Basisinformationstechnologie HK-Medien Teil 1, 10.Sitzung WS 02/03 BIT – Schaßan – WS 02/03

Literatur zu Algorithmen und Datenstrukturen Ottmann, T. / Widmayer, P.: Algorithmen und Datenstrukturen. 3., überarbeitete Auflage. Heidelberg, Berlin, Oxford: Spektrum Akademischer Verlag, 1996. BIT – Schaßan – WS 02/03

Ein Programm entsteht Ein Computerprogramm soll ein Problem lösen. Dazu muss das Problem genau beschrie-ben, spezifiziert werden. Danach muss ein Ablauf von Aktionen entworfen werden, ein sog. Algorithmus. Der Algorithmus stützt sich auf die in der Beschreibungssprache vorgegebene Strukturierung der Daten. BIT – Schaßan – WS 02/03

Spezifikation Eine Spezifikation ist eine vollständige, detaillierte und unzweideutige Problembeschreibung. vollständig: alle Anforderungen und relevante Rahmenbedingungen sind angegeben detailliert: Nennung aller Hilfsmittel, insbe-sondere der zulässigen Basis-Operationen unzweideutig: Kriterien, wann eine Lösung akzeptabel ist BIT – Schaßan – WS 02/03

Beispiel Spezifikation "Berechne für beliebige Zahlen M und N den größten gemeinsamen Teiler ggT(M,N)." Vollständigkeit: Welche Zahlen M und N sind zugelassen? Detailliertheit: Welche Operationen sind erlaubt? Unzweideutigkeit: Was heißt berechnen? Wie soll das Ergebnis ausgegeben werden? Vollständigkeit: Ist 0 erlaubt? Ganze, Natürliche, Rationale Zahlen? Detailliertheit: +, -, div, mod? BIT – Schaßan – WS 02/03

Vor- und Nachbedingungen Formale Spezifikation geschieht mittels der Angabe von Vorbedingung P und Nachbedingung Q. P und Q sind logische Aussagen. In {P} und {Q} sind alle relevanten Eigenschaften aufgeführt, die vor Beginn bzw. nach Beendigung des Programms gelten sollen. BIT – Schaßan – WS 02/03

Beispiel Bedingungen Vorbedingung: {M,N ∈ ℤ und unveränderlich (=Konstanten) mit 0 < M < 32767 und 0 < N < 32767} Nachbedingung: {z = ggT(M,N), d.h. z ist Teiler von M und N und für jede andere Zahl z', die auch M und N teilt, gilt: z' ≤ z} BIT – Schaßan – WS 02/03

Algorithmus Definition: "Ein Algorithmus ist eine detaillierte und explizite Vorschrift zur schrittweisen Lösung eines Problems." Die Ausführung erfolgt in einzelnen Schritten. Jeder Schritt besteht aus einer einfachen und offensichtlichen Grundaktion. Zu jedem Zeitpunkt muss eindeutig bestimmt sein, welche Schritte als nächstes auszuführen sind. BIT – Schaßan – WS 02/03

Darstellungsweisen für Algorithmen Ablauf-/Flussdiagramm Trennung von Formulierung eines Algorithmus und dessen Realisierung in einem Schaltkreis, Programm, usw.! BIT – Schaßan – WS 02/03

Darstellungsweisen (2) In Pascal: BEGIN x := M ; y := N ; WHILE x <> y DO IF x > y THEN x := x-y ELSE y := y-x ; z := x ; END. Semikolon auch eine Kontrollstruktur! Hinter x:=x-y KEIN Semikolon, da Befehl erst mit ELSE beendet BIT – Schaßan – WS 02/03

Darstellungsweisen (3) In Java: { x = M ; y = N ; while ( x != y ) { if ( x < y ) x = x-y ; else y = y-x ; } z = x ; } Semikolon beendet elementare Anweisung In C wird ein Ausdruck in eine Anweisung umgewandelt BIT – Schaßan – WS 02/03

Algorithmen zur Lösung von Spezifikationen {P} A {Q} "Wenn ein Algorithmus in einer Situation gestartet wird, in der {P} gilt, wird dann, wenn er beendet ist, {Q} gelten." Spezifikation als Gleichung mit einer Unbekannten: "Gesucht ist zu der Spezifikation {P} {Q} der Algorithmus A mit {P} A {Q}." BIT – Schaßan – WS 02/03

