Grundzüge der Mathematikdidaktik Angelika Bikner-Ahsbahs Wintersemester 2006/2007, Universität Bremen

Didaktische Forschungs- und Gestaltungsansätze Deskriptive Didaktik Ist-Zustand Was ist? Wie ist es? Warum ist es so? Präskriptive Didaktik Handlung Was kann/soll man tun? Normative Didaktik Soll-Zustand Was sollte erreicht werden?

Ziel Beschrieben werden normative Ansätze der Mathematikdidaktik. Darauf aufbauend wird gefragt, wie Mathematikunterricht aussehen kann, der den entsprechenden Zielen folgt. Basis ist also die normative Didaktik, gefragt wird nach der Aktivierung, die den beschriebenen Zielen genügt.

1. Mathematik und Allgemeinbildung Orientierung an mathematischen Grunderfahrungen (Winter 1995) Allgemeinbildender Mathematikunterricht (Heymann 1989) Mathematische Literalität (Neubrand 2003)

1.1 Mathematische Grunderfahrungen Der Mathematikunterricht sollte anstreben, Grunderfahrungen, die vielfach miteinander verknüpft sind, zu ermöglichen.

Grunderfahrungen? Welche Form hat wohl das Dach des Berliner Bogens? Wie hat der Architekt diese Linie möglicherweise gezeichnet?

Erscheinungen in der Welt um uns, die alle angehen oder angehen oder angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, in einer spezifischen Art wahrnehmen und verstehen. (Heinrich Winter 1995)

Drei Grunderfahrungen ermöglichen: (1) Mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in Sprache, Symbolen, Bildern und Formeln, als geistige Schöpfungen, als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art kennen lernen und begreifen. In der Art der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen (heuristische Fähigkeiten), erwerben. Erscheinungen in der Welt um uns, die alle angehen oder angehen oder angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, in einer spezifischen Art wahrnehmen und verstehen. (Heinrich Winter 1995)

Welche Grunderfahrungen über Mathematik machen Lernende der vierten Klasse bei dieser Aufgabenstellung? 10 1 2 3 5 Vervollständige die erste Zahlenmauer! Welchen Schlussstein erhältst bei der zweiten Mauer, wenn auch hier die unteren Zahlen aufeinander folgen? Kannst du drei aufeinander folgende Zahlen finden, die den Schlussstein 10 (20) ergeben?

Plättchenarithmetik als Vorstufe zur Verwendung von Variablen 5 1

Vorbereitung des Variablenbegriffs Drei Grundvorstellungen: Gegenstands-, Einsetzungs- und Kalkülvorstellung? 10 1 2 3 5 Vervollständige die erste Zahlenmauer! Welchen Schlussstein erhältst bei der zweiten Mauer, wenn auch hier die unteren Zahlen aufeinander folgen? Kannst du drei aufeinander folgende Grundzahlen finden, die den Schlussstein 10 (20) ergeben?

Aufgaben ohne Lösungen 5 6 7 9 10 11 12 13 14 35 36 37 In der ersten Zeile mit Zahlenmauern siehst du aufeinander folgende Zahlen als Grundzahlen. Berechne die Schlusssteine. Kannst du auch für die unteren drei Mauern aufeinander folgende Grundzahlen eintragen?

Mathematik als strenge Wissenschaft erfahren: Schlussfiguren mathematischen Argumentierens reflektieren und verwenden: Wenn A, dann B Es ist A wahr, also ist auch B wahr. Aber auch: B ist nicht wahr, also A auch nicht. Nicht notwendig: A ist nicht wahr, also auch nicht B B ist wahr, also auch A.

Schlussweisen reflektieren 5 6 7 9 10 11 12 13 14 35 36 37 In der ersten Zeile mit Zahlenmauern siehst du aufeinander folgende Zahlen als Grundzahlen. Berechne die Schlusssteine. Kannst du auch für die unteren drei Mauern aufeinander folgende Grundzahlen eintragen?

Heuristische Fähigkeiten entwickeln Plausibles Schließen: Wenn A, dann B: B ist wahr. Kann man A genauer beschreiben?

Plättchenarithmetik als Vorstufe zur Verwendung von Variablen 5 1

Plättchenarithmetik als Vorstufe zur Verwendung von Variablen 40 + 12 20 + 3 20 + 9 5 1 10 10 + 3 10 + 6

Heuristische Fähigkeiten Sagt mir das gefundene Muster mehr als ich bisher weiß? Kann ich die Bestandteile anders interpretieren? Kann ich den Sachverhalt verallgemeinern?

