Quantum Computing Hartmut Klauck Universität Frankfurt WS 04/

Hidden Subgroup Problem Ordnungsfinden und Simons Problem sind Instanzen des Hidden Subgroup Problems Coset [Nebenklasse] zu einer Untergruppe H einer Gruppe G: gH={gh: h 2 H} Es gebe eine Gruppe G, sowie eine unbekannte Untergruppe H Es gebe eine Black Box Funktion f : f ist konstant auf jedem Coset von H auf zwei Cosets C D hat f verschiedene Werte Finde H, bzw. Generatoren von H.

Hidden Subgroup Problem Simons Problem: G ist ( Z 2 ) n H ist {0,s} Cosets {x, x © s} f: f(x)=f(x © s) x y © s ) f(x) f(y)

Hidden Subgroup Problem Ordnungsfinden G ist Z H ist {0,r,2r,3r,......}; r=r(x) mod N Cosets {a,a+r,a+2r,....] f(j)=x j mod N f(kr+a)= x kr+a mod N=x a mod N =f(a)=f(kr+a) f(kr+a) = x a mod N x b mod N f(kr+b) falls a b mod r

Hidden Subgroup Problem Finden von Perioden G ist Z H ist {0,r,2r,3r,......}; Cosets {a,a+r,a+2r,....] f: Z ! S (endl. Menge) f(kr+a)=f(a)=f(kr+a) f(kr+a) f(kr+b) falls a b mod r

Vorsicht! Ordnungsfinden (Shor Algorithmus) ist Hidden Subgroup Problem über Z, d.h. nicht endliche Gruppe (aber endlich erzeugt) Approximation durch Z L [{0,r,2r,3r,...} keine echte Untergruppe]

Hidden Subgroup Problem Diskreter Logarithmus Problem: Geg. x 2 Z p *, Generator g von Z p * Bestimme r so dass g r =x G ist Z p-1 £ Z p-1 mit + Operation H ist {(kr,k), k=0,...} Cosets {(u+kr,v+k);k=0,...} f: Z p-1 £ Z p-1 ! Z p * ; f(a,b)=g a x -b f(u+kr,v+k)=g u+kr x -v-k =g u x k x -k x -v =f(u,v) (a,b) (c+kr,d+k) ) f(a,b)=g a x -b g c+kr,x -d-k =f(c,d)

Hidden Subgroup Problem [Kitaev] Es gibt einen Quantenalgorithmus mit polynomieller Zeit, der die Untergruppe H identifiziert, wennn G abelsch ist Weiteres Beispiel HSP: Graph Isomorphismus Gegeben G 1, G 2, kann man Knotennummern permutieren, so dass beide gleich sind? HSP über Gruppe der Permutationen, nicht abelsch,kein polynomieller Quantenalgorithmus bekannt

Verallgemeinere Shor Algorithmus Fouriertransformation/Hadamard Transformation erzeugt Superposition über alle Gruppenelemente U f Anwendung Fouriertransformation Messung Problem I: Fouriertransformation über G Problem II: Wie wird Messergebnis genutzt?

Fourier Transformation G sei endliche abelsche Gruppe Charakter einer Gruppe ist ein Homomorphismus : G ! C * (= C ohne 0) (g 1 +g 2 )= (g 1 ) (g 2 ) Es gibt genau |G| Charaktere von G, und sie bilden eine Gruppe, die duale Gruppe Ĝ. Die Fourier Transformation über G ist dann |x i (1/|G| 1/2 ) j=,...,|G|-1 j (x) |j i

Fourier Transformation |g i (1/|G| 1/2 ) 0,...,|G|-1 j (g) |j i Beispiel: Z L : j (k)=w L jk Beispiel: ( Z 2 ) k : (x(1),...,x(k)) (y 1,...,y k )= j w 2 x(j) y(j), dabei ist w 2 =e 2 i/2 =-1, also x(1),...,x(k) =(-1) x ¢ y Also ergibt sich Hadamard Transformation Benutze: duale Gruppe zu G £ H ist Ĝ £ Ĥ

Fourier Transformation Jede abelsche Gruppe ist isomorph zu Z N(1) £ Z N(2) £ £ Z N(k) für N(j) Primzahlpotenzen [Kronecker] D.h. g 2 G kann als (a 1,...,a k ) geschrieben werden Charakter sind so gegeben: t(1),...,t(k) (a 1,...,a k ) =(w N(1) t 1 a 1 )(w N(2) t 2 a 2 ) (w N(k) t k a k ), wobei w N(j) =e 2 i/N(j)

Fourier Transformation Charakter t(1),...,t(k) (a 1,...,a k ) =(w N(1) t 1 a 1 )(w N(2) t 2 a 2 ) (w N(k) t k a k ), wobei w N(j) =e 2 i/N(j) Fouriertransformation f. G abelsch:

Schnelle QFT Schnelle QFT: Verwende QFT für alle Z N(j) unabhängig voneinander (mit dem normalen QFT Schaltkreis)

Erzeugen der Superposition QFT|0 i ergibt uniforme Superposition über alle Gruppenelemente im ersten Register Nun: U f : |x i |y i |x i |f(x) +y i Ergebnis:

Erzeugen der Superposition Ergebnis: Messe zweites Register. Ergebnis: zufälliges f(x), Superposition: Wende nun QFT auf erstes Register an!

Fourier Sampling Wende nun QFT auf erstes Register an und messe! Was passiert?

