Semipartialkorrelation Multiple Korrelation Inkrementelle Validität Gliederung Partialkorrelation Semipartialkorrelation Multiple Korrelation Inkrementelle Validität Beispiele für multiple Korrelationen Multiple Korrelation in SPSS 01_multiple_korrelation 1

Ziel der Multiplen Korrelation Ziele der Multiplen Korrelation Die Multiple Korrelation befasst sich mit dem Zusammenhang mehrere Variablen untereinander. Es wird die Frage beantwortet, wie viel Varianz ein Kriterium mit mehreren Prädiktoren gemeinsam hat. Die MK stellt damit eine Vorstufe der Multiplen Regression dar. Beispiel Wie eng ist der Zusammenhang der Lebenszufriedenheit mit körperlicher Gesundheit, Einkommen, und Optimismus? 01_multiple_korrelation 2

Aufgeklärte Varianz Der Anteil aufgeklärter Varianz wird oft durch Venn-Diagramme veranschaulicht: Varianz von X Varianz von Y r² 1-r² Gemeinsame Varianz 01_multiple_korrelation 3

Aufgeklärte Varianz Aufgeklärte Varianz Die MK gibt an, wie viel Varianz des Kriteriums durch die Prädiktoren aufgeklärt wird. Bei einem bivariaten Zusammenhang wird der Anteil der aufgeklärten Varianz durch den Determinationskoeffizienten angegeben: r² Die Varianz des Kriteriums setzt sich additiv aus erklärbarer Varianz und nicht erklärter Varianz zusammen: Aufgeklärte Varianz nicht-erklärbare Varianz 01_multiple_korrelation 4

x: Anzahl von Badeunfällen im Freibad Partialkorrelation Problem: psychologische Merkmale hängen in aller Regel von vielen Faktoren (Variablen) ab. Die Korrelation zweier Variablen wird meist von (mehreren) dritten Variablen beeinflusst / vermittelt. Beispiel: x: Anzahl von Badeunfällen im Freibad y: Menge des konsumierten Speiseeises Lösung: Konstanthalten/Eliminieren bekannter Drittvariablen durch die Partialkorrelation (rxy.z) 01_multiple_korrelation 5

Die Partialkorrelation im Venn-Diagramm: y.z x.z x y z Die quadrierte Partialkorrelation r²xy.z ist der Anteil der Varianz von x, den die Variable y erklärt, wenn z aus beiden Variablen herauspartialisiert wird. 01_multiple_korrelation 6

… aus dem der Einfluss einer dritten Variable eliminiert wurde. Partialkorrelation Definition Die Partialkorrelation rxy.z beschreibt den linearen Zusammenhang von zwei Variablen, … … aus dem der Einfluss einer dritten Variable eliminiert wurde. „Korrelation der Variablen x und y, nachdem eine Variable z aus x und y herauspartialisiert wurde“ 01_multiple_korrelation 7

(Theoretisches) Vorgehen: Partialkorrelation (Theoretisches) Vorgehen: Die Variablen x und y werden durch eine Regression auf z residualisiert. Anschließend werden die Residuen miteinander korreliert. 01_multiple_korrelation 8

Beispiel: Gewichtabnahme durch Sport Partialkorrelation Beispiel: Gewichtabnahme durch Sport Fragestellung: Wie stark hängt das Körpergewicht von sportlicher Betätigung ab? Gemessen werden: Gewichtsabnahme (y) Trainingsdauer (x1) Kalorienaufnahme (x2) Dabei ergeben sich folgende Korrelationen y x1 x2 1.0 .43 -.51 .41 01_multiple_korrelation 9

Berechnung der Partialkorrelation: y x1 x2 1.0 .43 -.51 .41 Fragestellung: Wie stark hängt der Gewichtsverlust vom Training ab?  r(y, x1) = .43 Aber: Der Gewichtsverlust hängt auch mit der Kalorienaufnahme zusammen. Wie hoch wäre die Korrelation zwischen Training und Gewichts-verlust, wenn alle Probanden gleich viele Kalorien zu sich genommen hätten? Berechnung der Partialkorrelation: 01_multiple_korrelation 10

