Quantum Computing Hartmut Klauck Universität Frankfurt WS 04/

Element Distinctness Problem: Gegeben n Zahlen von [1...10n] Sind die n Zahlen paarweise verschieden? Letzte Vorlesung: Zeit O(n 3/4 log n) [Shi02] Zeit (n 2/3 ) notwendig [Ambainis03] O(n 2/3 log n) reicht ! [Szegedy04] Spezialfall einer Quantisierung von random walks

Random Walks Gegeben sei ein ungerichteter Graph mit n Knoten Beginne in Knoten i mit Wahrscheinlichkeit p i Folge einer Kante an einem Knoten mit Grad d i mit Wahrscheinlichkeit 1/d i Betrachte resultierende Verteilung auf Knoten, wenn genügend oft iteriert

Random Walks Betrachte resultierende Verteilung auf Knoten, wenn genügend oft iteriert Übergangsmatrix P P [i,j]=1/d j, wenn Kante j,i im Graphen P ist stochastisch, i P[i,j] =1 Verteilung u 1,...u n auf 1...n entspricht Vektor u P k u ist Verteilung nach k Schritten

Random Walks Gute Graphen für random walks: Zusammenhang (jeder Punkt von jedem erreichbar) nicht bipartit (keine Periode in Folge der Wahrscheinlichkeiten) d.h. ergodische Markov Kette Theorem: Dann gibt es eine stationäre Verteilung v, d.h. Pv=v Diese Verteilung ist durch v i =d i /(2m) gegeben für m=Anzahl Kanten: (Pv) i = (j,i) (d j /2m) ¢ (1/d j )= (j,i) 1/2m=d i /2m Random walk konvergiert von jedem Startpunkt aus zu der stationären Verteilung

Random Walks Random walk konvergiert von jedem Startpunkt aus zu der stationären Verteilung Sei G regulär (d.h. d i =d) Dann ist Gleichverteilung stationär P ist symmetrisch Es gibt n reelle Eigenwerte 1 ¸... ¸ n und n orthogonale Eigenvektoren e i zu P Da P stochastisch, sind alle | i | · 1 Pv=v für stationäres v, d.h. 1 =1, e 1 =v stationär Sei w eine beliebige Verteilung auf 1...n w= i i e i P k w= i i P k e i = i i i k e i Wenn |1- 2 | gross, dann schnelle Konvergenz zu e 1

Random Walks Hitting Time: M sei eine Menge markierter Knoten Hitting time ist die erwartete Zeit um einen Knoten in M zu treffen P M sei P nach Streichung der Zeilen und Spalten zu Knoten in M Eigenwerte von P M sind · 1 Erwartete Hitting time ist höchstens 1/(1- ) für grössten EW von P M

Random Walks Erwartete Hitting time ist höchstens 1/(1- ) für grössten EW von P M Beispiel: vollständiger Graph, P(i,j)=1/(n-1), M={1}; P M (i,j)=1/(n-1) wenn i j, P M : Matrix für vollst. Graphen mit n-1 Knoten mult. mit (n-2)/(n-1), EW=1-1/(n-1) Hitting time · O(n) Anders: Prob (spezieller Knoten nach T Schritten nicht getroffen) · (1-1/(n-1)) T

Random Walks Wenn |M|=, EW=1, 2,... dann 1- ¸ (1- 2 )/2 d.h. Hitting time < 2/( (1- 2 )) Beispiel: Element Distinctness Problem Random walk Algorithmus: Wähle A µ {1,...,n}; |A|=r Teste ob x i =x j für zwei Elemente von A Entferne ein zufälliges Element von A, nehme zufälliges neues Element, Wiederhole Betrachte Graph: Knoten Mengen der Grösse r Kanten: Wenn zwei Mengen genau in zwei Elementen unterschiedlich Markierte Knoten: solche mit x i =x j