Drei Grunderfahrungen ermöglichen: (1) Mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in Sprache, Symbolen, Bildern und Formeln, als geistige Schöpfungen, als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art kennen lernen und begreifen. In der Art der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen (heuristische Fähigkeiten), erwerben. Erscheinungen in der Welt um uns, die alle angehen oder angehen oder angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, in einer spezifischen Art wahrnehmen und verstehen. (Heinrich Winter 1995)

1.2 Allgemeinbildender Mathematikunterricht „Ob Mathematikunterricht mit Recht eine Schule des Denkens, vielleicht sogar des kritischen Denkens genannt werden kann, hängt also von einer Reihe von Randbedingungen ab, die im herkömmlichen Unterricht aller Schultypen und Altersstufen nur allzu oft verletzt werden. Ein Mathematikunterricht, in dem Einschleifen der gängigen Standard-Lösungswege der etablierten Schulmathematik den Vorrang hat vor Verstehen, vor bewusstem Bemühen um Transfer, vor ausdrücklichen Herausforderungen der Kritikfähigkeit auf Seiten der Lernenden, trägt eher zur Einschläferung der kritischen Vernunft bei als zu ihrer Mobilisierung.“

„In welchem Ausmaß Mathematik allgemeinbildend ist, entscheidet sich erst auf der Ebene der Handlungen.“ „Es kommt auf einen lebendigen, anschaulichen, auf Verständnis zielenden und die Eigenaktivität der Schüler herausfordernden Unterricht an – was gute Mathematiklehrer im übrigen schon immer praktiziert haben. Die von mir angemahnte stoffliche Entfrachtung der Lehrpläne soll nicht dazu dienen, den Schülern Anstrengungen zu ersparen, sondern sich ein Mehr an wirklich verstandener Mathematik anzueignen, die für sie bedeutsam ist und etwas mit ihrem Leben zu tun hat.“ (Hans-Werner Heymann 1995)

Einbettung des MUs in ein Allgemeinbildungskonzept: Lebensweltbezug Stiftung kultureller Kohärenz Weltorientierung Anleitung zum kritischen Vernunftgebrauch Entfaltung von Verantwortungsbereitschaft Förderung von Phantasie und Kreativität Einübung in Verständigung und Kooperation Ich-stärkung

1.3 Mathematical literacy – mathematische Grundbildung (PISA) „Mathematical literacy is an individual‘s capacity to identify and understand the role that mathematics plays in the world to make well-founded mathematical judgements and to engage in mathematics in ways that meet the needs of that individual‘s current and future life as constructive, concerned, and reflective citizen.“ (OECD 1999)

Grundlage: Realistic mathematics education (RME) (Kerngedanke der didaktischen Phänomenologie der mathematischen Begriffe Hans Freudenthals: Verankerung mathematischer Begriffe in der Welt, entstanden durch einen zunehmend reflektierten Gebrauch in kontextbezogenen Problemsituationen) (1)Herauslösen mathematischer Begriffe aus (realen) Problemsituationen (2)Fortschreitendes Ablösen der Begriffe von ihren kontextuellen Bezügen (progressive Schematisierung) (3)Formen neuer Begriffe (vertikale Mathematisierung) (4)Ausdehnen der Anwendungsmöglichkeiten (horizontale Mathematisierung)

Beispiel Zahlenstrahl: -am Kiosk Schlangestehen -unstrukturierte Perlenkette -strukturierte Perlenketten -Wäscheleine, an die Zahlenkärtchen angehängt werden - Zahlenstrich (leer, teilbesetzt, besetzt, mit und ohne Einteilung, ...) -Zahlenstrahl als Werkzeug zum Darstellen von Zusammenhängen -Zahlenstahl als Gegenstand der Erkundung von Zahlen Parallel dazu wird der Zahlenraum vergrößert

Didaktische Forschungs- und Gestaltungsansätze Deskriptive Didaktik Ist-Zustand Was ist? Wie ist es? Warum ist es so? Präskriptive Didaktik Handlung Was kann/soll man tun? Normative Didaktik Soll-Zustand Was sollte erreicht werden?

PISA (programme for international student assessment) Kompetenzklassen: – technische Fertigkeiten: reproduzieren, definieren und rechnen – begrifflich oder rechnerisch modellieren (vernetzen und integrieren, um Probleme zu lösen) – strukturell verallgemeinern (mathematisch denken, verallgemeinern und Einsicht in strukturelle Zusammenhänge) Kompetenzstufen bilden das Schwierigkeitsniveau ab. Kompetenzbereiche: Gebiete und Big Ideas: hoch vernetzte mathematische Ideen wie z.B. Zufall, Veränderung und Wachstum, Abhängigkeit und Beziehung, Raum und Form.