Die Ableitung im
Erinnerung Die Ableitung bei Funktionen Wir sehen: die rote Funktion (Tangente) ist die Gerade, die die Abbildung f am Punkt P am besten approximiert.
Verallgemeinerung im Idee: Verallgemeinerung des „Prinzips der Tangente“ im Mehrdimensionalen Betrachte dafür eine Funktion , wie etwa Was ist nun die Ableitung im Punkt a?
Aus der VL, Def. 2.1, ist die Abbildung in einer Umgebung von t = 0 definiert.
Der blaue Strahl (also die Abbildung ) ist im Endeffekt „eindimensional“ Die Ableitung von an der Stelle 0 nennt man die Richtungsableitung von f bei a in Richtung v. Grafik blau: grün:
Klar: Gleiche Prozedur am gleichen Punkt a nur in eine andere Richtung.
Die beiden Geraden spannen eine Ebene auf: Fakt: Jede weitere Richtungsableitung liegt in dieser Ebene
Oft nimmt man bei der Richtungsableitung als Richtung die x- bzw Oft nimmt man bei der Richtungsableitung als Richtung die x- bzw. y- Richtung, die sog. Partiellen Ableitungen. (Berechnung: Ersetze für v einfach bzw. ) Die totale-/Fréchet Ableitung in a ist per Definition die lineare Abbildung L, die f bei a am besten approximiert, also aufzufassen mit unserer Tangentialebene.
Fréchet-d.b. Gâteaux-d.b alle Richtungsabl. ex. Zusatz: Existieren alle Richtungsableitungen in einem Punkt a und ist die Abbildung linear, so ist die sog. Gâteaux-Ableitung von f in a und f heißt Gâteaux-diffbar in a. Beachte: Fréchet-d.b. Gâteaux-d.b alle Richtungsabl. ex. Tipp zur Berechnung der Richtungsableitung!