1. Mengenlehre Grundbegriffe

Definition Eine Menge ist eine Zusammenfassung von verschiedenen Elementen. Dabei muss genau festgelegt sein, welche Elemente zu der Menge gehören. Beispiele: Die Menge aller Buchstaben Die Menge aller ganzen Zahlen zwischen 2 und 10

„Vokabeln“ {…} Mengenklammer Symbol Begriff Erläuterungen/Sprechweisen {…} Mengenklammer Für die Mengendarstellung in aufzählender und beschreibender Form G Grundmenge Menge der zur Verfügung stehenden Elemente für eine bestimmte Aufgabenstellung ∈ Element „… ist Element von …“ ∉ nicht Element „… ist nicht Element von …“ ⊂ Teilmenge „… ist Teilmenge von …“ ∩ Schnittmenge „… geschnitten mit …“ ∪ Vereinigungsmenge „… vereinigt mit …“ \ Restmenge „… ohne …“

Buchstabenspiel

Auswertung Alle Elemente werden geprüft. Zulässige Elemente sind nur die deutschen Hauptwörter, die einen oder mehrere der Buchstaben A, L, G, E, B, R enthalten. Unkorrekt ausgefüllte Karten werden aussortiert. G = Menge der deutschen Hauptwörter mit einem oder mehreren Buchstaben A, L, G, E, B, R Alle Elemente der gesuchten Menge müssen zu dieser Grundmenge G gehören. Die Menge aller Elemente, die für eine bestimmte Aufgabenstellung zur Verfügung stehen sollen nennt man Grundmenge G.

Für alle Wörter der ausgefüllten Spielkarten wird eine Strichliste angelegt. Die Wörter, die von jeder Gruppe mit je 3, 4, 5, 6 oder 7 Buchstaben am häufigsten (mindestens jedoch 2-mal) vorkommen, werden zu einer Menge A zusammenfasst. A = { … } A ist Teilmenge der Grundmenge G, da jedes Element von A auch zu G gehört. A ⊂ G „A ist Teilmenge von G“

Jede ausgefüllte Spielkarte (Menge B) wird auf Übereinstimmung mit der Menge A überprüft. (a) Jedes übereinstimmende Element bringt einen Gewinnpunkt. Zur Schnittmenge S („Übereinstimmungsmenge“) gehören alle Elemente, die sowohl zu A als auch zu B gehören. S = A ∩ B „A geschnitten mit B“

(b) Jedes nicht übereinstimmende Element bringt zwei Gewinnpunkte. Zur Restmenge R gehören alle Elemente, die zu B aber nicht zu A gehören. R = B \ A „B ohne A“

Für jede Spielkarte wird die Glückszahl überprüft Für jede Spielkarte wird die Glückszahl überprüft. Hierfür wird die Menge auf der Spielkarte mit der Menge A vereinigt. Dann werden die Elemente der Vereinigungsmenge gezählt. (c) Die Anzahl der Elemente die Vereinigungsmenge ist die Glückszahl. Bei Übereinstimmung mit der angekreuzten Zahl gibt es einen Zusatzpunkt. Zur Vereinigungsmenge V gehören alle Elemente, die zu A oder zu B oder zu beiden gehören. V = A ∪ B „A vereinigt mit B“

Sieger ist Spieler mit der höchsten Punktzahl. a + b + c

Merke Mengen werden in der Regel mit großen Buchstaben benannt, A, B, C, … Mengen lassen sich auf drei verschiedene Weisen darstellen: Mengendiagramm (Mengenbild) Aufzählende Form A = {2, 4, 6, 8, 10, 12} Beschreibende Form A = {x |x ist gerade Zahl und kleiner als 13} 4 6 12 8 10 A

Aufgaben Stellen Sie die nachfolgenden Mengen als Mengenbild, in aufzählender Form und in beschreibender Form dar: die Menge der Buchstaben des Wortes „Kinderpflegerin“ die Menge der Buchstaben des Wortes „Hauswirtschaft“ die Menge der Lehrer Ihrer Klasse die Menge der Zahlen zwischen 1 und 10 die Menge der Primzahlen zwischen 1 und 20

Aufgaben Die Grundmenge sei G = Menge aller Buchstaben des Alphabets. Geben Sie als Mengenbild und in aufzählender Form an: V = {x |x ist ein Vokal} M = {x |x kommt in dem Wort Mathematik vor} Die Grundmenge sei G = Menge der natürlichen Zahlen. Schreiben Sie in aufzählender Form: Q = Menge aller zweistelligen Zahlen mit der Quersumme 10

Aufgaben Geben Sie folgende Mengen in beschreibender Form an: B = {Januar, März, Mai, Juli, August, Oktober, Dezember} C = {3, 4, 5, 6} D = {3, 6, 9, 12, 15, 18}

Merke Will man ausdrücken, dass ein Element zu einer bestimmten Menge gehört, benutzt man das Zeichen ∈. Gehört das Element nicht dazu, wird das Zeichen ∉ verwendet. A = {4, 5, 6} 4 ∈ A „4 ist Element der Menge A“ 7 ∉ A „7 ist nicht Element der Menge A“ 5 ∈ A „5 ist Element der Menge A“