Semipartialkorrelation Die Semipartialkorrelation rx(y.z) Die Semipartialkorrelation ist die Korrelation der Variablen x mit y, nachdem z nur aus y „herauspartialisiert“ wurde. Mit der Semipartialkorelation kann berechnet werden, wie viel Varianz von y durch x zusätzlich zu z aufgeklärt werden kann. Beispiel: „Wie viel Varianz des Gewichtsverlusts (y) erklärt das Training (x) zusätzlich zur Kalorienaufnahme (y)?“ 01_multiple_korrelation 11

Semipartialkorrelation Die Semipartialkorrelation im Venn-Diagramm: x x y y.z z Die quadrierte Semipartialkorrelation r²x(y.z) ist der Anteil der Varianz von x, den die Variable y zusätzlich zu z erklärt. 01_multiple_korrelation 12

Semipartialkorrelation y x1 x2 1.0 .43 -.51 .41 Fragestellung: Wie viel Varianz des Gewichtsverlusts erklärt das Training zusätzlich zur Kalorienaufnahme? Berechnung der Semipartialkorrelation: 01_multiple_korrelation 13

Partialkorrelation rxy.z Zusammenfassung Partialkorrelation rxy.z Herauspartialisieren eines dritten Merkmals aus beiden Variablen Semipartialkorrelation rx(y.z) Herauspartialisieren eines dritten Merkmals aus nur einer Variable x.z y.z x y.z 01_multiple_korrelation 14

Die Multiple Korrelation Der Multiple Korrelationskoeffizient (R) erfasst den Zusammenhang zwischen mehreren Prädiktorvariablen und einem Kriterium. Dies entspricht der Korrelation zwischen einem durch mehrere Prädiktoren vorhergesagtem Kriterium ( Multiple Regression) und dem tatsächlichem Kriteriumswert. Beispiel: Wie stark hängt der Gewichtsverlust vom Training und der Kalorienaufnahme gemeinsam ab? Wie viel Varianz des Gewichtsverlustes können durch beide Variablen gemeinsam aufgeklärt werden? R  vereinigter Zusammenhang aller Prädiktoren mit Kriterium R²  Anteil der durch alle Prädiktoren aufgeklärten Varianz = Maß für die Effektstärke bei der multiplen Regression 01_multiple_korrelation 15

Berechnung der Multiplen Korrelation (für zwei Prädiktoren): Multiple Korrelation y x1 x2 1.0 .43 -.51 .41 Fragestellung: Wie stark hängt der Gewichtsverlust vom Training und der Kalorienaufnahme gemeinsam ab? Wie viel Varianz des Gewichtsverlustes können durch beide Variablen gemeinsam aufgeklärt werden? Berechnung der Multiplen Korrelation (für zwei Prädiktoren): 01_multiple_korrelation 16

(multiple Korrelation) ryx (bivariate Korrelation) Ry.xz (multiple Korrelation) y x z y x z 01_multiple_korrelation 17

Multiple Korrelation y x z = + 01_multiple_korrelation 18

Multiple Korrelation y x z … = + 01_multiple_korrelation 19

Inkrementelle Validität Eine Variable besitzt inkrementelle Validität, wenn ihre Aufnahme als zusätzlicher Prädiktor den Anteil der aufgeklärten Varianz (R²) am Kriterium erhöht. D.h. eine Variable mit inkrementeller Validität verbessert die Vorhersage des Kriteriums. x y z 01_multiple_korrelation 20

Inkrementelle Validität y x1 x2 1.0 .60 .45 .30 Beispiel Aufgeklärte Varianz: x1 klärt 36% der Varianz von y auf x2 klärt 20% der Varianz von y auf Frage: besitzt x2 inkrementelle Validität?  Berechnung der Varianz, die durch x1 und x2 gemeinsam aufgeklärt wird: Fazit: Weil R²y.x1x2 > r²yx1 klärt x2 also auch einen Varianzanteil auf  x2 besitzt inkrementelle Validität! 01_multiple_korrelation 21

