Vorbesprechung Serie 9 Ax(ExR(x) Q(x)) wird identifiziert mit Ax(EzR(z) Q(x)) Skript S.101 & 102: ~AxP(x) Ex~P(x) ~ExP(x) Ax~P(x) Ax(P(x)/\Q(x)) AxP(x) /\ AxQ(x) Ex(P(x) \/ Q(x)) ExP(x) \/ ExQ(x) Ax(P(x) D) Ax(~P(x) \/ D) AxP(x) \/ AxQ(x) Ax(P(x) \/ Q(x))
Wichtig bei Induktionsbeweisen: Form, Form, Form Korrekter Induktionsbeweis: 1. Verankerung 2. Induktionsannahme 3. Induktionsbehauptung 4. Induktionsschritt
Zur Verankerung: Zeige, dass die Formel für 1 gilt: Nicht einfach: Sondern: Verankerung mit n=1: 1 = 1*(1+1)/2
Zur Annahme und zur Behauptung: Induktionsannahme = Formel für n (ev. auch für n-1) Induktionsbehauptung = Formel die wir am Schluss möchten, also Formel für n+1 (oder für n)
Zum Induktionsschritt: Von wo nach wo? -Start: Formel die gegeben ist -umwandeln bis die Annahme eingesetzt werden kann (exakt!!!) -Annahme einsetzen -umformen bis die Form der Behauptung erreicht ist
Stacks und so InputOutput Stack(x)Objekt xBoolean Item(x)Objekt xBoolean top(x)StackItem push(x,y)x : Item y : Stack Stack pop(x,y)x : Item y : Stack Stack
Eine logische Konsequenz Wir können die Aussage aus den Axiomen herleiten Wir haben gegeben: push(x1, y1) push(x2, y2) Wir können wie bei Gleichungen auf beiden Seiten die gleiche Operation ausführen. Am besten so, dass wir danach ein Axiom anwenden können…
Wir können wie bei Gleichungen vereinfachen: (kommt z.B. in einer Formel (n+a)*(n-a) vor, so können wir dies immer mit n^2-a^2 ersetzen) Mit S5: Wenn top(push(x,y) vorkommt können wirs ersetzen mit x Mit S6: Wenn pop(push(x, y)) können wirs mit y ersetzen
Nicht verzweifeln an den Aufgaben P3-P5. Sie sind schwierig… Auch wenn in diesen Axiomen der Name Stack steht, es muss sich nicht um Stacks handeln (Sonst könnt Ihrs gar nicht beweisen…) Ihr dürft also die Funktionen selber interpretieren. Wie damals, als ihr Modelle für bestimmte Aussagen suchen musstet. Aber: Die Axiome müssen auch bei Euren Funktionen stimmen!
Induktion mit Stacks 1.Zeige, dass die Bedingung für den leeren Stack gilt. Ersetze y mit empty (empty ist eine Konstante 2.Schritt: Zeige, dass wenn die Annahme (= Formel) stimmt, dass die Aussage auch für push(x,y) stimmt. Zu zeigen: A (y) A (push(x,y))