(Un-)sicherheiten in der Ökosystemmodellierung Extended multistep outflow method for the accurate determination of soil hydraulic properties close to water saturation (Un-)sicherheiten in der Ökosystemmodellierung W. Durner und S.C. Iden, SS2012. Unsicherheiten - 3

Inhalt Ökosysteme/Modelle Daten, Fehler, Unsicherheiten Fehlerrechnung Parameterschätzung Stochastik Intervallarithmetik Fuzzy Set Theorie Monte Carlo Verfahren

Quantifizierung von Unsicherheiten Top down: Wiederholung von Messungen und deren statistische Auswertung Bottom up: Berechnung der Fehlerpropagation

Modellfehler erkennen: Residuenanalyse Unabhängigkeit der Residuen: Beispiel: Niederschlags-Abfluss Modellierung - Topmodel + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + - - -

Propagation von Unsicherheiten durchs Modell F(i ,j) Output Input i - Prozessparameter i - Eingangsgrößen: Rand- und Anfangsbedingungen

Propagation von Unsicherheiten Entscheidend: Das Wissensniveau Nur Werteintervall bekannt, keine Vorstellung über Verteilung innerhalb des Intevalls Min-Max-Abschätzung (Intervallarithmetik) Werteintervall bekannt, sowie grobe Vorstellung über Verteilung innerhalb des Range („unscharfe Zahl“) Fuzzy-Number Rechnungen Verteilungsform und –Parameter bekannt Monte Carlo-Verfahren Fehler sind normalverteilt mit bekannter Varianz Gauss‘sche Fehlerfortpflanzung

Min-Max-Abschätzung: Intervallarithmetik Def.: Abgeschlossenes Intervall Beobachtungs-/Messgenauigkeit Rundungsfehler

10 cm 1=-66 cm 2=-60 cm K-63cm = 20 cm/d -60

Intervallarithmetik x[xu,xo] [1,4] [0.5,8] F(x) y [yu,yo]

Zusammenfassung Elementare Rechenoperationen: mit Addition: Subtraktion: Multiplikation: Division: mit

Zusammenfassung f(x)=x2

Fuzzy Set Theorie Unscharfe Zahlen statt pure Intervalle „Dreieckige“ Sonderfall: “Reelle Zahl“ 1 a1=a2=a3 Zugehörigkeitsgrad a1 a2 a3 a1 a2 a3 a4 „Viereckige“ Sonderfall: “Intervall“ 1 a1=a2 a3=a4 x

Fehlerrechnung (Gauss) -x1, x1 x1 -x2, x2 x2 Eingangsgrößen: - normalverteilt - unabhängig f(x) -y, y y

Fehlerrechnung: »Sensitivität« Sensitivität: »Sensitivität von f(x) auf xi« f(x+x) f(x)+f‘(x)x f f(x) x x x+x

Sensitivitätsanalyse: »relative Sensitivität« Sensitivitäten (normiert): f(x+x) f(x)+f‘(x)x f f(x) x x x+x

Fehlerrechnung Fehlerfortpflanzung nach Gauß: mit: - Varianzen der Eingangsgrößen xi - Varianz der Zielgröße y

Fehlerrechnung Funktionen definieren Fehler charakterisieren (Partielle) Ableitungen bilden Fehlerfortpflanzung nach Gauss anwenden

Aufgabe 1 Zufluss A: Zufluss B: Gesamtabfluss G: Funktion: Mittelwert: St.abw.:

!!! Fehlerrechnung Für unkorrelierten (!) Fehler gilt: Reduktion durch wiederholtes Messen Summe oder Differenz: !!!

Aufgabe 2 Gesamtabfluss G: Konzentration C: Gesamtfracht F: Funktion: Mittelwert: St.abw.:

Fehlerrechnung mit relativem Fehler: Produkt oder Quotient:

Zusammenfassung Voraussetzung für Gauß‘sche Fehlerrechnung sind unkorrelierte normalverteilte Fehler der Eingangsgrößen. Bei offensichtlicher Verletzung der voraussetzungen kann eventuell mit transformierten Daten gerechnet werden

Datentransformation Test auf Normalverteilung Datentransformationen Beibehaltung der Nullhypothese  »Beweis« für normalverteilt! Datentransformationen Logarithmieren von Daten! Weitere Transformationen

Sinnlosigkeit von Unsicherheitsberechnungen Verletzung von Annahmen Verteilungstyp der Eingangsfehler (-> Datentransformation) Homoskedastizität (-> Datentransformation) Richtigkeit des Modells Richtigkeit der Parametrisierung Autokorrelation von Eingangsdaten Kreuzkorrelation von Eingangsdaten (Bsp. Temperatureinfluss) Interpretation statistischer Unsicherheitsmaße bei Modellfehlern Beispiel B&C-Fit an Retentionsdaten; Parameterunsicherheit Beispiel dynamische Effekte; PI mit Richardsgleichung

Ende 2. Aktivität : (2-3 Gruppen) -> Ökosystemmodelle: Was für Modelle kennen Sie! Sammeln! Charakterisieren Sie Diese Gruppieren! Vortragen

@8 Übung: Aufgabenblatt: Fehlerrechnung Guelphpermeamter. Sensitivitäten, Was ist die kritischste Größe,