Beispiele für multiple Korrelationen Einige Spezialfälle der Multiplen Korrelation Nullkorrelation Ein Prädiktor korreliert Inkrementelle Validität Keine inkrementelle Validität Suppressor-Effekt 01_multiple_korrelation 22

Beispiele für multiple Korrelationen y x1 x2 1.0 .00 .60 Beispiel a: Nullkorrelation Wenn keiner der Prädiktoren mit dem Kriterium korreliert, ist die multiple Korrelation immer R² = 0. y x1 x2 01_multiple_korrelation 23

Beispiele für multiple Korrelationen y x1 x2 1.0 .60 .00 Beispiel b: Ein Prädiktor korreliert Wenn nur ein Prädiktoren mit dem Kriterium korreliert, ist die gemeinsame Vorhersage ist genauso gut, wie die Vorhersage durch x1 alleine. (Ausnahme: siehe Suppressor-Effekt) x2 besitzt keine inkrementelle Validität. x2 x1 y 01_multiple_korrelation 24

Beispiele für multiple Korrelationen y x1 x2 1.0 .60 .45 .30 Beispiel c: Inkrementelle Validität Beide Prädiktoren besitzen inkrementelle Validität! y x1 x2 01_multiple_korrelation 25

Beispiele für multiple Korrelationen y x1 x2 1.0 .60 .45 .80 Beispiel d: Keine Inkrementelle Validität Weil R²y.x1x2 = r²yx1 besitzt x2 keine inkrementelle Validität! 01_multiple_korrelation 26

Beispiele für multiple Korrelationen y x1 x2 1.0 .55 .00 Beispiel e: Suppressor-Effekt Obwohl y und x2 nicht korrelieren, ist R²y.x1x2 > r²yx1. x2 besitzt demnach inkrementelle Validität! Diese liegt daran, dass der Anteil von x1, der nichts mit x2 gemeinsam hat, y besonders gut vorhersagen kann. y x1 x2 01_multiple_korrelation 27

Beispiele für multiple Korrelationen Ein Suppressor Effekt liegt also vor, wenn … ein Prädiktor nicht mit dem Kriterium korreliert … aber trotzdem die Varianzaufklärung verbessert. Dies ist der Fall, wenn der Prädiktor mit anderen Prädiktoren deutlich korreliert. 01_multiple_korrelation 28

Die Multiple Korrelation in SPSS SPSS - Menubefehl In SPSS wird die Multiple Korrelation als Teil der (Multiplen) Regression berechnet. 01_multiple_korrelation 29

Die Multiple Korrelation in SPSS SPSS - Syntax regression /dependent gv /method enter training kalorien. 01_multiple_korrelation 30

Die Multiple Korrelation in SPSS SPSS - Ausgabe Die komplette SPSS-Ausgabe wird detailliert im nächsten Kapitel (Multiple Regression) besprochen. Modellzusammenfassung Modell R R-Quadrat Korrigiertes R-Quadrat Standardfehler des Schätzers 1 ,546a ,298 ,273 3,03409 a. Einflußvariablen : (Konstante), kalorien, training 01_multiple_korrelation 31

Semipartialkorrelation Zusammenfassung Partialkorrelation Herauspartialisieren eines zusätzlichen Prädiktors aus allen anderen Variablen. Semipartialkorrelation Herauspartialisieren eines zusätzlichen Prädiktors aus einem anderen Prädiktor Multiple Korrelation Varianzaufklärung mit mehreren Prädiktoren Inkrementelle Validität: durch einen Prädiktor zusätzlich erklärte Varianz Suppressor-Effekt: Ein Prädiktor verbessert die multiple Korrelation ohne dass er mit dem Kriterium korreliert. 01_multiple_korrelation 32