Seminarvortrag über die Orientierbarkeit von Flächen Katrin Brunnthaler Martin Pfurner

Inhalt Flatland – Die Vorgeschichte: kurze Vorstellung der Geschichte von A Square Mysteriöse Ereignisse in Flatland: über die Rückkehr A Squares von einer Reise Tic Tac Toe: gespielt auf einer Klein‘schen Fläche Definition von Orientierbarkeit: mit Beispielen

Die Klein‘sche Fläche: im 3-dimensionalen Euklidischen Raum Die Projektive Ebene Die Boy‘sche Fläche Quellen: The Shape Of Space, J.R. Weeks Das Topologikon, J.-P. Petit

§1 Flatland – Die Vorgeschichte A Square glaubt nicht, dass Flatland eine Ebene mit einem Rand ist. Geht mit rotem Faden in Richtung Norden, und kommt nach einiger Zeit aus Süden zurück Alle glauben, er ist im Kreis gegangen

Um das Gegenteil zu beweisen geht er mit einem blauen Faden Richtung Westen. Kommt dann nach kürzerer Zeit aus Osten wieder zurück. Also kursiert die Meinung, Flatland sieht so aus:

Aber A Square bemerkte, dass er den roten Faden nie überquert hat! Außerdem war der zweite Weg wesentlich kürzer als der erste. Deshalb muss für A Square Flatland eine solche Fläche sein:

§2 Mysteriöse Ereignisse in Flatland A Square begibt sich abermals mit einem Freund auf eine Reise. Als sie zurückkommen bemerken sie, dass alle Schilder in der Stadt gespiegelt sind, alle Menschen auf der falschen Straßenseite gehen und fahren. Die Einwohner behaupten aber, es hätte sich nichts in der Stadt verändert.

Die beiden haben sich also auf einem Möbiusband fortbewegt: Ein solches befindet sich z.B. auf einer Klein‘schen Fläche:

Mehr von A Square und seiner Geschichte rund um die Gestalt von Flatland in einem der nächsten Vorträge!

§3 Tic Tac Toe Nun wollen wir auf der Klein‘schen Fläche Tic Tac Toe spielen: Aufgabe: Finde heraus, was der beste Zug für X wäre

Was passiert, wenn wir dieses Spielfeld über eine Ecke verlassen?

Eine Möglichkeit sich das besser vorzustellen ist die folgende:

§4 Definition von Orientierbarkeit Eine Fläche heißt orientierbar, wenn sie keinen Pfad enthält, auf dem sich die Orientierung umkehrt! Andernfalls heißt die Fläche nichtorientierbar.

Bemerkungen: - eine orientierbare, geschlossene Fläche teilt den Raum in ein Inneres und ein Äußeres - orientierbar => zweiseitige Fläche - nichtorientierbat => einseitige Fläche - eine nicht orientierbare geschlossene Fläche durchdringt sich im 3-dim. Raum selbst

Beispiele zu orientierbaren Flächen: Kugel Torus, flacher Torus Beispiele zu orientierbaren Flächen: Kugel Torus, flacher Torus 3-Torus Ebene … Beispiele zu nicht orientierbaren Flächen: Möbius Band Klein‘sche Fläche Projektive Ebene (kommt später) …

Ein Beispiel einer nicht orientierbaren 3-Mannigfaltigkeit: Wir nehmen einen Würfel, kleben die linke und die rechte Wand, den Boden und die Decke zusammen. Die vordere und die hintere Wand sollten spiegelbildlich zusammengeklebt werden (rechte Kante vorne mit linker Kante hinten und umgekehrt).

Aufgabe: Was siehst du, wenn du im inneren dieser 3-Mannigfaltigkeit stehst und durch die hintere Wand schaust? Es wäre z.B. ein witziges Spiel, wenn man in einer solchen Mannigfaltigkeit fangen spielen würde, und dann nicht gefangen ist, wenn man erratet, mit welcher Hand man gefangen wurde…

§5 Die Klein‘sche Fläche Und so sieht eine Klein‘sche Fläche im 3-dimensionalen Euklidischen Raum aus:

§6 Die Projektive Ebene Ein anschauliches Modell einer Projektiven Ebene ist das folgende:

Aufgaben: Ist die Projektive Ebene orientierbar? Ein Flatlander lebt am „Südpol“. Wo ist er am weitesten von zu Hause entfernt, wenn er immer gerade aus geht? Die Flatlander wollen 2 (bzw. 3) Feuerwehrhäuser bauen. Wo sollen sie gebaut werden, um die beste Flächendeckung zu erbauen

§7 Die Boy‘sche Fläche Die Boy‘sche Fläche entsteht, synthetisch so: Ich nähe ein Stück Stoff, das nur einen, stetigen Rand besitzt, auf ein Möbiusband:

Auf dieser Fläche befinden sich sehr viele Möbius Bänder: Mehr dazu kann man unter: http://www.hu-berlin.de/rz/mstat/avs/

Danke für eure Aufmerksamkeit