Didaktik der Physik Thema: Geometrische Optik Linsen, Fernrohr und Mikroskop Vortragender: Markus Kaldinazzi

Gliederung Allgemeines zur geometrischen Optik Aufbau des Strahlenganges an dünnen Linsen; Arten von Linsen Die Linsengleichung Linsensysteme Linsenmachergleichung Vergrößerungsgläser; Winkelvergrößerung Fernrohre Mikroskope Abbildungsfehler

Geometrische Optik (auch Strahlenoptik) Näherung der Optik; Welleneigenschaften des Lichtes werden vernachlässigt da die mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen (Spiegel, Linsen) groß im Verhältnis zur Wellenlänge des Lichtes sind. Wellenlänge von sichtbarem Licht ca. 400 – 750nm << Maße von Alltagsgegenständen und optischen Bauteilen

Licht wird als aus Lichtstrahlen zusammengesetzt betrachtet Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsgesetz, d.h. sie können sich gegenseitig durchdringen, ohne sich zu stören Geradlinige Ausbreitung im homogenen Medium Reflexion an verspiegelten Flächen Brechung an Grenzflächen zwischen Medien unterschiedlicher Brechzahl nach Snellius

Allgemein gilt das Fermat`sche Prinzip: Das Licht wählt auf dem Weg von einem Punkt P1 zu einem Punkt P2 immer den zeitlich kürzesten Weg.

Was versteht man unter einer Linse? Als Linse bezeichnet man ein optisch wirksames Bauelement mit zwei lichtbrechenden Flächen, von denen mindestens eine Fläche konvex oder konkav gewölbt ist.

Linsenformen Einfache Linsen: beide optisch aktiven Flächen sind sphärisch (Oberflächenausschnitt einer Kugel)

Unterschied Sammellinsen/Zerstreuungslinsen Im Bereich der optischen Achse sind Sammellinsen dicker als Zerstreuungslinsen.

Asphärische Linsen:

meist rotationssymmetrisch Flächen sind nicht Ausschnitte von Kugeloberflächen Form wird durch Kegelschnitt plus eine Potenzreihe für Deformationen höherer Ordnung bestimmt R...Scheitelradius, k...konische Konstante, A4,A6... Asphärische Parameter

Anwendung asphärischer Linsen Ziel: Abbildungsfehler reduzieren Ersatz: 2 – 3 sphärische Linsen Nachteil: teure Herstellungskosten Kurzbrennweitige Objektive und Okulare Flachbettscanner Linsen in Projektoren und Scheinwerfern

Ideale Linse Paraboloidform Parallel einfallende Lichtstrahlen werden in einem Punkt (Fokus) gebündelt Zu den Rändern hin weniger stark gekrümmt als sphärische Linse Achsennahe Bereiche der sphärischen Linse können für Sammellinsen verwendet werden

Strahlengang für Sammel- bzw. Zerstreuungslinsen Sammellinsen Auf Grund des Snellius´schen Brechungs-gesetzes werden Strahlen in Richtung der optischen Achse abgelenkt. F...Brennpunkt f...Brennweite

Die von einem Punkt eines weit entfernten Objekts ausgehenden Strahlen verlaufen nahezu parallel. Der Brennpunkt kann somit als Bild eines unendlich weit auf der optischen Achse entfernten Objektes aufgefasst werden.

Parallele Strahlen unter beliebigem Winkel werden in Fa fokussiert. Die Menge aller Fa bilden die Brennebene.

Bestimmung des von einer Sammellinse erzeugten Bildes durch Strahlverfolgung

Entstehen eines realen, invertierten Bildes Auf Schirm projizierbar (a) Dieses reale Bild ist auch für das Auge sichtbar (b)

Zerstreuungslinsen Parallel einlaufende Lichtstrahlen divergieren. Brennpunkt als derjenige Punkt, von dem die gebrochenen Lichtstrahlen scheinbar ausgehen.

Erzeugung des Bildes einer Zerstreuungslinse durch Verfolgung des Strahlenverlaufs Strahl1: Parallel zur optischen Achse, scheint von F auszugehen Strahl2: zeigt in Richtung F`, parallel zur optischen Achse Strahl3: direkt durch den Mittelpunkt der Linse

Virtuelles, aufrechtes Bild Virtuell, da die Strahlen nicht durch das Bild gehen (nur Verlängerungen, strichliert) Nicht auf einen Schirm projizierbar ABER sichtbar! Das Gehirn interpretiert alle Strahlen, die das Auge erreichen so, als hätten sie einen geradlinigen Weg zurückgelegt. Auge unterscheidet nicht zwischen realen und virtuellen Bildern! Beide sichtbar!