Random Walks Betrachte Graph: Knoten Mengen der Grösse r Kanten: Wenn zwei Mengen genau in zwei Elementen unterschiedlich Markierte Knoten: solche mit x i =x j Anzahl Knoten ist Wenn es x i =x j gibt, dann ist Anzahl markierter Knoten Damit: Zweitgrösster EW vom Graphen ist 1-1/r Wenn |M|= N, EW=1, 2,... dann 1- ¸ (1- 2 )/2 d.h. Hitting time < 2/( (1- 2 )) Hitting Time also 2(n 2 /r 2 ) ¢ r=n 2 /r Laufzeit: O(r+n 2 /r), bestenfalls O(n)

Random Walks Hitting Time also 2(n 2 /r 2 ) ¢ r=n 2 /r Laufzeit: O(r+n 2 /r), bestenfalls O(n) Behauptung: Quantum walk hat quadratisch kürzere Hitting time Dann Laufzeit O(r+n/r 1/2 ), optimal für r=n 2/3 Vergleiche mit Walk auf vollständigem Graphen, Hitting time n 1/2 entsprechend Grover Algorithmus

Random Walks Klassischer Walk Algorithmus für Element Disctinctness, r=n 2/3 Argument für Hitting time O(n 4/3 ) Fange bei zufälligem Knoten an Prob(Kollision gefunden) ¼ (n 2/3 /n) 2 =n -2/3 Walk für n 2/3 Schritte führt zu fast wieder zufälligem Knoten: Sei Menge A von n 2/3 Indizes gegeben als Start Wähle Index aus A, entferne und ersetze durch Index aus T-A, k Iterationen Jeder Index: Noch in A mit Prob (n 2/3 -1)/n 2/3 ) k, konstant wenn k=n 2/3, Also erwartet Hälfte der Indizes neu, Ws dass diese die Kollision enthalten (n -2/3 ) Also Hitting time O(n 4/3 )

Quantum Walks Mehrere verschiedene Definitionen Superposition über Knoten Z.B. Walk mit Münzwurf: Erzeugen einer Superposition entsprechend Münzwurf in Extraregister, entsprechend der nächsten Kante folgen, Münzwurfregister löschen (funktioniert nur bei regulären Graphen)

Quantum Walks Hier: Betrachten Walks auf bipartiten Graphen (verdoppele Knotenmenge, Übergänge auf Kopie der Nachbarn in der jeweils anderen Menge) P: Matriz des ursprünglichen walks Basis: Zustände |i i |j i i sei Knoten auf linker Seite, j auf rechter Seite Zustände | i i = j (P[j,i]) 1/2 |i i |j i | j i = i (P[i,j]) 1/2 |i i |j i Möchten: Operator: |i i |r i wird für alle |r i auf | i i abgebildet, analog für j, aber unmöglich!

Quantum Walks Basis: Zustände |i i |j i Gegeben Walk mit Matrix P i sei Knoten auf linker Seite, j auf rechter Seite Zustände | i i = j (P[j,i]) 1/2 |i i |j i | j i = i (P[i,j]) 1/2 |i i |j i Sei A die Matrix (| i i ) i=1...n (d.h. n Spalten / n 2 Zeilen) B ebenso für | j i AA*: Projektion auf Unterraum E A von | i i aufgespannt BB* für | j i 2AA*-I Reflektion um Unterraum Walk Operator: W=(2BB*-I)(2AA*-I)

Quantum Walks 2AA*-I Reflektion um Unterraum Walk Operator: W=(2BB*-I)(2AA*-I) (2AA*-I) lässt E A unverändert P symmetrisch, dann | i = i,j (P[i,j]) 1/2 /N 1/2 |i,j i stationär Intuition: amplifiziere Zustände, die dem walk entsprechen Frage 1: Ist W unitär? Frage 2: Was ist Hitting time im Quantum walk? 1): AA* ist Projektion auf E A, symmetrisch (2AA*-I) (2AA*-I)*=I

