Gerd Grasshoff Universität Bern SS 2010 Einführungskurs Wissenschaftstheorie und Wissenschaftsgeschichte: II: Theorien Gerd Grasshoff Universität Bern SS 2010

Argumentrekonstruktion Der langsamste Läufer wird niemals vom schnellsten eingeholt werden. Zuerst einmal muss der Verfolger nämlich den Punkt erreichen, von dem der Verfolgte gestartet ist, so dass der langsamere notwendig immer etwas Vorsprung hat.

Argumentrekonstruktion 1 Anfang A an PN=P1, B an P2, P2 vor P1 A1 2 Für alle N: A läuft zur Position PN+1 zur Zeit tN A2 3 Für alle N: B läuft in der gleichen Zeit von PN+1 nach PN+2 zur Zeit tN A3 4 Für alle N: PN+2 liegt vor PN+1 Z1, Z3 (Verallgemeinerung) A1, A3 5 Für alle N: Zu tN liegt B vor A Z2, Z3, Z4 (Substitution) A1, A2, A3 6 Wenn für alle N der Zeiten tN B vor A liegt, dann liegt B immer vor A (d.h. für alle Zeiten, Strecken) A4 7 B liegt immer (d.h. Für alle Strecken, Zeiten) vor A Z4, Z5 (MPP) A1,A2,A3,A4

Ableitungsschema Das zuvor benutzte Schema der Rekonstruktion des Zenon-Arguments hat folgende Eigenschaften: Definition der Spalten Zeilennummer Definition oder Aussage Zur Ableitung benutzte Zeile(n) und Ableitungsregeln Die Annahmen, unter denen die Ableitung gilt

Ableitungsschema Eine Ableitung ist deduktiv, wenn es unmöglich ist, dass bei wahren Annahmen das Abgeleitete falsch ist. Ableitungsregeln erlauben, unter bestimmten Bedingungen neue Zeilen in ein Ableitungsschema hineinzuschreiben.

Argumente Ein Argument für eine Aussage ist schlüssig, wenn aus den Annahmen die Aussage deduktiv abgeleitet werden kann. Ein schlüssiges Argument für eine Aussage zu geben heisst, dass die abgeleitete Aussage unter der Voraussetzung der Wahrheit der Annahmen wahr ist. Ein Argument bleibt schlüssig, wenn eine der Annahmen falsch ist. Die Angabe eines schlüssigen Arguments begründet eine Aussage. Um zu verstehen, welche Aussagen mit Sprache ausgedrückt werden, muss man die Bedeutung der verwendeten Ausdrücke kennen. Diese kann man in Definitionen erklären.

Kritik Zeigt sich, dass ein schlüssiges Argument zu falschen Konsequenzen führt, muss eine seine Annahmen falsch sein. (Modus tollendo tollens MTT) Allgemeiner: wird mit einem Beweissystem etwas abgeleitet, das falsch ist, muss mindestens eines gelten: Mindestens eine Annahme ist falsch Das Beweissystem ist nicht wahrheitserhaltend.

Fragment Euklid II.5, O Euklid, u. 300BC Ältestes Fragment 70-100BC Oxyrhynchus Prop II.5 http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/papyrus/papyrus.html

Euklid. Pythagoras, Vat.gr.190 (9.Jahrh) http://www.ibiblio.org/expo/vatican.exhibit/exhibit/d-mathematics/Greek_math2.html

Euklid, Proposition I

Euklid, Definitionen I

Euklid, Definitionen II

Euklid, Definitionen III

Euklid, Postulate

Euklid, Axiome

Aufteilung Im ersten Teil von Euklids Proposition wird eine Konstruktionsaufgabe formuliert Im zweiten Teil wird die geometrische Figur konstruiert. Dazu wird eine Konstruktionszeichnung verwendet. Benutzt werden Postulate über die Existenz der geometrischen Objekte. Im dritten Teil werden die geforderten Eigenschaften der konstruierten Figur bewiesen. Benutzt werden dazu: Eigenschaften des konstruierten geometrischen Objekts nach den Definitionen. Ableitungen nach den Axiomen.

Beweis 1 A=Mittelpunkt Kreis BCD Konstruktion 2 B=Mittelpunkt kreis ACE 3 BC=AB 2; I, Def. 15 4 AC=AB 1; I, Def. 15 5 AC=BC 3,4; Axiom 1 1,2 6 ABC ist gleichseitig 3,4,5; I, Def. 20

Ableitungsbeziehungen Gegeben sind idealisierte Situationen oder Gegenstände, denen Eigenschaften zugesprochen werden sollen. Die Ableitungsschemata erlauben Beweise für diese Eigenschaften. In die Beweise gehen ein: Definitionen der Gegenstände und ihrer Eigenschaften Konstruktionsvorschriften Axiome/Prinzipien, Ableitungsregeln Andere Theoreme über Eigenschaften des Gegenstandes oder seiner Teile.

Graphische Ableitungszusammenhänge

Erklärungen Dadurch, dass die Eigenschaften von (häufig idealisierten) Gegenständen aus anderen Sätzen abgeleitet werden können, können diese Eigenschaften erklärt werden. Erklärungen kann man als Antworten auf Warum- Fragen verstehen.

Mathematisierte Wissenschaften Geometrie Astronomie Mechanik Hydrodynamik Optik Harmonik

Ptolemaios, Almagest 139 AD

Inhaltsverzeichnis Almagest

Definitionsvorschlag von ”Theorie” Zur Theorie gehören alle Prämissen, die für abzuleitende Eigenschaften konstruierter Gegenstände benötigt werden, u.a. Definitionen Postulate Axiome Idealisierte Konstruktionen und Theoreme ihrer Eigenschaften

Lehrbücher Der Inhalt klassischer Lehrbücher wird häufig mit dem Inhalt von Theorien identifiziert. Lehrbücher häufig die Funktion der Vermittlung von Problemlöungs know-how haben. Daneben enthalten Lehrbücher viele anderen Informationen Heutige Lehrbücher sind sehr überwiegend keine Gesamtdarstellungen von Theorien.

Sprachliche Architektur von Theorien Nur selten systematisch in einem Werk, z.B. Newtons Principia Mathematica Ptolemaios Almagest Kepler Optik Verteilte Ressourcen Verschiedene Quellen Verschiedene Autoren Einheit durch die deduktiven Zusammenhänge gegeben

Zur nächsten Woche Erstellen Sie ein Beweisschema für das Argument. Ist das Argument schlüssig? Angenommen, die Sterne verhalten sich so, als ob sie auf einer Kugeloberfläche liegen, in der sich die Erde und wir Beobachter befinden. Angenommen, die Erde ist nicht im Zentrum dieser Kugel. Der sichtbare Horizont zeigt sich immer als Tangente an die Kugel der Erdoberfläche, die den Himmel in A und B schneidet. Der Ausschnitt des sichtbaren Himmels wäre der Ausschnitt zwischen A und B. Dieser Ausschnitt ist kleiner als die Hälfte des Himmels. Da wir aber nachts immer die Hälfte des Himmels sehen, kann die Erde nicht ausserhalb des Zentrums der Kugel liegen. Die Erde ist in der Mitte des Kosmos.