissen sondern als Bewältigung von Anforderungen Lernen als kumulativer Prozess

Bildungsstandards im Fach Mathematik

Bildungsstandards im Fach Mathematik Kompetenzen: Mathematisch Argumentieren Probleme mathematisch lösen Mathematisch Modellieren Mathematische Darstellungen verwenden Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Kommunizieren

Bildungsstandards im Fach Mathematik Kompetenzen: Allgemeine fachliche Ziele des Lehrplanes Mathematisch Argumentieren - Kritischer Vernunftgebrauch Probleme mathematisch lösen - Entwickeln der Mathematisch Modellieren Problemlösekompetenz Mathematische Darstellungen verwenden - Anschaulichkeit Mit symbolischen, formalen und technischen - Umgang mit grundlegenden Elementen der Mathematik umgehen mathematischen Objekten Kommunizieren - Umgang mit der Fachsprache

Bildungsstandards im Fach Mathematik Für die inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen sind folgende mathematischen Leitideen zugrunde gelegt: Zahl Messen Raum und Form Funktionaler Zusammenhang Daten und Zufall

Bildungsstandards im Fach Mathematik Anforderungsbereiche: Reproduzieren Zusammenhänge darstellen Verallgemeinern und Reflektieren

Was sind Anforderungsbereiche? Orientieren sich an den Anforderungsbereichen der EPA Resultieren nicht aus empirisch validierten Testverfahren sondern aus der Erfahrung von Lehrkräften

Rolle der Aufgabenbeispiele: Veranschaulichung der Standards Grundlage für Feststellung des Lernstandes Keine Prüfungsaufgaben Darstellung der Spannbreite von Aufgabentypen zur Überprüfung von Kompetenzen

4. Implementation der Bildungsstandards

Wissenschaftliches Institut der Länder zur Qualitätssicherung Orientierungs- und Vergleichsarbeiten in den Ländern Entwicklung von Aufgabenpools

These: Um die Bildungsstandards umzusetzen, muss sich die Unterrichtskultur weitgehend ändern

Änderungsbedarf weil: „Starres“ Bild der Mathematik Verfügbarkeit neuer Medien Forderung nach neuer Aufgabenkultur

Veränderte Aufgabenkultur beinhaltet neben traditionellen Aufgaben A1: Sach- und Anwendungsorientierte Aufgaben A2: Problemorientierte Aufgaben A3: Multiple-Choice-Aufgaben A4: Aufgaben, die grundlegende Inhalte verbinden A5: Aufgaben, die ausgewählte didaktische Strategien unterstützen A6: Offene Aufgaben

Beispiel für eine Aufgabe aus einem Zentralabitur 1994   Gegeben ist eine Funktion f mit der Gleichung . Führen Sie für die Funktion f eine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Koordinaten des Schnittpunktes mit der y-Achse, Koordinaten der lokalen Extrempunkte und Art der Extrema. Lösung mit GTR:

Beispiel für eine Abituraufgabe 1999 Der symmetrische Giebel eines Barockhauses soll rekonstruiert werden. Die Abbildung zeigt den Giebel in einem Koordinatensystem. Eine symmetrische, ganzrationale Funktion f beschreibt den oberen Giebelrand. Die x-Achse ist Tangente an den Graphen der Funktion f in den Punkten     Die Höhe des Giebels beträgt 4m . a) Begründen Sie, dass die Funktion f mindestens 4. Grades sein muss.   b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Funktion f. c) Die Giebelfläche soll durch eine Waagerechte Linie in zwei flächengleiche Teilstücke zerlegt werden. Der obere Teil soll mit Ornamenten versehene werden, während im unteren Teil Fenster angebracht werden. Berechnen Sie, in welcher Höhe der Giebel geteilt werden muss.

Ein fiktives Beispiel für eine Abituraufgabe  Beschreiben Sie die Form des Giebels mit mathematischen Mitteln.

Ein modernes Mathematikwerkzeug enthält Computer-Algebra-System Tabellenkalkulation Dynamische Geometrie 2D- und 3D-Darstellungen (Funktionsplotter) Programmierumgebung Textverarbeitung, Linksoftware, Lernsoftware

Gründe für den Einsatz von CAS/GTR Didaktische Gründe Entdeckendes Lernen – Experimentieren Visualisieren Motivieren Rechenknecht Änderung der Aufgabenkultur Fächerverbindendes Arbeiten

Ausgewählte Beispiele für den Unterricht 1. Geburtstagsrechnung Variante 1: Variante 2:

Fußballspieler Visualisieren, Motivieren

Fußballspieler

Fußballspieler

Vorsicht Kröten Offene Aufgaben, Experimentieren, Visualisieren

Vorsicht Kröten Eine Kröte benötigt zum Überqueren einer 7 m breiten Straße bis zu 20 Minuten.