Unterscheidung von Mengen nach der Menge ihrer Elemente unendliche Menge: eine Menge mit einer unbegrenzten Anzahl von Elementen Beispiel: Menge der natürlichen Zahlen A = {1, 2, 3, 4, …} endliche Menge: eine Menge mit einer begrenzten Anzahl von Elementen Beispiel: Menge der natürlichen Zahlen zwischen 4 und 7 B = {5, 6} leere Menge: eine Menge, die keine Elemente enthält Beispiel: Menge der natürlichen Zahlen zwischen 5 und 6 C = { }

Teilmenge Eine Menge B heißt Teilmenge einer Menge A, wenn jedes Element von B auch Element von A ist. B ⊂ A {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 6} denn alle Elemente von B gehören auch zu A 6 1 3 B 2 A

Schnittmenge Die Schnittmenge A ∩ C zweier Mengen A und C ist die Menge aller Elemente, die zu A und zu C gehören. A = {1, 2, 3, 6} C = {2, 3, 5, 7} A ∩ C = {2, 3}, denn 2 und 3 sind genau die Elemente, die sowohl zu A als auch zu C gehören

Vereinigungsmenge Die Vereinigungsmenge A ∪ C zweier Mengen A und C ist die Menge aller Elemente, die zu A oder zu C oder auch zu beiden gehören. A = {1, 2, 3, 6} C = {2, 3, 5, 7} A ∪ C = {1, 2, 3, 5, 6, 7}

Restmenge Die Restmenge A \ C zweier Mengen A und C ist die Menge aller Elemente, die nur zu A, aber nicht zugleich auch zu C gehören. A = {1, 2, 3, 6} C = {2, 3, 5, 7} A \ C = {1, 6}

Aufgaben B sei die Menge der durch 7 teilbaren Zahlen. A sei die Menge der Primzahlen zwischen 1 und 50. Welche Mengenarten liegen vor? Welche der folgenden Zahlen sind Elemente von A, welche von B? 9, 13, 7, 22, 17, 49, 50, 109, 36, 37

Aufgaben Sind die folgenden Mengen unendlich, endlich oder leer? Menge aller Altenpflegeheime in Brandenburg Menge der Buchstaben des Wortes „Kindergarten“ Menge der Schülerinnen dieser Klasse Menge aller Multiplikationsaufgaben Menge der Primzahlen zwischen 24 und 28 Menge alle Teiler von 24

Aufgaben (S. 15 Nr. 11) Geben Sie bei den folgenden Mengen jeweils die Teilmengenbeziehungen an und begründen Sie. A = Menge der Personen im Kindergarten X B = Menge der Erzieherinnen im Kindergarten X C = Menge der 5jährigen Mädchen im Kindergarten X A B C

Geben Sie bei den folgenden Mengen jeweils die Teilmengenbeziehungen an und begründen Sie. A = {2, 3, 4, 5} B = {1, 2, 3, 4, …} C = {2, 4, 6, 8} 6 8 3 5 2 4 A C B

Geben Sie an, welche Teilmengenbeziehung zwischen den folgenden Mengen besteht: A ⊂ A aber auch A ⊆ A B ⊂ A, B ⊂ B, B ⊆ B C ⊂ A, C ⊂ B, C ⊂ C, C ⊆ C

Grundmenge G G = Menge der ungeraden Zahlen unter 10 A = Menge der Primzahlen Übertragen Sie das Mengenbild in Ihr Heft. Ergänzen Sie die Elemente der Grundmenge G und der Menge A. 9 1 3 5 7 A G

A = Menge aller Primzahlen B = Menge aller ungeraden Zahlen C = Menge aller durch 3 teilbaren Zahlen Schreiben Sie die Mengen in aufzählender Form. Übertragen Sie das Mengenbild und ergänzen Sie die Elemente. 2 5 7 1 B 3 A 9 6 4 C G

Gegeben: G = {a, b, c, d, e} A = {a, b, c} B = {b, c} C = {c, d, e} D = {b, c} E = {a, b, c}

G A B C D E G ⊂ A ⊂ B ⊂ C ⊂ D ⊂ E ⊂ Tragen Sie in die Tabelle „wahr“ ein, wenn die angegebene Beziehung richtig ist. Tragen Sie „falsch“ ein, wenn sie nicht richtig ist.

G A B C D E G ⊂ wahr falsch A ⊂ B ⊂ C ⊂ D ⊂ E ⊂

Welche Mengen sind „gegenseitig“ Teilmengen Welche Mengen sind „gegenseitig“ Teilmengen? A ⊂ E und E ⊂ A B ⊂ D und D ⊂ B Welche Mengen enthalten dieselben Elemente und sind deshalb gleiche Mengen? A = E, B = D Vervollständigen Sie nun die folgende Aussage: „Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn … sie gegenseitig Teilmengen sind.“

Aufgaben Wie lauten die Schnittmenge, die Vereinigungsmenge und die Restmenge A\B? A = Menge aller Getränke B = Menge aller Obstsäfte A = {1, 2, 3, …, 100} B = {9, 18, 27, …, 99} A = Menge aller Teiler der Zahl 20 B = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Gesetze für Mengenverknüpfungen 1 2 3 4 5 6 7 A B C

A = {1, 2, 3, 4 } B = {2, 3, 5, 6 } C = { 3, 4, 5, 7} A ∪ B = B ∪ A {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C {3} = {3} A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C) {2, 3, 4} = {2, 3, 4} A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) {1, 2, 3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}