Beweissysteme Hartmut Klauck Universität Frankfurt WS 06/

PCPs und Approximation Wir wollen die wichtigste Anwendung des PCP Theorems betrachten Theorem: –NP=PCP(O(log n),O(1)) –Dabei hat das PCP-System Vollständigkeit 1 und Korrektheit 2/3 (bzw. 1- für beliebig kleines >0 konstant). Die Anwendung besteht darin, zu zeigen, dass es für bestimmte Optimierungsprobleme schwierig ist, diese gut zu approximieren

Geht es besser? Definition 14.1: Ein Approximationsschema ist eine Familie von Algorithmen für ein Problem P, die bei Eingabe von einer Instanz x und einem Parameter >0 eine Lösung mit Verlustfaktor 1+ berechnet Frage: gibt es ein Approximationsschema für Max-3-SAT, welches für jede Konstante in Zeit poly(n) läuft?

Gap-Probleme Wir wollen Approximation von Optimierungsproblemen in Zusammenhang mit Entscheidungsproblemen bringen Wir betrachten die folgende Gap-version von Max- 3-SAT Definition 14.2 [ -Gap-3-SAT]: –Eingaben sind 3-KNF Formeln –Es ist zu akzeptieren, wenn erfüllbar ist, und zu verwerfen, wenn höchstens (1- ) m Klauseln simultan erfüllbar sind –Hierbei es egal, wie für Formeln entschieden wird, die nicht erfüllbar sind, in denen aber mehr als (1- ) m Klauseln simultan erfüllbar sind

Gap Probleme Lemma 14.3 –Wenn wir ein Approximationsschema für Max-3-SAT haben, können wir -Gap-3-SAT entscheiden Beweis: –Lasse das Schema für und laufen, wobei =1/(1- )-1 –Wenn mehr als (1- )m Klauseln von der erhaltenen Lösung erfüllt werden, akzeptiere Dies entscheidet -Gap-3-SAT, denn: –Wenn mit m Klauseln erfüllbar ist, muss das Schema mind. m/(1+ )=(1- )m Klauseln erfüllen, es wird akzeptiert –Wenn in nur <(1- )m Klauseln simultan erfüllbar sind, kann das Schema keine bessere Lösung finden, es wird verworfen

Gap-Probleme Wir erhalten: Lemma 14.4: –Wenn -Gap-3-SAT NP-vollständig ist für eine Konstante >0, dann gibt es kein Approximationsschema für Max-3-SAT, außer P=NP Behauptung: Gap-3-SAT NP- vollständig ist dasselbe wie das PCP- Theorem!

Gap-Probleme Wir wollen im folgenden argumentieren, dass das PCP-Theorem impliziert, dass -Gap-3-SAT NP-vollständig ist

Gap-Probleme Betrachten wir den PCP-Verifizierer für ein NP-vollständiges Problem, z.B. Clique –Er verwendet O(log n) Zufallsbits –Stellt q=O(1) Fragen D.h. der Beweis hat Länge poly(n) Für jede feste Wahl der Zufallsbits ist die Entscheidung des Verifizierers eine Funktion von q=O(1) Bits Seien 1,…,M die Werte der Zufallsbits, M=poly(n), x die Eingabe Für jedes feste m aus 1…M und jede feste Eingabe x gibt es eine Berechnung des Verifizierers auf q Bits Wir stellen diese Berechnung durch eine 3-KNF in q Variablen dar Betrachte die Menge der so erhaltenen M 3-KNF Formeln für ein x Wenn x 2 Clique, dann gibt es einen Beweis, der für alle m akzeptiert wird, das heißt, es gibt eine Belegung der Formelvariablen, die alle 3- KNF simultan erfüllt Wenn x nicht aus Clique, sind für alle Belegungen der Formelvariablen mindestens 2/3 M der 3-KNFs nicht erfüllt

Gap-Probleme Wir halten die Eingabe x (zum Clique Problem) fest Der Verifizierer liest q Bits und verwendet M mögliche Belegungen der Zufallsbits Wir erhalten also eine Menge von M Berechnungen des Verifizierers auf q Variablen, dies sind Funktionen V m,x Zu jedem V m,x können wir in polynomieller Zeit eine 3-KNF in q Variablen bestimmen, die genau dann erfüllbar ist, wenn V m,x akzeptiert: –Durchlaufe alle 2 q Belegungen der Variablen und bestimme die Tabelle der Funktion V –Hierbei ist wichtig, dass der Verifizierer in polynomieller Zeit arbeitet –Bestimme eine KNF F m,x, welche die Funktion V m,x darstellt –Zu F m,x gibt es eine 3-KNF G m,x (mit zusätzlichen Variablen), so dass für jede Belegung der Variablen in F m,x gilt: F m,x ist wahr gdw. G m,x erfüllbar ist (über den Zusatzvariablen) Konstruktion der 3-KNF wie in der Reduktion SAT->3-SAT –Es gibt immer eine derartige 3-KNF G m,x mit höchstens q ¢ 2 q Klauseln, denn F m,x hat o.d.B.A nur 2 q Klauseln

Gap-Probleme Wir bilden nun eine neue Formel H x, die alle Klauseln der erzeugten 3- KNF Formeln F m,x enthält Entweder: –Alle Klauseln sind simultan erfüllbar (wenn x 2 Clique) Oder: –Für jede Belegung der Variablen gilt: 2/3 M der Formeln F m,x sind nicht erfüllt (x nicht 2 Clique) –Dann sind mindestens 2/3 M Klauseln von H x nicht erfüllt –Es gibt höchstens q2 q M Klauseln in H x –Damit ist nur ein Anteil von höchstens (1-2/(3 ¢ q2 q )) aller Klauseln erfüllbar Da Clique NP-vollständig ist, folgt: Theorem 14.5 –Wenn das PCP Theorem mit Vollständigkeit 1 und Korrektheit 2/3 und q Fragen gilt, dann ist -Gap-3-SAT NP-vollständig für =2/(3 ¢ q2 q ).