Quantum Walks 2AA*-I Reflektion um Unterraum Walk Operator: W=(2BB*-I)(2AA*-I) Frage 2: Was ist Hitting time im Quantum walk? Sei M markierte Menge im ursprünglichen Graphen Verändere den ursprünglichen random walk: Wenn markierter Knoten erreicht, niemals verlassen

Quantum Walks Verändere den ursprünglichen random walk: Wenn markierter Knoten erreicht, niemals verlassen Neue Matrix: Lasse quantum walk für den modifizierten random walk auf | i laufen Wenn M leer, dann wird immer | i erreicht Plan: Wenn M nicht leer, und wenn genügend viele Iterationen, dann wird ein Zustand erreicht, der konstanten Abstand von | i hat, Messung ergibt Entscheidung Es wird i.A. nur Entscheidung erzielt (vergl. Element Distinctness) Quantum Hitting time: Anzahl Schritte, bis h |W t | i < 3/4

Quantum Walks Quantum Hitting time: Anzahl Schritte, bis h |W t | i < 3/4 Theorem: Hitting time ist O( 1 / (1-||P M ||) 1/2 ) Damit: Element Distinctness kann in Zeit O(n 2/3 log n) entschieden werden.

Beispiel Random Walk auf vollständigem Graph, ein markierter Knoten (1), dieser stoppt walk Verändere in bipartiten Graphen | i = i,j (P[i,j]) 1/2 /N 1/2 |i,j i = i,j 1/N |i,j i | 1 i =|1 i |1 i ; | 1 i =|1 i |1 i | i i = j (1/N]) 1/2 |i i |j i | j i = i (1/N) 1/2 |i i |j i

Beispiel

Effekt von W Wie wird gesuchtes Element (1) amplifiziert? |1 i |1 i stationär Amplitude in Zuständen |1 i |j i wird durch 2AA*-I mit -1 multipliziert, dann Grover Iteration vollständig nach 2BB*-I Amplitude in Zuständen |j i |1 i wird durch 2BB*-I mit -1 multipliziert etc. Zustände |i i |j i : Grover Schritt auf beiden Registern

Quantum Walks Quantum Hitting time: Anzahl Schritte, bis h |W t | i < 3/4 Theorem: Hitting time ist O( 1 / (1-||P M ||) 1/2 )

Quantum hitting time r=n-|M| nichtmarkierte Knoten |v 1 i,...,|v r i sei Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von P M mit Eigenwerten 1,..., r Sei |v x i = i i,x |i i, wobei i,x =0 wenn i in M |e A,x i = i i,x | i i = i,j i,x (P[j,i]) 1/2 |i,j i 2 E A |e B,x i = i i,x | i i = i,j i,x (P[i,j]) 1/2 |i,j i 2 E B Eigenschaften: h e A,x | e B,x i = x (2BB*-I) |e A,x i = x |e B,x i

Quantum hitting time V x sei von |e A,x i, |e B,x i aufgespannt V x ist invariant unter 2BB*-I und 2AA*-I: 2AA*-I reflektiert in V x über |e B,x i Ergebnis von W in V x : Rotation um Winkel zwischen |e A,x i, |e B,x i W rotiert in V x um 2 x, wobei x =cos -1 ( x )

Quantum hitting time Sei |u x i die Projektion von | i auf V x Man kann zeigen, dass x ||u x || 2 =r/n, ObdA ¸ 1/2 Wenn ungefähr l ¼ 1/ x Schritte gemacht sind ist h u x | W l |u x i =1- (1) Wenn ungefähr 1/ =max 1/ x Schritte, dann h |W l | i · 1- (1) ¢ x ||u x || 2 · 1- (1) Zufällige Wahl von l aus 1,...,1/ Auch h |W l | i 2 · 1- (1) ¸ sin ¸ (1-cos ) 1/2 =(1-||P M ||) 1/2 ergibt sich Ergebnis