Terminierung Algorithmen im strengen Sinne müssen nach endlich vielen Schritten terminieren, also beendet sein. Manchmal ist aber gewünscht, dass ein Algorithmus (ein Programm) nicht von selbst abbricht. Es ist manchmal (aufgrund von Schleifen) nur schwer feststellbar, ob ein Algorithmus in endlicher Zeit zu einem Ende kommt. BIT – Schaßan – WS 02/03

Formale Eigenschaften von Algorithmen Korrektheit  Aber: Man kann durch Testen die Korrektheit von Algorithmen nicht beweisen, nur deren Fehlerhaftigkeit! Effizienz benötigter Speicherplatz benötigte Rechenzeit Nur die vollständige Spezifikation des Problems ermöglicht den Beweis. BIT – Schaßan – WS 02/03

Effizienzmessung Möglichkeiten der Messung: mittels eines idealisierten Modellrechners als Referenzmaschine  vor allem: Wachstum der Laufzeit bei steigender Komplexität des Problems Messung der Komplexität anhand spezifischer, charakteristischer Parameter  Unterscheidung von best case, average case und worst case-Szenarien Platz = benötigte Speicherzellen Zeit = Anzahl der Befehle BIT – Schaßan – WS 02/03

Vom Algorithmus zum Programm PROGRAM ggT ; CONST M = 84 ; N = 30 ; VAR x,y,z : Integer ; BEGIN x := M ; y := N ; WHILE x <> y DO IF x > y THEN x := x-y ELSE y := y-x ; z := x ; END. BIT – Schaßan – WS 02/03

Datentypen (3, Wdh.) Jeder Datentyp ist definiert durch die Menge der zulässigen Werte (Wertebereich) und die Menge der zulässigen Operationen. Zwei Datentypen heißen strukturgleich, wenn sie denselben Wertebereich besitzen. BIT – Schaßan – WS 02/03

Datentypen und ihre Operationen Auf verschie-dene Daten-typen kann man unter-schiedliche Operationen ausführen BIT – Schaßan – WS 02/03

Operationen auf Datentypen: Boolean Werte: true, false Operationen: and, or, xor: Boolean x Boolean  Boolean not: Boolean  Boolean True, false:  Boolean Gleichungen: true or x = true BIT – Schaßan – WS 02/03

Operationen auf Datentypen: Integer Werte: alle ganzen Zahlen Operationen: + - * div mod: Integer x Integer  Integer - succ pred: Integer  Integer 0:  Integer Gleichungen: 0 + x = x succ(pred(x)) = x pred(x) = x*y - y ZWEI Operationen mit Zeichen "-" Subtraktion und Negation BIT – Schaßan – WS 02/03

Operationen auf Datentypen: Real Werte: alle realen Zahlen Operationen: + - *: Real x Real  Real /:: Real x Real  Real (x/y) nur definiert für y>0 - exp: Real  Real sqrt:: Real  Real sqrt(x) nur definiert für x≥0 ln:: Real  Real ln(x) nur defniert für x>0 sin, tan,…: Real  Real "::" für partielle Operationen  Operationen für bestimmte Werte nicht erklärt (x/y nur für y ungleich Null) BIT – Schaßan – WS 02/03

Operationen auf Datentypen: Real (2) Gleichungen: x + ( y + z ) = ( x + y ) + z x * ( y + z ) = x*y + x*z sqrt(x) * sqrt(x) = x sin(x) / cos(x) = tan(x) … BIT – Schaßan – WS 02/03

Bedeutung der Datenstruktur Gut gewählte Datenstrukturen können das Programmieren vereinfachen und die Effizienz steigern. BEGIN x := M ; y := N ; WHILE x <> y DO IF x > y THEN x := x mod y ELSE y := y mod x ; z := x ; END. BIT – Schaßan – WS 02/03

Operationen auf Datentypen: Char Werte: Alle ASCII- (bzw. Unicode-) Zeichen Operationen: succ, pred: Char  Char chr: Byte  Char ord: Char  Byte Gleichungen: ord(chr(n)) = n succ(pred(n)) = n Pascal verwendet ASCII, Java Unicode "ß" = chr(255) BIT – Schaßan – WS 02/03

Operationen auf Datentypen: Strings Werte: alle Zeichenketten Operationen: +: String x String  String "":  String length: String  Integer pos: String x String  Integer = <>,… String x String  Boolean BIT – Schaßan – WS 02/03