Herleitung der Linsengleichung: Sammellinse dO...Objektweite dB...Bildweite hO...Höhe Objekt hB...Höhe Bild FI‘I ~ FBA  hB/hO =(dB-f)/f OAO‘ ~ IAI‘ hB/hO =dB/dO Gleichsetzen und dividieren durch dB liefert die Linsengleichung:

b) Zerstreuungslinsen: IAI‘ ~ OAO‘  hB/hO = dB/dO IFI‘~ AFB  hB/hO = (f – dB)/f Daraus resultiert:

Vorzeichenkonventionen f > 0 für Sammellinsen, f < 0 für Zerstreuungslinsen dO > 0: Objekt auf lichteinfallenden Seite der Linse dB > 0: Bild auf gegenüberliegenden Seite bzgl. Lichteinfall hO > 0 (immer), hB > 0: aufrecht; hB < 0: invertiert bzgl. h0

Optiker und Augenärzte verwenden anstelle der Brennweite deren Kehrwert um die Stärke von Brillengläsern oder Kontaktlinsen anzugeben. Brechkraft B =1/f Einheit: 1 Dioptrie = 1m-1 Brechkraft einer Sammellinse positiv Brechkraft einer Zerstreuungslinse negativ

Lateralvergrößerung einer Linse Verhältnis von Bildhöhe zu Objekthöhe v = hB/hO = -dB/dO Aufrechtes Bild: v > 0 Invertiertes Bild: v < 0

Ein Beispiel: Ein Objekt ist 10 cm von einer Sammellinse mit 15 cm Brennweite entfernt. Bestimme die Position und die Lateralvergrößerung des Bildes a) analytisch b) mittels Strahlen- diagramm. f = 15cm, dO = 10 cm Linsengl.: 1/dB = 1/f – 1/dO 1/dB = 1/(15cm) – 1/(10cm) = -1/(30cm)

dB < 0: virtuelles Bild, auf der gleichen Seite der Linse wie das Objekt. Vergrößerung: v = -dB/dO = -(-30cm)/(10cm) v = 3 > 0 Bild 3mal so groß wie das Objekt und aufrecht.

b) Strahlendiagramm

Linsensysteme Das durch die erste Linse erzeugte Bild wird zum Objekt für die zweite Linse.

Beispiel: Messung von f für Zerstreuungslinsen Sammellinse wird in unmittelbaren Kontakt mit Zerstreuungslinse gebracht. Beispiel: Sonnenstrahlen werden 28,5cm hinter der Linse fokussiert. Brennweite der Sammellinse fC = 16cm.

Linsengleichung (Zerstreuungslinse): -1/f = 1/dO – 1/dB -1/f = 1/(16cm) – 1/(28,5cm) = 0,0274cm-1 f = -36,5cm

Linsenmachergleichung Zusammenhang zwischen der Brennweite einer Linse und den Krümmungsradien ihrer beiden Oberflächen. Näherung für dünne Linsen und Winkel zwischen Strahlen und der Achse sehr klein

1 = n2, 4 = n3 1  sin1=h1/r1,   h2/r2,   h2/f =  1 - 2,  = 3 - , 4 =  +  = 3 -  = 4/n – (1- 2) = /n + /n - 1 + 2 h2/r2 = h2/(nr2) + h2/(nf) – h1/r1 + h1/(nr1) h1  h2:

LMG setzt die Brennweite einer Linse mit den Krümmungsradien ihrer beiden Oberflächen und ihrem Brechungsindex in Beziehung. f hängt nicht von h1 oder h2 ab. Daher werden alle Strahlen die parallel zur optischen Achse verlaufen in F fokussiert. LMG gilt auch für konkave Flächen

Vergrößerungsgläser (Lupen) Eine Lupe ist eine Sammellinse Wie groß Objekt erscheint, abhängig von Größe des Bildes auf der Netzhaut. Allerdings kann Auge nur bis 25cm akkommodieren (Nahpunkt) Lupe:Bild wird erzeugt, das min. 25cm vom Auge entfernt sein muss, dass es vom Auge fokussiert werden kann.