Orthogonale Untergruppen Zu jeder Untergruppe H µ G gibt es Untergruppe H ? µ G, Definiert durch: H ? ={y 2 G: y (x)=1 für alle x 2 H} Eigenschaften: |H ? |=|G|/|H| (H ? ) ? =H Beispiel: G= Z L, H={0,r,2r,...,L-r} [r teile L und L/r=A] x (y)=e 2 i xy/L H ? ={y 2 Z L : ykr=0 mod L für alle k} ={y 2 Z L : yk = 0 mod A für alle k} ={y 2 Z L : y = 0 mod A} H ? enthält die Ausgaben von Shors Algorithmus (im einfachen Fall der Analyse)

Orthogonale Untergruppen H ? ={y 2 G: y (x)=1 für alle x 2 H} Beispiel: G= ( Z 2 ) n H={0,s} x (y)=(-1) xy H ? ={y 2 ( Z 2 ) n :x ¢ y =0 mod 2} H ? enthält die Ausgaben von Simons Algorithmus

Fourier Sampling Fouriertransformation über G bildet uniforme Superposition über H auf uniforme Superposition über H ? ab.

Fourier Sampling Denn x 2 H ? ) Summe ist |H|, denn x (y)=1 immer x nicht in H ? ) Summe ist 0

Fourier Sampling Auf Cosets: Messung jetzt ergibt zufälliges Element aus H ? Bestimme H aus genügend zufälligen Elementen von H ? Beispiel Simons Problem: Element aus H ? gibt Gleichung über Z 2 ; y ¢ s=0.

Rekonstruktion von H Erstens: Zeige, dass nach poly(log |G|) vielen zufälligen h 2 H ? eine generierende Menge von H ? gefunden wird (mit hoher Wahscheinlichkeit) Zweitens: Berechne H aus H ? (d.h. bzgl. Mengen von Generatoren)

Rekonstruktion von H Warum verwendet man nicht Superposition über Cosets von H, um H zu bestimmen ? Erstens funktioniert nicht, da Cosets selbst zufällig durch Messung von Register 2, erst QFT schiebt zufällige Translation in Phasenfaktor Beispiel: Simons Problem H={0,s}, zufälliges Coset {x,x © s} für zufälliges x

I) Generierung durch zufällige Elemente Sei G eine endliche Gruppe Wieviele zufällige Elemente von G brauchen wir, um eine generierende Menge für G zu erhalten? Behauptung: Wenn log|G| +t Elemente zufällig gezogen, dann wird G mit Ws. 1-1/2 t generiert.

I) Generierung durch zufällige Elemente Behauptung: Wenn d log|G| e +t Elemente zufällig gezogen, dann wird G mit Ws. 1-1/2 t generiert. Beobachtung: Sei |G| · 2 k. Dann ist ( Z 2 ) k schwieriger als G (d.h. Erfolgswahrscheinlichkeit kleiner) Dann: Für ( Z 2 ) k ist Erfolgswahrscheinlichkeit 1-1/2 t nach k+t Elementen [lineare Algebra]

I) Generierung durch zufällige Elemente Beobachtung: Sei |G| · 2 k, k ¸ 1. Dann ist ( Z 2 ) k schwieriger als G. (d.h. Erfolgswahrscheinlichkeit kleiner) Beweis: (H,t): Wahrscheinl., dass nach t gezogenen Elementen H erzeugt Induktion über |G|, |G|=1 trivial Betrachte Fall, dass H nach t-d-1 Schritten erreichte Untergruppe, |H| · |G|/2 und Schritte t-d,...,t keinen weiteren Generator bringen Wahrscheinlichkeit dass das nicht passiert 1-(|H|/|G|) d ¸ 1-1/2 d = entsprechende Wahrscheinlichkeit für ( Z 2 ) k (G,t)= E H,d Prob[H nach t-d-1 Schritten erreicht, G nach t Schritten erreicht] = E H,d Prob[G nach t Schritten erreicht | H nach t-d-1 Schritten erreicht] ¢ Prob[H nach t-d-1 Schritten erreicht] Induktion für zweiten Term, erster Term wie oben

II) Bestimme H aus H ? Angenommen wir haben Generatoren g[1],...,g[t] von H ? h 2 H, h (g[j])=1 für alle j Verwende wieder dass G abelsch Jede abelsche Gruppe ist isomorph zu Z N(1) £ Z N(2) £ £ Z N(k) Charaktere: h1,...,hk (g 1,...,g k ) =(w N(1) h 1g1 )(w N(2) h 2g2 ) (w N(k) h kgk ), wobei w N(j) =e 2 i/N(j) d sei kgv der N(j); (j)=d/N(j) h1,...,hk (g 1,...,g k ) = w d (j)gjhj h (g)=1 gdw. (j)g j h j = 0 mod d Menge der g[i] ergibt Gleichungssystem mit Variablen entsprechend der Darstellung der h 2 H [mit zufäligen Koeffizienten] Analog zu Simons Algorithmus kann so H bestimmt werden.

Insgesamt Fouriertransformation gefolgt von U f, gefolgt von Fouriertransformation Fouriertransformation effizient, da G abelsch Algorithmus ergibt h 2 H ?, iteriere O(log |G|) mal Postprocessing: Lösen von Gleichungssystem da G abelsch Also insgesamt polynomielle Laufzeit, konstante Erfolgswahrscheinlichkeit

Vorsicht! Ordnungsfinden (Shor Algorithmus) ist Hidden Subgroup Problem über Z, d.h. nicht endliche Gruppe (aber endlich erzeugt) Approximation durch Z L [{0,r,2r,3r,...} keine echte Untergruppe] Hidden Subgroup Problem ähnlich für endlich erzeugte abelsche Gruppen lösbar Nur für wenige nicht-abelsche Gruppen bisher lösbar, manchmal schnelle QFT bekannt