Operationen auf Datentypen: Strings (2) Gleichungen: "" + x = x length(x+y) = length(x) + length(y) … Aber: in Java dürfen Strings nicht verändert werden! Sie können in einen Puffer (stringBuffer) kopiert, dort verändert und in einen neuen String zurück verwandelt werden. BIT – Schaßan – WS 02/03

Operationen auf Datentypen: Benutzerdefiniert Benutzer können in modernen PSS Datenstrukturen konstruieren. Mögliche Werte, Operationen und Gleichungen sind dann festzulegen. Beispiel Datum: Darstellung durch die Anzahl der vergangenen Tage seit einem "Anfangszeitpunkt" Darstellung durch drei Integers, jeweils für Tag, Monat und Jahr BIT – Schaßan – WS 02/03

Variablen und Speicher Je nach Art einer Variable wird unterschiedlich viel Platz im Speicher reserviert. BIT – Schaßan – WS 02/03

Deklaration Dazu muss eine Variable in den meisten höheren Programmiersprachen vor der ersten Benutzung deklariert werden. D.h., dem System muss mitgeteilt werden, welche Variablen zur Verfügung stehen sollen, welchen Datentyp und welchen Speicherbedarf sie haben. Compiler kann zur Compilezeit bereits Speicherstellen reservieren und die Verweise auf diese im Programm an die Stelle der Variablen setzen! BIT – Schaßan – WS 02/03

Initialisierung Nach der Deklaration einer Variable enthält der zugewiesene Speicherplatz noch keinen oder einen falschen Wert. Es ist daher sinnvoll, jede Variable möglichst früh zu initialisieren, d.h. mit einem Ausgangswert zu versehen. BIT – Schaßan – WS 02/03

Fehlerhafte Variablenverwendung Bei der Verwendung von Variablen muss man vor allem auf zwei mögliche Fehlerquellen achten: Typfehler Seiteneffekte BIT – Schaßan – WS 02/03

Typfehler Typfehler treten auf, wenn Variablen unterschiedlichen Typs verknüpft werden. Seien x,y,z : Integer r,s : Real u : Char x + 2 * ( y – z )  typkorrekt chr(ord(u) + ord('A')  typkorrekt r * x  Real  typkorrekt x + u  Typfehler length(s+1) statt length(s)+1  Typfehler, da Ausdruck unsinnig, egal ob s Integer oder String ist BIT – Schaßan – WS 02/03

Seiteneffekte Seiteneffekte entstehen, wenn durch die Auswertung eines Ausdruckes der Inhalt der Variablen verändert wird. (x+1) * (x+1)  ersetzbar durch sqr(x+1) (x+1) - (x+1)  ersetzbar durch 0 In C oder Java kann man (x+1) als ++x schreiben  Auftreten eines Seiteneffektes, da x inkrementiert wird, d.h. (++x) - (++x) = -1 !!! BIT – Schaßan – WS 02/03

Zuweisungen Eine Zuweisung besteht in der Belegung der Variablen mit konkreten Werten (=Speicherzustand) aus einer Folge elementarer Operationen (=Berechnung), die einen Ausdruck auswerten, das Ergebnis speichern. Datenstrukturen und ihre Operationen haben die Fähigkeit, zwischenwerte zu speichern und wieder zu verwenden BIT – Schaßan – WS 02/03

Zuweisungen (2) Auf der rechten Seite einer Zuweisung bezeichnet eine Variable einen Wert, auf der linken Seite steht sie für einen Speicherplatz. Die Zuweisung ist die einfachste Form eines Befehls, einer Anweisung einer Programmiersprache.  Eine Anweisung beschreibt einen Effekt, ein Ausdruck einen Wert. BIT – Schaßan – WS 02/03

Kontrollstrukturen Kontrollstrukturen sind Folgen von Anweis-ungen, die gezielt und kontrolliert zu neuen komplexeren und abstrakteren Anweis-ungen zusammengesetzt worden sind. Drei grundlegende Konstrukte reichen aus, um alle Algorithmen aufzubauen: sequentielle Komposition (Verbundanweisung) Alternativanweisung while-Schleife BIT – Schaßan – WS 02/03