Vorsicht Kröten X Unterlege z. B. 200m Straße mit Dezimeterraster.   Aller wie viel Sekunden ändert sich das Hüpfschema? X

Vorsicht Kröten  Aller 17 Sekunden ändert sich das Hüpfschema    Aller 17 Sekunden ändert sich das Hüpfschema (nach Zeitungsangaben).

Vorsicht Kröten 1. Wie viel Zeit benötigt ein PKW für z. B. 200 m Straße in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit?  

Vorsicht Kröten y(1)=200/(x/3.6) Zehnerschritte:  

Wie viele „Hüpfschemen“ überrollt der PKW in dieser Zeit?   Ablesen der Schnittpunkte bei den Vielfachen von 17 liefert:

Ablesen der Schnittpunkte bei den Vielfachen von 17 liefert:   -          85s (5 Schemen) bei 8,5 km/h -          68s (4 Schemen) bei 10,6km/h) -          51s (3 Schemen) bei 14,11 km/h) -          34s ( 2 Schemen) bei 21,2 km/h -          17s (1 Schema bei 42,6 km/h) „Je langsamer ich fahre, um so mehr Kröten treffe ich.“ „Ab 42,6 km/h ist es dann egal, es gibt keinen Unterschied mehr.“  

Weg eines Autos in einer halben Sekunde: 2. Welchen Einfluss hat die Reaktionsgeschwindigkeit der Kröte?   Erdkröten können Objekte bis zu einer Entfernung von 4 m wahrnehmen, innerhalb von 0,5 Sekunden reagieren und bei Gefahr auch springen. Weg eines Autos in einer halben Sekunde:

Das heißt, der zurückgelegte Weg des PKW beträgt bei 10km/h 1,38m usw.   Das heißt, der zurückgelegte Weg des PKW beträgt bei 10km/h 1,38m usw. Ist dieser Weg kleiner als 4m kann die Kröte reagieren.

solve (v/3.6*0.5=4,v) liefert . Koppelung mit dem vorherigen Modell

  „Der Graph existiert erst ab 30km/h. Dort überfahre ich ca. 1,4 Hüpfschemen und damit die größte mögliche Anzahl von Kröten“

3. Welchen Einfluss hat der Bremsweg des Fahrzeugführers? Bremsweg laut Fahrschul-Faustformel:   Geschwindigkeit Bremsweg in m 10 1 20 4 30 9 40 16 50 25

Anruf bei der Verkehrspolizei Dresden Sie dürfen nicht nur die Gefahr für die Kröte sehen. Durch den beim Überfahren der Kröte entstehenden Matsch unter den Reifen wird die Haftreibung wie beim Aquaplaning so verringert, dass Sie die Kontrolle über das Fahrzeug verlieren könnten. Das Zeichen gilt für Ihren Schutz.

4. Wie viele Kröten werden getroffen?   200 m Straße mit 7m Breite: Autoreifen: ca. 20 cm breit überfahrener „Anteil“: Wahrscheinlichkeit, dass 1 Feld getroffen wird:

Betrachte 50 Kröten:   Wahrscheinlichkeit, dass auf einem Feld eine Kröte sitzt: Wahrscheinlichkeit, dass Feld mit Kröte getroffen wird: Variation: Bei 10 000 Kröten ist p=0,0041 Welchen Einfluss hat die Anzahl der Hüpfschemen?

Die Summe der Quadratzahlen dreier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist 590. Wie lauten die drei Zahlen?

Die Summe der Quadratzahlen dreier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist 590. Wie lauten die drei Zahlen?

Schülerreaktionen Sascha A. (14): Wir haben beschlossen, eine Programmier-AG zu gründen- und Sie sind unser Chef.   Claudia Ö. (16): Ich denke, Mathematik ist genauso cool wie Musik.    Nicole G. (14): Meine Mutter hat gesagt, ich soll Ihnen nochmal “Danke” sagen für das besorgen der Rechner. Und eigentlich soll ich Ihnen einen Schmatz geben, aber das traue ich mir nicht.