Winkelvergrößerung v v:= ‘/ ‘...Winkel, der bei Verwendung der Lupe überdeckt wird ... Winkel, der ohne Verwendung der Lupe überdeckt wird; Objekt im Nahpunkt!

Bei entspanntem Auge: Objekt liegt im Brennpunkt Bild erscheint bei unendlich v = ‘/ = = N/f N = 25 cm Bei Fokussierung auf den Nahpunkt: dB = -N, 1/dO = 1/f – 1/dB = 1/f + 1/N ‘ = h/dO v = ‘/ = = N/dO = N(1/f + 1/N) v = N/f + 1

Fernrohre Linsenfernrohre (Refraktoren) weit entfernte Objekte werden vergrößert Kepler- Fernrohr: (astronomisches FR) Kepler beschrieb 1611 den Strahlengang, hat es aber nicht selbst gebaut Aufbau: Langes Rohr, an beiden Enden sind Sammellinsen Objektiv: näher am Objekt Okular: zweite S – Linse

Strahlengang durch ein Kepler – Fernrohr und Winkelvergrößerung Auge entspannt: I1 in Fe‘, I2 bei   h/fO h... Höhe I1 ‘  h/fe v = ‘/ = -fO/fe

Terrestrische Fernrohre Objekte auf der Erde werden beobachtet Erwünscht: Aufrechtes Bild Zwei Arten von Fernrohren

1. Galilei Fernrohr od. holländisches FR: Okular =Zerstreuungslinse, Objektiv = Sammellinse Okular innerhalb der Brennweite des Objektivs Kein Zwischenbild

2. Fernglas od. Feldlinsentyp: Insgesamt 3 Sammellinsen Grund: Bild soll aufrecht sein Nachteil: Fernglas muss lang sein

Daher Verwendung des binokularen Prismas: Objektiv und Okular sind Sammellinsen Prismen: Totalreflexion -> Verkürzung der Bauweise und aufrechtes Bild

Spiegelteleskop (= Reflektor) Prinzipieller Aufbau: Hauptspiegel und Fangspiegel Einfallendes Licht wird nicht am Objektiv gebrochen Einfallendes Licht wird vom Hauptspiegel reflektiert Vermeidung von Farbfehlern

Vorteil der Reflektoren gegenüber Refraktoren: Spiegel in fast jeder beliebigen Größe anfertigbar Derzeit größter Spiegeldurchmesser: 10m (Keck-Teleskop auf Hawaii) Kerzenlicht in mehreren millionen km noch Entfernung wahrnehmbar

1. Newton - Teleskop von Isaac Newton 1668 entwickelt besteht aus konkavem Hauptspiegel (Rotationsparaboloid) und einem flachen Fangspiegel (lenkt Licht unter 90° ins Okular) Blick von der Seite ins Teleskop

2. Cassegrain – Teleskop 1672 entwickelt einfallendes Licht auf konkav-parabolischen Hauptspiegel Reflexion zum konvex-hyperbolischen Fangspiegel

Mikroskop: Betrachten sehr naher Objekte: dO klein Platzieren des Objekts unmittelbar hinter dem Brennpunkt I1 real, stark vergrößert I2 sehr groß, virtuell, invertiert

Vergrößerung eines Mikroskops: Gesamtvergrößerung = vOve Auge entspannt: I1 in Fe vO = hB/hO = dB/dO = (l – fe)/dO l...Abstand der Linsen Okular wirkt wie Lupe: ve = N/fe vges = N(l – fe)/(fedO)  Nl/(fefO), da l – fe  l und dO  fO

Abbildungsfehler von Linsen Sphärische Aberration Achsenparallele Strahlen oder Strahlen von einem Punkt der opt. Achse haben nach Durchgang durch Linse nicht die gleiche Schnittweite Abweichung am Rand stärker als in der Mitte Korrigierbar durch asphärischen Linsen Einschränken der SA durch Verwendung des zentralen Teils

2. Bildfeldwölbung ebenes Objekt wird nicht auf einer Ebene, sondern auf einer gewölbten Fläche abgebildet Mit ebenen Film Bild nicht überall scharf auffangbar Netzhaut gekrümmt: Kompensierung dieses Effekts

3. Chromatische Aberration Entsteht durch Dispersion (d.h. durch unterschiedliche Brechungsindizes eines transparenten Mediums für verschiedene Wellenlängen) Farbige Streifen im Bild Behebung: Zweiteiliger Achromat Sammellinse mit Zerstreuungslinse kombiniert