Quantum Computing Hartmut Klauck Universität Frankfurt WS 05/

Suchprobleme Erstes Problem: Gegeben x 0,...,x N-1, finde i mit x i =1 wenn vorhanden Zweites Problem: Gegeben x 0,...,x N-1 mit Garantie, dass genau ein x i =1, finde i Drittes Problem: Gegeben x 0,...,x N-1, Berechne ODER(x 0,...,x N-1 ) Viertes Problem: Gegeben x 0,...,x N-1 mit Garantie, dass genau ein x i =1 oder kein x i =1, Entscheide welcher Fall 2),3) einfacher als 1), 4) einfacher als 2),3)

Klassische Algorithmen Betrachte randomisierte Algorithmen mit Fehler 1/3 für Problem 4) Wir zeigen: (N) Fragen an die Black Box notwendig

Klassische Algorithmen Gegeben: randomisierter Fragealgorithmus Wenn es randomisierten Algo mit T Fragen (worst case) und Erfolgswahrscheinlichkeit p gibt, dann gibt es einen deterministischen Algo mit T Fragen und Erfolg p für zufällige Eingaben x Randomisierter Algorithmus ist Schaltkreis mit zusätzlicher Eingabe r 2 {0,1} m E x E r [Erfolg bei Zusatzeingabe r]=p ) es gibt ein r, so dass E x [Erfolg auf bei Zusatzeingabe r] ¸ p Fixiere r ) deterministischer Algorithmus

Klassische Algorithmen Verteilung auf den Eingaben: mit Wahrscheinlichkeit 1/2 Eingabe 0 N, Eingaben mit Wahrscheinlichkeit 1/(2N) jeweils Betrachte deterministischen Algorithmus mit Fehler 1/3 und <N/3 Fragen Darf nicht falsch klassifizieren Wenn 2/3 ¢ N Positionen, die 1 sein können, Algorithmus muss also >2N/3 Eingaben falsch verwerfen, Fehler also >1/3 Also muss jeder Algorithmus mindestens N/3 Fragen stellen

Quantenalgorithmen Wie schnell kann ein Quantenalgorithmus das Suchproblem lösen? Wir wissen schon: Grovers Algorithmus kann dies in O(N 1/2 ) Historisch kam untere Schranke zuerst Jeder Algorithmus für das Suchproblem (Genauer für Problem 4) ) braucht (N 1/2 ) Fragen D.h. brute Force Algorithmen für SAT brauchen Zeit 2 n/2

Die Untere Schranke Betrache beliebigen Quanten Fragealgorithmus A Lasse A auf 0 N laufen, mit T Fragen Folge von Quantenfragen Zustände 0...N-1 a i,t |i i ­ |u i,t i­ |v i,t i i: Adresse, u Register für Ausgabe der Black Box, v für restlichen Speicher, t=1..T Zeit Definiere Fragegrösse M(i) = t=1...T |a i,t | 2 Intuitiv Wahrscheinlichkeit, dass i gefragt wird Erwartungswert E i M(i) · T/N Fixiere i mit M(i) · T/N A hat wenig Information über x i, kann nicht gut vorhersagen ob x i =1 oder =0

Die Untere Schranke Fragegrösse M(i) = t=1...T |a i,t | 2 Fixiere i mit M(i) · T/N Mit Cauchy Schwartz gilt t=1...T |a i,t | · t=1...T 1 ¢ |a i,t | · T 1/2 ( t=1...T |a i,t | 2 ) 1/2 · T/N 1/2 y(i) sei String mit y(i) i =1 und 0 sonst Betrachte A in folgenden Situationen: In Frage 1 bis t enthält Black Box 0 N Ab Frage t+1 enthält Black Box y(i) Endzustand sei | (t) i | (0) i Endzustand A auf y(i); | (T) i Endzustand A auf 0 N