Gap-Probleme Andersherum: Theorem 14.6 –Wenn -Gap-3-SAT NP-vollständig ist, folgt das PCP-Theorem Beweis: – Wir geben einen PCP-Beweis für Clique an –Wir erzeugen gemäß der Reduktion eine -gap-3-SAT Formel –Der Beweiser gibt eine erfüllende Belegung für die Formel an –Der Verifizierer zieht eine zufällige Klausel der Formel, und testet mit 3 Fragen, ob diese Klausel erfüllt ist –Wir erhalten, dass O(log n) Zufallsbits verwendet werden (um eine Klausel zu bestimmen), und 3 Fragen gestellt werden –Vollständigkeit ist 1 –Korrektheit ist, denn wenn x nicht aus Clique, kann nur ein (1- ) Anteil der Klauseln erfüllt werden –Durch Wiederholung kann die Korrektheit verbessert werden

Approximation Korollar 14.7 –Jeder Algorithmus, der Max-3-SAT mit Verlustfaktor 1+ approximiert, löst ein NP- vollständiges Problem für obiges –Es gibt kein Approximationsschema für Max-3-SAT außer P=NP Tatsächlich gibt es wahrscheinlich keinen Polynomialzeitalgorithmus mit Verlustfaktor 8/7- für beliebig kleine.

Weitere Probleme Wie sind natürlich an anderen Optimierungsproblemen mehr interessiert Wir wollen obiges Nichtapproximierbarkeits- Resultat durch Reduktion auf andere Probleme übertragen Schwierigkeit: –Normale Reduktionen bewahren Approximierbarkeit nicht Wir wollen so schließen: wenn wir A auf B reduzieren, soll ein guter Approximationsalgorithmus für B uns einen guten Approximationsalgorithmus für A liefern. Hat A keinen solchen Algorithmus, so gibt es umgekehrt auch keinen für B

Ein Beispiel Clique und Vertex-Cover –Clique: Finde größte Clique (d.h. vollständigen Teilgraph –Vertex-Cover: Finde eine kleinste Knotenmenge, zu der jede Kante inzident ist –Independent-Set: Finde größtmögliche unabhängige Menge, d.h. Knotenmenge für die keine zwei Knoten miteinander verbunden sind Klassische Reduktion Clique->VC: –Clique->Independent-Set durch Bildung des Komplementgraphen –Independent-Set->VC: Beobachtung: Das Komplement eines IS ist immer ein VC und umgekehrt Wenn Graph G und Zahl k eine Eingabe für IS sind, wird durch die Reduktion auf G, n-k abgebildet Aber: Angenommen wir haben einen 2-Approximationsalgorithmus für VC Dieser findet statt des optimalen VC der Größe n/2-T eines der Größe n-2T Die Clique die wir erhalten hat eine Größe von 2T Tatsächlich aber gibt es eine Clique der Größe n/2+T

Reduktionen Wir benötigen einen strikteren Begriff von Reduktion zwischen NP-Optimierungsproblemen P,Q Definition 14.8 –Wir betrachten Reduktionen f, die Instanzen von P auf Instanzen von Q in polynomieller Zeit abbilden –Zusätzlich brauchen wir eine Abbildung g, die Lösungen von Q auf Lösungen von P abbildet (auch g ist in Polynomialzeit berechenbar) –Eine solche Reduktion f,g ist, -konservativ, wenn folgendes für alle x gilt: –cost Q (opt Q (f(x))) · cost P (opt Q (x)) Für alle x, und alle Lösungen s von f(x) gilt: –|cost P (g(s))-cost P (opt P (x))| · |cost Q (s)-cost Q (opt Q (x))| –Wir sagen P · L Q, wenn es eine ist, -konservative Reduktion von P auf Q gibt, mit, >0 konstant.

Eigenschaften Lemma 14.9 –P · L Q und Q · L R, dann folgt P · L R. Lemma –P · L Q gelte mittels einer, -konservativen Reduktion für Minimierungsprobleme P,Q. Q habe einen -Approximationsalgorithmus. Dann hat P einen (1+ ( -1))-Approximationsalgorithmus. Korollar –Wenn Max 3 -SAT · L P, dann hat P kein Approximationsschema, außer P=NP.

Im Bild:

Beweis Gegeben also ein - Approximationsalgorithmus für Q Gegeben eine Instanz x von P Wir bestimmen f(x), eine Instanz von Q Benutzen den Approximationsalgorithmus Bilden die erhaltene Lösung s auf g(s) ab, eine Lösung von x

Beweis Der Verlustfaktor von g(s): –K=cost Q (opt Q (f(x))) · cost P (opt P (x))= C –cost Q (s) · K –cost P (g(s))-C · ( K-K)= ( K · ( C –cost P (g(s))/cost P (opt P ) · 1+ (cost P (g(s))-C)/C · 1+ ( -1)