Sequentielle Komposition Sequentielle Komposition ist die Hinterein-ander-Ausführung von Anweisungen. Syntax in Pascal: BEGIN A1; A2;…; An END Syntax in C und Java: { A1; A2;…; An } Semantik: A1; A2;…;An werden nacheinander ausgeführt. ( ohne Sprungbefehle) meist Pascal-Terminologie  für Lehrzwecke entwickelt A1, A2 als Platzhalter BIT – Schaßan – WS 02/03

Sequentielle Komposition Beispiel Aufgabe: Gib Wechselgeld für einen Betrag zwischen 0 und 100 Cent. Es stehen jeweils genügend Münzen im Wert von 1, 2, 5, 10, 20, 50 Cent und 1 Euro zur Verfügung. Ziel ist es, mit möglichst wenig Münzen auszukommen. P: { Betrag > 0 } Q: { Betrag = k1*1 + k2*2 + k3*5 + k4*10 + k5*20 + k6*50 + k7*100, mit k1+k2+k3+k4+k5+k6+k7 minimal } BIT – Schaßan – WS 02/03

Sequentielle Komposition Beispiel (2) BEGIN rest := Betrag ; k7 := rest div 100 ; rest := rest mod 100 ; k6 := rest div 50 ; rest := rest mod 50 ; k5 := rest div 20 ; rest := rest mod 20 ; k4 := rest div 10 ; rest := rest mod 10 ; k3 := rest div 5 ; rest := rest mod 5 ; k2 := rest div 2 ; rest := rest mod 2 ; k1 := rest END BIT – Schaßan – WS 02/03

Alternativanweisung Die Alternativanweisung erlaubt die Auswahl zwischen zwei Anweisungen A1 und A2 in Abhängigkeit von dem Ergebnis eines zuvor auszuführenden Tests. Der Test wird als boolescher Ausdruck B formuliert und heißt Bedingung, A1 heißt if-Zweig, A2 heißt else-Zweig der Anweisung. BIT – Schaßan – WS 02/03

Alternativanweisung (2) Syntax in Pascal: IF B THEN A1 ELSE A2 Syntax in C und Java: if (B ) A1 else A2 Semantik: Zunächst wird B ausgewertet. Ist das Ergebnis true, dann wird A1 ausgeführt, andernfalls A2.  A1 und A2 können wiederum komplexere Anweisungen sein BIT – Schaßan – WS 02/03

while-Schleife Eine Schleife ist ein Programmteil, der wiederholt ausgeführt werden kann, je nachdem, ob eine Bedingung erfüllt ist oder nicht. Syntax in Pascal: WHILE B DO A Syntax in C oder Java: while (B ) A BIT – Schaßan – WS 02/03

while-Schleife (2) Semantik: Die Bedingung B wird ausgewertet. Ist B true, wird die Anweisung A ausgeführt. Anschließend wird B erneut ausgewertet. Sollte B false sein, ist die Schleife beendet.  Kurz: Solange B wahr ist, wird A ausgeführt. BIT – Schaßan – WS 02/03

while-Schleife (3) In der Form "while B do A" wird B vor der möglichen Ausführung von A geprüft. Die Umkehrung ist möglich, d.h. B erst zu überprüfen, nachdem A einmal ausgeführt worden ist. Syntax in C oder Java: do { A } while (B ) ; BIT – Schaßan – WS 02/03

Weitere Schleifenkonstrukte In manchen Zusammenhängen mag es sinnvoll sein, die Bedingung B weder genau am Anfang noch genau am Ende zu prüfen. Syntax in Pascal: LOOP REPEAT A1 ; A2 ; …; Ak ; IF B THEN EXIT ; … Ak+1 ; …; An END UNTIL BIT – Schaßan – WS 02/03

for-Schleife Die for-Schleife ist für Fälle vorgesehen, in denen man eine bestimmte Anweisung mehrfach wiederholen will, wobei sich die Anzahl der Wiederholungen vor Beginn der Schleife bestimmen lässt. Eine Variable bezeichnet nacheinander alle Elemente des Intervalls, dessen Grenzen durch zwei Ausdrücke festgehalten sind und das aufwärts oder abwärts durchlaufen werden kann. Diese Variable heißt Laufvariable. BIT – Schaßan – WS 02/03

for-Schleife (2) Syntax in Pascal: FOR v := t1 TO t2 DO A END Syntax in Java: for { Init1, …, Initk ; test ; Inc1, …,Incn) A  { Init1, …, Initk while (test) { A Inc1 ; …; Incn ; } for { ; B ; } A gleich while ( B ) A BIT – Schaßan – WS 02/03