Die Untere Schranke Betrachte Abstand zwischen den Zuständen | (t) i und | (t-1) i Klar: Bis Schritt t-1 selber Zustand im Algorithmus In Schritt t wird Abstand 2 1/2 |a i,t | eingeführt Ab Schritt t+1 werden dieselben unitären Transformationen ausgeführt, d.h. Abstand nicht verändert Setze |E(t) i = | (t) i -| (t-1) i Dann k E(t) k· 2 1/2 |a i,t |

Die Untere Schranke | (0) i Endzustand A auf y(i); | (T) i Endzustand A auf 0 N k | (T) i - | (0) i k = k | (T) i - | (T-1) i +| (T-1) i - | (0) i k · k | (T) i - | (T-1) i k + k | (T-1) i - | (0) i k · t=1...T k | (t) i - | (t-1) i k = t=1...T k |E (t) i k · t=1...T 2 1/2 |a i,t | · 2 1/2 T/N 1/2 Wenn T<N 1/2 /10, dann ist der Abstand kleine Konstante, d.h. Fehler zu gross, denn auf 0 N und y(i) mit hoher Wahrscheinlichkeit gleiche Ausgabe

Amplituden Amplifikation Problem: Gegeben Quantenalgorithmus A, der mit Erfolgswahrscheinlichkeit a<1 funktioniert, wobei Erfolg verifizierbar ist [Ohne interne Messungen] Klassische Wiederholungstechnik braucht (1/a) Iterationen um konstante Erfolgswahrscheinlichkeit zu erzielen Grovers Technik erlaubt selbiges in O(1/a 1/2 ) Wiederholungen Selber Ansatz wie zuvor, ersetze Black Box durch Laufen des gegebenen Algorithmus plus Verifikation

Amplituden Amplifikation Problem: Gegeben Quantenalgorithmus A, der mit Erfolgswahrscheinlichkeit |a|<1 funktioniert, wobei Erfolg verifizierbar ist [Ohne interne Messungen] Seien Ausgaben x 2 {0, 1} n gut oder schlecht. A berechne ein gutes x mit Wahrscheinlichkeit |a| Guter Unterraum aufgespannt von guten |x i, schlechter von schlechten |x i | i =A|0 i =| g i +| s i Dabei sei | g i die Projektion auf guten Raum usw. Dabei sei || g || 2 =a Operator S wechsele Vorzeichen von guten |x i, bilde schlechte |x i auf sich selbst ab Operator P wie bei Grover (wechsele Vorzeichen von |0 i ) Q= - A PA -1 S [A anstatt Hadamard]

Amplituden Amplifikation Q= - A PA -1 S Behauptung: Q| g i = (1-2a) | g i -2a| s i Q| s i = (2-2a) | g i +(1-2a)| s i Z.B. betrachte p= h g | Q g i = h g | APA -1 g i Setze A -1 | g i = a |0 i + | i, wobei | i ? |0 i, beachte h A -1 g |0 i =a Dann APA -1 | g i = | g i -2a A|0 i Und somit p = h g | g i -2a h g |A|0 i =a-2a 2 Also wird der 2-dimensionale Raum von | g i und | s i nicht verlassen

Amplituden Amplifikation Q= - A PA -1 S Q ist auch Reflektion um | s i durch I-2/(1-a) | s ih s | gefolgt von Reflektion um | i durch I-2| ih | Starte mit A|0 i =| i Wende Q ungefähr 1/a 1/2 mal an: a= h g | i =cos( /2- )|| g ||=cos( /2- )a 1/2 Also a 1/2 =sin( ) ¼ Winkelfortschritt 2 (es sei der Winkel zwischen | i und | s i ) Anzahl der Iterationen /(4a 1/2 )

Amplituden Amplifikation Q= - A PA -1 S Anzahl der Iterationen /(4a 1/2 ) Beispiel: Grover A=H ­ n erzeugt uniforme Superposition, bei t Lösungen ist Wahrscheinlichkeit von Treffer a=t/N nach Messung Damit ist klar, dass statt H ­ n jede Transformation ausreicht, die |0 i auf eine fast uniforme Superposition abbildet