Institut für Theoretische Informatik Diskrete Mathematik Angelika Steger Institut für Theoretische Informatik steger@inf.ethz.ch TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

Kapitel 3: Algebra Kapitel 3.2: Gruppen

Definition einer Gruppe

Definition einer Gruppe - Beispiele Beachte: Trägermenge G kann aus recht unterschiedlichen Objekten bestehen, z.B. Zahlen, Matrizen, Funktionen, … Entsprechend kann auch die Gruppenoperation ◦ recht unterschiedlich sein, z.B. Addition oder Multiplikation bei Zahlen Addition oder Multiplikation bei Matrizen Hintereinanderausführung bei Funktionen

Gruppen - Beispiel Zahlen mit Addition Neutrales Element: 0 0 + x = x + 0 = x " x Î R Inverse Elemente: -a x + (-x) = (-x) + x = 0 " x Î R Beispiele: á R, + ñ, á Q, + ñ, á Z, + ñ sind (abelsche) Gruppen Aber: á N0, + ñ ist keine Gruppe (inverse Elemente fehlen)

Gruppen - Beispiel Zahlen mit Multiplikation Neutrales Element: 1 1 * x = x * 1 = x " x Î R Inverse Elemente: x-1 x * x-1 = x-1 * x = 1 " x Î R \ {0} Beispiele: á R \ {0}, * ñ, á Q \ {0}, * ñ sind (abelsche) Gruppen Aber: á R, * ñ ist keine Gruppe (Null hat kein Inverses), á Z \ {0}, * ñ ist keine Gruppe (inverse Elemente fehlen),

Gruppen - Beispiel Matrizen mit Multiplikation Neutrales Element: Identitätsmatrix I * A = A * I = A " n ´ n Matrizen A Inverse Elemente: A-1 A * A-1 = A-1 * A = I " invertierbaren Matrizen A Beispiel: Rn := Menge aller invertierbaren n ´ n Matrizen á Rn, * ñ ist eine Gruppe (die nicht abelsch ist)

Gruppen - Beispiel Permutationen Eine Permutation einer (endlichen) Menge S ist eine Bijektion π : S → S. Schreibweisen für S = [n] = {1, … , n}: Einzeilenschreibweise: Zyklenschreibweise: Betrachte den gerichteten Graph . Für alle Knoten gilt: indegree = outdegree = 1. Der Graph zerfällt daher in Kreise (darunter auch Schleifen, Kreise der Länge 1, für Fixpunkte i mit π(i) = i). Wir schreiben diese Kreise (oder Zyklen), in beliebiger Reihenfolge auf, jeden Kreis als Folge seiner Knoten beginnend beliebig. Beispiel: S=[20]

Permutationen Beispiel: S=[16] in Einzeilenschreibweise: als Graph: in Zyklenschreibweise: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Permutationen Verknüpfung von Permutationen: π◦σ definiert durch (π◦σ)(i) = π(σ(i)) " i Î S Beispiel:

Permutationen Verknüpfung der Permutationen der Menge S=[3]:

Permutationen Verknüpfung von Permutationen: π◦σ definiert durch (π◦σ)(i) = π(σ(i)) " i Î S Beispiel: Sn := Menge aller Permutationen von [n] á Sn, ◦ ñ ist eine Gruppe (die nicht abelsch ist)

Warum Gruppen? Die Einführung des abstrakten Begriffs einer Gruppe, erlaubt es uns Aussagen zu beweisen, die für alle Gruppen gelten. Dies führt oftmals für Spezialfälle zu kürzeren und eleganteren Beweisen als wenn man diese versucht direkt zu beweisen. → Satz von Fermat / Euler

Warum Gruppen? Ausblick: Gruppen sind die Bestandteile von Körpern: Diese bestehen aus einer additiven Gruppe und einer multiplikativen Gruppe, die über ein Distributivgesetz verbunden sind. → 2007 Körper sind essentielle Bestandteile jeglicher Kodierungstheorie. → 2007

Gruppen & Modulo-Rechnung Notation: Beispiele: á Zn, +n ñ, á Z*n, *n ñ sind (abelsche) Gruppen Aber: á Zn\{0}, *n ñ ist i.A. keine Gruppe

Rechenregeln

Ordnung eines Elementes

Untergruppen

Nebenklassen

Nebenklassen

Der „kleine“ Satz von Fermat

Frohe Weihnachten und alles Gute für das Neue Jahr!