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Intervallschachtelung Hier als Näherungsverfahren zur Bestimmung der Quadratwurzel

Ich weiß, dass 3² gleich 9 ist. Hinter dem Verfahren steckt die Idee, durch „gezieltes Probieren“ die Quadratwurzel zu finden. Beispiel: Bestimmung der Wurzel aus 10 Zunächst überlegt man sich nur ungefähr, wie groß die Wurzel sein muss. Hmm, 4²=16, die 4 ist zu groß. Ich weiß, dass 3² gleich 9 ist. Die 3 ist zu klein!

Ganz gut, aber immer noch zu groß! Solche Überlegungen am besten gleich aufschreiben! Die Wurzel aus 10 muss zwischen 3 und 4 liegen: 3²=9 < 10 < 4²= 16 also 3 < < 4 Nächster Versuch:3,3 3,3²=10,89 Ganz gut, aber immer noch zu groß! Die Wurzel muss also zwischen 3 und 3,3 liegen!

3²=9 < 10 < 3,3²= 10,89 3 < < 3,3 Anstatt „zwischen 3 und 3,3“ sagt man auch: „im Intervall [3; 3,3]“ d.h. bei einem Intervall gibt man die Grenzen an! Zurück zur Wurzel aus 10! 3,15²=9,9225 zu klein! Neuer Versuch?

„Das heißt, die Wurzel liegt im Intervall [3,15 ; 3,3 ]“ Die Wurzel aus 10 muss zwischen 3,15 und 3,3 liegen: „Das heißt, die Wurzel liegt im Intervall [3,15 ; 3,3 ]“ 3,15²=9,9225 < 10 < 3,3²= 10,89 3,15 < < 3,3 So! Bisher sind wir durch Probieren der Wurzel schon ganz schön nahe gekommen. Problem: Wie könnte das ein Computer oder Taschenrechner für uns machen?

Dazu machen wir noch ein zweites Beispiel: Wir müssen für unser Probierverfahren, eine Art Kochrezept finden – eine immer gleiche Prozedur! Dazu machen wir noch ein zweites Beispiel: Bestimmung der Wurzel aus 2 Vorschlag: Bevor du weiterklickst, versuche doch mal die Wurzel durch das beschriebene Verfahren bis auf 2 Stellen zu bestimmen!

Kannst du erklären warum? Falls nein, geh noch mal zurück! Wir beginnen mit dem Intervall [1;2] und schauen uns das ganze auf dem Zahlenstrahl an: Dazwischen muss die Wurzel aus 2 liegen! 1 2 1,5 = (1+2):2 Anstatt nun irgendeine Zahl zwischen 1 und 2 zu probieren, nehmen wir die Intervallmitte. 1,5²= 2,25 d.h. 1,5 ist zu groß! Also muss Wurzel aus 2 zwischen 1 und 1,5 liegen. bzw. im Intervall [1;1,5]

Zu klein! Nun nehmen wir uns das Intervall [1; 1,5] vor: 2 1,5 1,25 Wir nehmen die Intervallmitte: (1+1,5) : 2=1,25 und überprüfen durch Quadrieren: 1,25²=1,5625 Zu klein! Also liegt die Wurzel aus 2 zwischen 1,25 und 1,5 bzw. im Intervall [1,25 ; 1,5]

Also liegt zwischen 1,375 und 1,5. Und nochmal: Intervall [1,25 ; 1,5 ] 1 2 1,25 1,5 1,375 Intervallmitte: (1,25+1,5):2 = 1,375 Quadrieren: 1,375²=1,890625 zu klein! Also liegt zwischen 1,375 und 1,5. im Intervall [1,375 ; 1,5]

Rückblick: 2. Schritt: Intervallmitte quadrieren und prüfen (zu klein, oder zu groß) 1. Schritt: Intervallmitte bestimmen: (untere Grenze+obere Grenze) : 2 (1+2):2=1,5 (1,25+1,5):2=1,375 (1+1,5):2=1,25 1,5²=2,25 1,375²=1,890625 1,25²=1,5625 zu klein! zu groß! zu klein! 1. Intervall: [1 ; 2] 1 2 1,5 2. Intervall: [1 ; 1,5] 1 1,5 1,25 3. Intervall: [ 1,25 ; 1,5 ] 1,25 1,5 1,375 4. Intervall [1,375 ; 1,5]

Ehrlich schon selbst probiert?? Zur Übersicht wäre doch eine Tabelle gut: untere Grenze obere Grenze Intervallmitte Quadrat IM Prüf-ergebnis 1 2 1,5 2,25 Zu groß 1,25 1,5625 Zu klein 1,375 1,890625 Bevor du weiterklickst, versuche selbst eine geeignete Tabelle zu erstellen! Ehrlich schon selbst probiert??